信息论与编码姜丹第三版答案

?H.F.

信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源

信息论与编码作业是74页，1.1的（1）（5），1.3,1.4,1.6,1.13,1.14还有证明熵函数的连续性、扩展性、可加性

1.1同时掷一对均匀的子，试求：

(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵；

(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。 解：

bit

P a I N n P bit P a I N n P c c N 17.536log log )(361

)2(17.418log log )(362)1(36

662221111

616==-=∴====-=∴==

=?==样本空间：

(3)信源空间：

bit x H 32.436log 36

62log 3615)(=??+??

=∴ bit

x H 71.3636

log 366536log 3610 436

log 368336log 366236log 36436log 362)(=??+?+?+??=

∴＋＋ (5) bit P a I N n P 17.111

36

log log )(3611333==-=∴==

?H.F.

1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa ，Ya ）, （Xb ，Yb ）,但A ，B 不能同时落入同一方格内。

（1） 若仅有质点A ，求A 落入任一方格的平均信息量；

（2） 若已知A 已落入，求B 落入的平均信息量；

（3） 若A ，B 是可辨认的，求A ，B 落入的平均信息量。

解：

bit

a P a P a a P a I a P A i 58.548log )(log )()(H 48log )(log )(481)(:)1(48

1i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率

bit

b P b P b b P b I b P A i 55.547log )(log )()(H 47

log )(log )(47

1)(:B ,)2(481i i i i i ==-=∴=-=∴=

∑=落入任一格的概率是落入任一格的情况下在已知 bit

AB P AB P AB H AB P AB I AB P AB i i i i i i i 14.11)4748log()(log )()()

(log )(471481)()3(47

481=?=-=-=∴?=

∑?=是同时落入某两格的概率 1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。问这两个回答中各含有多少信息量？平均每个回答中各含有多少信息量？如果你问一位女士，则她的答案中含有多少平均信息量？

解：

bit

w P w P w P w P m m P m I w P w I bit

m P m P m P m P m bit

m P m I bit

m P m I n n y y n n y y n n y y n n y y 0454.0log99.5%99.5%-log0.5%-0.5% )

(log )()(log )()(H %

5.99log )(log )(%

5.0log )(log )(36

6.0log93%93%-log7%-7% )

(log )()(log )()(H 105.0%93log )(log )(84.3%7log )(log )(:

=??=?-?-=-=-=-=-==??=?-?-==-=-==-=-=平均每个回答信息量：：回答“不是”的信息量回答“是”的信息量：对于女：

平均每个回答信息量：：回答“不是”的信息量回答“是”的信息量：对于男士

?H.F.

1.4某一无记忆信源的符号集为｛0，1｝，已知。

，32

31

10==p p （1） 求符号的平均信息量；

（2） 由1000个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”,（1000-m ）个“1”）

的自信量的表达式；

（3） 计算（2）中序列的熵。

解：

3

2log 3)1000(231log 3log log )(

ce bit/sequen 918918.01000)(1000)(3 3

2log )1000(31log log )1000(log )(2/ 918.03

2log 3231log 31log log )(1100011110001100∑∑-==---=-

-==?==---=---==?-?-=--=m i m i m m p p p p A H X H A H bit m m p m p m A I symble bit p p p p x H ）（）（）（ 1.5设信源X 的信源空间为：

???? 0.3 0.18 0.16 0.18 0.19

0.17 X)( a a a a a a X ][654321p p x ：： 求信源熵，并解释为什么H(X)>log6，不满足信源熵的极值性。

解：

。

立的约束条件，所以不满足信源熵最大值成但是本题中

的约束条件下求得的，值是在这是因为信源熵的最大，不满足信源熵的极值性可见log6H(X)18.1 1

585.2log62.725H(X)

bit/symble 725.2 3

.0log 3.016.0log 16.018.0log 18.0219.0log 19.017.0log 17.0 )

(log )()(6116

1>===>==--?---=-=∑∑∑===i i r i i i i i p

p a p a p X H

1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率（bit/s ）。

解：

bit/s 104.98310661.130)/)(()/(R bit/frame

10661.1322.3105)(H 105)(H bit/pels

322.310log )(log )()(H 76650510

10?=??=?=∴?=??=??====∑=frame bit X H s frame r x X a p a p x i i i 所需信息速率为：每帧图像的熵是：每个像素的熵是：，由熵的极值性：

由于亮度电平等概出现

?H.F.

