2013中考一轮复习之有理数，实数，代数式各地中考真题

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教学目标：中考一轮复习之有理数，实数，代数式。 有理数 知识结构 有理数的分类有理数有关概念：数轴、相反数、绝对值有理数的大小比较有理数的运算乘法乘方 加法减法除法知识要点 1.有理数可以分为整数和 ，有理数还可以分为正有理数、0、 有理数. 2.通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 ，它要求规定 、正方向和单位长度. 3.只有 不同的两个数叫做互为相反数，a和 互为相反数，0的相反数是 . 4.数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作 .一个正数的绝对值是它 ，一个负数的绝对值是它的 ，0的绝对值是 . 5.在数轴上表示有理数，左边的数 右边的数.具体地说， (1)正数大于0，0大于 ，正数大于 ， (2)两个负数，绝对值大的反而 . 6.有理数加法法则： (1)同号两数相加，取 的符号，并把 相加； (2)异号两数相加，取绝对值 的加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值； (3)一个数同0相加，仍得这个数. 7.加法交换律：a+b= ； 加法结合律：(a+b)+c= . 8.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ，即a-b= . 9.有理乘法法则： (1)两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘； (2)任何数同0相乘，都得0. 10.几个不是0的数相乘，负因数的个数是 时，积是正数；负因数的个数是 时，积是负数. 11.乘法交换律：ab= ； 乘法结合律：(ab)c= ； 分配律：a(b+c)= .

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12.有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即a1?b?a?b (b≠0). 有理数除法法则二：两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相 .0除以任何一个不等于0的数，都得 . 13.求n个相同因数的积的运算，叫做 ，乘方的结果叫做 . 14.负数的奇次幂是 数，负数偶次幂是 数；正数的任何次幂都是 数；0的任何正整数幂都是 . 15.有理数混合运算的运算顺序是： (1)先乘方，再 ，最后加减； (2)同级运算，从 到 进行； (3)如有括号，先做 内的运算. 16.把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是 记数法. 例题精选 例1 某天早晨气温是-7℃，中午上升了11℃，则中午的气温是 ℃： 答案：4 例2 （2005年）-2的相反数是（ ）. （A）2 （B）-2 （C） （D）?2112 答案：（B） 例3 ?23的相反数是 . 23答案：? 例4（2003年）数轴上表示-5的点到原点的距离是（ ）. （A）5 （B）-5 （C） （D）?5115 分析：数轴上表示-5的点到原点的距离，就是-5的绝对值，即?5=5. 答案：（A） 例5 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）. （A）a＞b （B）a＞-b a0b（C）a＜b （D）-a＜-b 分析：表示数a的点在b的左侧，可知a＜b. 答案：（C） 例6 某地今年1月1日到4日每天的最高气温与最低气温如下表： .. 日期 最高气温（℃） 最低气温（℃）

1月1日 5 0 1月2日 4 -2 ２

1月3日 0 -4 1月4日 4 -3 教学部专用

其中温差最大的一天是（ ）. （A）1月1日 （B）1月2日 （C）1月3日 （D）1月4日 分析：各天的温差5-0=5，4-(-2)=6，0-(-4)=4，4-(-3)=7. 答案：（D） 例7 计算????12??2323??1???(?24). 4? 解：????121?121?(?24)??(?24)??(?24) ??(?24)=?4?234=12-16＋6=2. 点评：有理数运算有一定的顺序，但运用运算律有时可以起到简化计算的作用. 例8 2007年5月3日，中央电视台报道了一则激动人心的新闻，我国在勃海地区发现储量规模10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为（ ）吨. （A）1.02×10 （B）1.02×10 （C）1.02×10 （D）1.02×10 答案：（C） 中考试题中的有理数问题，主要有以下几种类型。 一. 记数型 例1. （2003年山西省）一粒纽扣式电池能够污染60升水，太原市每年报废的电池有近10000000粒，如果废旧电池不回收，一年报废的电池所污染的水约______升（用科学记数法表示） 析解：科学记数法a?10n中，a只能必须是一位非零整数；当原数大于等于1时，n等于原数的整数位数减1，当原数小于1时，n是负数，其绝对值等于原数中左起第一个非零数字前所有0的个数。因此 8 6 0?10000000?600000000?6?1078910 即答案为6?108 例2. 今年3月，国家统计局公布我国总人口为129533万人。如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为______亿人。 析解：带有“亿、万、千、百”等汉字单位的近似数，小数点前的一位即表示所带单位的位数。 因此，1 29533万?12.95亿 二. 基本概念型 例3. （2003年南京市）如果a与?3互为相反数，那么a等于（ ） A. 3 B. ?3 C. 13 D. ?13 (?3)?3，所以a?3 析解：由相反数概念知，? 故选A 例4. （2003年河南C卷）?5的相反数的倒数是（ ）