1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大

2.5倍左右。

证:

.

5.2,,5.25.2477.210log 300log )(H )(H pels

/bit 300log )(log )()(H bit 3001030,

10,,3001300

11倍左右比黑白电视系统高彩色电视系统信息率要图形所以传输相同的倍作用大信息量比黑白电视系统彩色电视系统每个像素每个像素的熵是：量化

所以每个像素需要用个亮度每个色彩度需要求下在满足黑白电视系统要个不同色彩度增加∴≈====∴=?∑=x x b p b p x i i i

1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？

解:

个汉字

最少需要数描述一帧图像需要汉字每个汉字所包含信息量每个汉字所出现概率每帧图象所含信息量556

65510322.6/10322.61

.0log 101.2)()()

()(,log H(c):1.010000

1000symble

/bit 101.2128log 103)(103)(:

?∴?=-?=≥≤-=∴==

?=??=??=frame c H X H n c nH X H n p p x H X H

1.9给定一个概率分布),...,,(21n p p p 和一个整数m ，n m ≤≤0。定义∑=-=m i i m p

q 11，证明：

)log(),,...,,(),...,,(2121m n q q p p p H p p p H m m m n -+≤。并说明等式何时成立？

证：

∑∑+==-

-=>-=<-=''-=''∴>-

=''-=''>-=n m i i

i m i i i n p p p p p p p H x x x x f x e x x x f x x e x x x f x x x x f 1121log log ),...,,( )0(log )( 0log )log ()(0 log )log ()()0(log )( 又为凸函数。即又为凸函数，如下：

先证明

?H.F.

时等式成立。

当且仅当时等式成立。当且仅当即可得：

的算术平均值的函数，函数的平均值小于变量由凸函数的性质，变量n m m m m m n m

m m i i i m m m m m m

i i i n

m i i

i

m

i i i n n m m m m m n

m i i

i

m

m n

m i i

n

m i i

n

m i i

n

m i i

n

m i i i p p p m n q q p p p H p p p H q q p p q p p p H m n q q q p p p

p p p p p p H p p p m n q q q p

p m

n q q m

n p

m

n p

m n m

n p

f m n m

n p f m n p p ===-+≤--=-+--≤-

-=∴===-+-≤-

--=----=---≤---=-

++==+==+++=+=+=+=+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑...)log(),,...,,(),...,,(log log ),,...,,()

log(log log log log ),...,,(...)

log(log log log

log

)

()(

)()

()

(log 2121211

211

1

1

21211

1

1

1

1

1

1.10找出两种特殊分布:

p 1≥p 2≥p 3≥…≥p n ，p 1≥p 2≥p 3≥…≥p m ,使H(p 1,p 2,p 3,…,p n )=H(p 1,p 2,p 3,…,p m )。 解：∑∑==-==-=m

i i i m n

i i i n q q q q q H p p p p p H 1

211

21log ),...,,(log ),...,,(

?H.F. 1.15两个离散随机变量X 和Y ，其和为Z ＝X ＋Y ，若X 和Y 统计独立，求证：

(1) H(X)≤H(Z), H(Y)≤H(Z)

(2) H(XY)≥H(Z)

证明：

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=================≥+-≥+-+-=≥

+?-≥-=??-≤++-≤-=∴????????s j j j r i s j j i j r i s

j j i j r s j j i i s s

j j i s s j j i t k k k r s

j j i j i r s j j i j i t k k k s s r r q q q p q q p q q p p q p q p pz pz Z H XY H q p q p b a p b a p pz pz Z H Y X q q q Y P b b b P p p p X P a a a P 1

11111i 1

1i 11i 1

11i 11i 1

121212121)

log(-)log( )

log())log(( )log()(log )()()log()( )(log )(log )(, ...

)( ... Y :][Y ... )( ... X :][X Y X ＝又统计独立

又的信源空间为：

、设 第二章 单符号离散信道

2.1设信源 .30

.70 )( X :][X 21????X P a a P 通过一信道，信道的输出随机变量Y 的符号集 },{:21b b Y ,信道的矩阵：??????=

4/34/16/16/5][ 212

1a a P b b

试求：

(1) 信源X 中的符号α1和α2分别含有的自信息量；

(2) 收到消息Y ＝b 1，Y ＝b 2后，获得关于α1、α2的互交信息量：I(α1;b 1)、I(α1;b 2)、I(α2;b 1)、

I(α2;b 2)；

(3) 信源X 和信宿Y 的信息熵；

(4) 信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)；

(5) 接收到消息Y 后获得的平均互交信息量I(X;Y)。

解:

?H.F. bit/symble

228.0698.0926.0)()()5(symble

/bit 653.0926.0698.0881.0)()()()( )

()()()( bit/symble

698.0)(log )()()(log )()()4(bit/symble 926.0)12041log 1204112079log 12079(

)(log )()( bit/symble

881.0)3.0log 3.07.0log 7.0()(log )()(12041

)()()( 120

79

)()()(:)3( 134.14/33.06/17.04/3log )()(log

);(I 766.04/13.06/57.04/1log )()(log

);(I 036.14/33.06/17.06/1log )()(log

);(I 34.04/13.06/57.06/5log )()(log

);(I )2( 737.13.0log )(log )(I 5415.07.0log )(log )(I (1)212

1

212121

2

1

21

2221112222212112212211111121211=-=-=∴=-+=-+=∴-=-=====+-=-==+-=-=∴=

====?+?==-=?+?==-=?+?===?+?===-=-==-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑========X Y H Y H I(X;Y)Y H X Y H X H Y X H Y X H X H X Y H Y H I(X;Y)a b p a b p a p a b p b a p X Y H b p b p Y H a p a p X H a b p a p b p a b p a p b p bit b p a b p b a bit b p a b p b a bit b p a b p b a bit b p a b p b a bit

a p a bit

a p a j i i j i j i j i i j j i j j j i i i i i i i i i 又由上2.2某二进制对称信道，其信道矩阵是：

??

????=98.002.002.098.010][1

0 P 设该信道以1500个二进制符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二进制符号，并设在这消息中p(0)= p(1)=0.5。问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传送完。

解:

.

,1500bit/s,s

/bit 98.1201s 10/symble 14000:

1400010symble

/bit 859.098.0log 98.002.0log 02.01)

1log()1(log 1)(1);(故不可能无失真传输最大码率超过了信道所能提供的而输入信源码率为为个二进制符号最大码率秒钟内传送信道在入等概信源

由于二进制对称信道输=?=∴=++=--++=-==∴C C H C Y X I t εεεεε

?H.F.

2.3有两个二元随机变量X 和Y ，它们的联合概率为P[X=0,Y=0]=1/8，P[X=0,Y=1]=3/8，P[X=1,Y=1]=1/8，P[X=1,Y=0]=3/8。定义另一随机变量Z=XY ，试计算：

(1) H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ),H(XYZ);

(2) H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ),H(Z/XY);

(3) I(X;Y),I(X;Z),I(Y;Z),I(X;Y/Z),I(Y;Z/X),I(X;Z/Y)。

解:

symble /bit 406.1:symble /bit 406.181log 81083log 83)8381log()8

381( ))

11(log )11()01(log )01()10(log )10()00(log )00(( )