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析解：因为?5的相反数是?(?5)?5，而5的倒数是 5115 所以?5的相反数的倒数是 例5. （2003年黑龙江省）若|a，则a的取值范围是（ ） ?3|?3?a?0 A. a?3 B. a?3 C. a?3 D. a?3 析解：将原式变形式|a ?3|??(a?3) 再根据绝对值的意义： |a|???a(a?0)??a(a?0)知 a，即a?3 ?3?0 故选A 三. 基本运算型 例6. （2003年江西省）计算： (_________ ?100)?(?20)?(?3)? 解：原式? 2000?3?2003 例7. （2003年桂林市）计算： 1__________ ?3?5?7?9?11???97?99? 析解：本题既是对有理数加减法运算的考查又是对观察、分析能力的考查。 原式? (1?3)?(5?7)?(9?11)???(97?99)??2?(?2)?(?2)???(?2) ??2?25??50 四. 简单应用型 例8. （2003年河北省）如果水位下降3m记作?3m，那么水位上升4m记作（ ） A. 1m B. 7m C. 4m D. ?7m 析解：本题是正、负数的简单应用。由于正、负数表示的量的意义相反，所以当水位下降3m记作?3m时，水位上升4m应记作?4m 故应选C 例9. （2003年陕西省）今年我省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为?6℃，西安市最低气温为2℃，这一天延安市的气温比西安市的气温低（ ） A. 8℃ B. ?8℃ C. 6℃ D. 2℃ ?(?6)?8 析解：本题是求延安市与西安市气温的差。由于2 所以应选A

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五. 思想方法型 例10. （2003年北京市）观察下列顺序排列的等式： 9 ??011?，9121???1 9232，9343 ???1???1 9454，?? ???1 猜想：第n个等式（n为正整数）应为_______ 析解：此题考查观察、归纳、猜想的思想方法，观察各等式可发现，每个等式左边加号前的部分是比等式序数小1的数的9倍，加号后面的数字正好是等式序数，等式右边的数字比等式序数的10倍小9。因此，第n个等式应为： 9 (n???1)n10n?9 例11. （2002年哈尔滨市）已知：|x|?3，|y|?2，且x?y?0，则x?y的值等于（ ） A. 5或?5 B. 1或?1 C. 5或1 D. ?5或?1 析解：本题考查分类讨论思想 ?|x|?3，|y|?2 ??，y??2 x?3 又x?y?0 ?x，y异号 故x?y的值应分两种情况来求： 当x?3，y??2时，x ?y?3?2?1 当x??，y?2时，x ?y??32???13 ?x?y的值为1或?1 故应选B 例12. （2003年长沙市）a、b两数在数轴上的位置如图1所示，下列结论中正确的是（ ） b 0 a 图1 A. a?0，b?0 B. a?0，b?0 C. a D. 以上均不对 b?0 析解：本题考查数形结合思想，由图1知，a在原点0右边，b在原点0左边 所以a?0，b?0 故应选A 六. 探究型 例13. （2003年青岛市）探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌。譬如：任意找一个3的

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倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方，求和，??，重复运算下去，就能得到一个固定的数T?_______，我们称它为数字“黑洞” T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！ 析解：数字“黑洞”是一个饶有趣味的新颖问题。只要按照题意要求选择一个数，根据规定程序去运算，就会找到这个数字“黑洞”，如选择数42。 42?43?23?72?73?23?351?33?53?13?153?13?53?33?153 ?? T153 七. 阅读理解型 例14. （1）阅读下面材料：（2002年南京市） 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB| 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图2 |A BO|?|Bb|??|||a?b|O（A） B 0 b 图2 当A、B点都不在原点时 ①如图3，点A、B都在原点的右边 O A B 0 a b 图3 | AB||?OB|??|OA||b|?|a|?b?a?|a?b| ②如图4，点A、B都在原点的左边 B A O b a 0 图4 | AB|?|OB|?|OA|?|b|?|a|??b?(a)?|a?b| ③如图5，点A、B在原点的两边 B O A b 0 a 图5 | AB|?|OA|?|OB|?|a|?|b|?ab?(?)?|a?b|

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综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|?|a?b| （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示?2和?5的两点之间的距离是_________，数轴上表示1和?3的两点之间的距离是_________ ②数轴上表示x和?1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|?2，那么x为_______ ③略 析解：本题阅读部分将计算数轴上A、B两点之间的距离，先由特殊到一般地展示其发生、发展的过程，然后归纳、概括出公式|AB|?|a?b|。再根据这个公式解答问题。 ①|2?5；||?3；|?2?(?5)|?31?(?3)|?4 ②| ABx|??|(???1)||x1| 当|AB|?2时，|x?1|?2 x ??1?2 ?或x?? x?13 1.（2000年）-6的相反数是（ ）. （A）6 （B）-6 （C） （D）?6116 2.（2006年）3的相反数是（ ）. （A）-3 （B）3 （C） （D）?3113 3.（2008年）-的相反数是（ ）. 32 （A） （B）- （C） （D） 22393324 4.（2009年）-6的绝对值是（ ）. （A）6 （B） （C）- （D）-6 66115.计算：｜-2011｜的结果是（ ）. （A）-2011 （B）?12011 （C）2011 （D）12011 6.｜-9｜的相反数是（ ）. （A）-9 （B）9 （C）- （D）±9 91

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7.（2001年）?15的倒数是（ ）. 1515 （A）5 （B）-5 （C） （D）- 8.如果向东走80m记为80m，那么向西走60m记为（ ）. （A）60m （B）｜-60｜m （C）-60m （D）9.（2000年）数轴上表示-2的点到原点的距离是（ ）. （A）-2 （B）2 （C）?12160m （D） 2110.在下列四个数中，比0小的数是（ ）. （A）0.5 （B）-2 （C）1 （D）3 11.在0，-2，1，这四个数中，最小的数是（ ）. 21 （A）0 （B）-2 （C）1 （D） 2112.如图，数轴上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）. （A）a+b＞0 （B）ab＞0 （C）a-b＞0 （D）|a|-|b|＞0 （A）a+b＞0 （B）a-b＞0 （C）ab＞0 （D）|a|-|b|＞0 .b-10a1.13.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）. -1a.01b.14.某市2009年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天最高气温比最低气温高（ ）. （A）-10℃ （B）-6℃ （C）6℃ （D）10℃ 15.（2004年）某地前天最低温度是-5℃，昨天的最低温度比前天的最低温度低4℃，那昨天的最低温度是（ ）. （A）-9℃ （B）-4℃ （C）-1℃ （D）4℃ 16.（2005年）下列说法正确的是（ ）. （A）绝对值相等的两数一定相等 （B）较大的数的绝对值也较大 （C）有理数的绝对值总是正数 （D）两个负数，绝对值大的反而小 17.（2006年）若｜a｜=a，则a的取值范围是（ ）. （A）a≥0 （B）a≤0 （C）a＜0 （D）a＞0 18.（2002年）(-2)+5等于（ ）. （A）-7 （B）-3 （C）3 （D）7 19.（2007年）-5+2等于（ ）. （A）7 （B）-7 （C）3 （D）-3 20.（2004年）下面各式正确的是（ ）. （A）-2×(-4)=-8 （B）(-3)-(-2)=-5 （C）|-2|=-2 （D）-4÷=-8 2121.如果a的倒数是-1，那么a2011等于（ ）. （A）1 （B）-1 （C）2011 （D）-2011 22.（2000年）实数548000用科学记数法表示为（ ）.

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（A）548×10 （B）5.48×10 （C）0.548×10 （D）5.48×10 23.（2001年）实施西部大开发战略是党中央面向21世纪的重大决策，西部地区约占我国国土面积的，323665我国国土面积为960万平方千米，用科学记数法表示我国西部地区的面积为（ ）. （A）640×10平方千米 （B）64×10平方千米 （C）6.4×10平方千米 （D）6.4×10平方千米 24.（2004年）地球上的陆地面积为149000000平方公里，用科学记数法表示149000000应为（ ）. （A）1.49×106 （B）1.49×107 （C）1.49×108 （D）1.49×109 25.（2005年）据西藏自治区统计局数据显示：截止2004年，西藏自治区人口总数约2736800人.用科学记数法表示2736800应为（ ）. 26 （A）27368×10 （B）27368×10 （C）2.7368×106 （D）2.7368×107 26.（2006年）中国长城总长约为6700010米，用科学记数法表示（保留三位有效数字）（ ）. （A）6.70×105米 （B）6.70×106米 （C）6.70×107米 （D）6.70×108米 27.（2008年）2008年5月8日9时17分，2008年北京奥运“祥云”火炬胜利传递到海拔8844.43米的珠穆朗玛峰峰顶.用科学记数法表示珠穆朗玛峰的海拔，正确的是（ ）. （A）0.884443×104米 （B）8.84443×103米 （C）88.4443×10米 （D）8.84443×10米 28.（2009年）为了解决困难群众和弱势群体的住房问题，2007年西藏全面启动了廉租住房建设，总建筑面积超过353000平方米，353000平方米用科学记数法表示为（ ）平方米. （A）353×10 （B）35.3×10 （C）3.53×105 （D）0.353×106 29.比较大小：-6 -8.（填“＞”、“=”或“＜”） 30.化简：-(-7)= . 31.绝对值等于6的数是 . 32.绝对值小于2的整数是 . 33.计算：-5-7= . 34.计算：｜-3｜-2= . 35.如果a与5互为相反数，那么a= . 36.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则a b.（填“＞”、“=”或“＜”） ba0 37.在数轴上，与表示-2的点的距离为3的数是 . 34256745..38.（2007年）据统计，今年“五一”黄金周，到西藏旅游的游客人数为588000人.用科学记数法表示游客人数应记为 人. 39.（2009年）用“ ”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a b=b2+1，那么5 3= . 40.定义a※b=a-b，则(1※2)※3= . 2 实数：

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一、实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如7,32等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； 3π（3）有特定结构的数，如0.1010010001?等； （4）某些三角函数，如sin60o等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分） 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分） 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“?a”。 2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a（a?0） a?0 a2?a? ；注意a的双重非负性： -a（a<0） a?0

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1111（3）求和：1?2＋2?3＋3?4＋?＋2009?2010 . 代数式： 知识脉络（教材相应章节重要内容的结构与联系） 实际 问题 数的开方 分式的 基本性质 十字相乘法 分组分解法 因式分解 公式法 通分 约分 分式 分式运算 分式的乘除 分式的加减 平方根 二次根式 化简 计算 立方根 2、基础知识（教材相应章节重要内容整理） （1）因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式． （2）因式分解的方法： ①提公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c)； ②公式法：a?b?(a?b)(a?b),a?2ab?b?(a?b)；a?b?(a?b)(a?ab?b)； ③十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)； a1a2x?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)，（a1a2≠０）． 22222223322

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④分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解． （3）分式的概念：形如ABAB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的代数式叫做分式．分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． （4）分式的基本性质：?A?MB?M,AB?A?MB?M（其中M是不为零的整式）． （5）分式的运算与分数的运算相仿． （6）平方根与算术平方根的概念：如果x2?a(a?0)，那么x叫做a的平方根，记作x??a(a?0)，其中a(a?0)叫做a的算术平方根． 3（7）立方根的概念：如果x3?a，那么x叫做a的立方根，记为x?（8）二次根式概念：形如a(a?0)的式子叫二次根式． a （9）最简二次根式：满足下列两个条件，被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． （10）同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （11）相质：ababa?0(a?0);(a)?a(a?0);2a2?|a|;ab?ab(a?0,b?0)；?(a?0,b?0)． （12）二次根式的运算：①加、减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式．②乘、除运算：是积、商性质的逆向应用．运算结果中每一个二次根式都应是最简二次根式． 3、能力要求 3例1 在二次根式①12，②2，③23，④27中与3是同类二次根式的是 （ ）． A． ①③ B． ②③ C． ①④ D． ③④ 例2 把下列各式因式分解： （１）a?a?b?b （２）8x? 例3 化简：(a?aa?1)?a?2aa?422223127y （３）6m?7mn?20n 322?a?1a?3a?22．

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例4 已知a? 例5 先化简，再求值： 例6 已知(ab)2?4ab?4? a?b?3?0,求11?2,b?11?2，求代数式a3b?ab3的值． a?1a?12?a?2a?1a?a22,其中a?12?3． ba?ab?2的值． 热点1 代数式的变形与代数式的求值一、选择题1 xy211a 1．在x，3，3，2x+2y，xy-2，?中，单项式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．x的5倍与y的差等于（ ） A．5x-y B．5（x-y） C．x-5y D．x5-y3．用正方形在日历中任意框出的四个数一定能被（ ）整除 A．3 B．4 C．5 D．64．现规定一种运算：a*b=ab+a-b，其中a、b为常数，则2*3+1*4等于（ ） A．10 B．6 C．14 D．12225．已知一个凸四边形ABCD的四条边长依次是a、b、c、d，且a+ab-ac-bc=?0，?b+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6．若m2x2-2x+n2是一个完全平方式，则mn的值为（ ） A．1 B．2 C．±1 D．±27．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个赢利60%，?另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店（ ）

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A．赔38元 B．赚了32元 D．不赔不赚 D．赚了8元m?92 8．要使m?6m?9的值为0，则m的值为（ ） A．m=3 B．m=-3 C．m=±3 D．不存在 2 222x?182 9．已知x?3+3?x+x?9的值为正整数，则整数x的值为（ ） A．4 B．5 C．4或5 D．无限个11ab 10．已知有理数a、b满足ab=1，则M=1?a+1?b，N=1?a+1?b的大小关系是（ ） A．M>N B．M=N C．M

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x?224x20?55120．化简：（1）x?2+x?4x?4÷x?2； （2） 1121．已知x-x=2，求x2+x的值． 22．分解因式： 12-3×12． （1）3（a-b）+6（b-a）； （2）（x+1）（x+2）+4． 2

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