(log )()(bit/symble 544.0)8

1log 8187log 87( symble /bit 1)2

1log 2121log 21()( symble;/bit 1)2

1log 2121log 21()(;8

1)1,1(;83)0,1(;0)1,0(;21)0()0,0( ;8

1)1,1(;83)0,1(;0)1,0(;21)0()0,0(.8

1)1(;87838381)0(:: .2

18381)1(;218381)0(: .2

18381)1(;218381)0(: :)1(212

1===??????+++++-=+++-=-==+-==+-==+-=∴===============================++====+===+===+===+==∑∑==H(XZ)H(YZ)Z Y X p p p p p p p p z x p z x p XZ H H(Z)Y H X H Z Y p Z Y p Z Y p Y p Z Y p Z X p Z X p Z X p X p Z X p Z p Z p X XY Z Y p Y p Y X p X p X xz xz xz xz xz xz xz xz i k k i k i 的概率分布、、由上面且的分布的分布为的分布的分布由题意

?H.F. []

[]

[]bit/symble 0)8

/18/1log 818/38/3log 838/38/3log 838/18/1log 81())11()

111(log )111()

10()

100(log )100()01()

010(log )010()00()

000(log )000(()

()(log

)()(log )()(bit/symble

406.0)()(bit/symble 406.0)8

/18/1log 812/18/3log 838/38/3log 832/18/1log 81())11()

111(log )111()

00()

100(log )100()10()

010(log )010()00()

000(log )000(()

()(log

)()(log )()(0

)110()011()101()001(bit/symble

4060)()(bit/symble

8620)()( :的概率Z 、Y 、X 由bit/symble 4060)2

181log 812183log 8302121log 21()11(log )11()01(log )10()10(log )01()00(log )00()()(log )()(log )()(bit/symble 8620)8

181log 818783log 8308721log 21()11(log )11()01(log )10()10(log )01()00(log )00()()(log

)()(log )()(:

同理bit/symble

8110)()()()()()()()()(bit/symble 8110)4

1log 8143log 8343log 8341log 81()

11(log )11()01(log )10()10(log )01()00(log )00()

(log )()(4

12181)1()11()11(432183)

1()

01()10(432183)0()10()01(412181)0()00()00()00(22121212121212121212121212121

2121212121212121 p p p p p p p p p p p p y x p z y x p z y x p y x z p z y x p XY Z H YZ X H XZ Y H p p p p p p p p p p p p z y p z y x p z y x p z y x p z y x p YZ X H p p p p .X Z H Y Z H .Z X H Z Y H .//////p p p p p p p p x p x z p x z p x z p x z p X Z H .//////p p p p p p p p z p z x p z x p z x p z x p Z X H .Y X H X Y H Y H X 且H X Y H Y H Y X H X H X;Y I .p p p p p p p p y x p y x p Y X H .//p p ;p //p p p ;//p p ;p //p p p Y X )p (xy xyz xyz xy xyz xyz xy xyz xyz xy xyz xyz j i k j i i j k k j i j i k i j k k j i yz xyz xyz yz xyz xyz yz xyz xyz yz xyz xyz k j k j i i j k k j i k j i i j k k j i xyz xyz xyz xyz zx zx zx zx zx zx zx zx k i i i k i k k i i k i k xz xz xz xz xz xz xz xz i k k k i k i i k k i k i xy xy xy xy xy xy xy xy i j j i j i y xy xy y xy xy y xy xy y xy xy =+++-=+++-=-=-=∴===+++-=+++-=-=-=∴=========?+?++?-=+++-=-=-==?+?++?-=+++-=-=-===∴=-=-==?+?+?+?-=+++-=-=∴============

===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑======================

?H.F. symble

/bit 405.0406.0811.0)()()( symble /bit 405.0406.0811.0)()()( symble /bit 456.0406.0862.0)()()( symble

/bit 138.0862.01)()()( symble

/bit 138.0862.01)()()( symble

/bit 189.0811.01)()()(:)3(=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=YZ X H Y X H Y X;Z I XZ Y H X Y H X Y;Z I YZ X H Z X H Z X;Y I Z Y H Y H Y;Z I Z X H X H X;Z I Y X H X H X;Y I 由上

2.4已知信源X 的信源空间为 ?

???4.0 2.0 3.0 1.0 :)( ::][4321X P a a a a X P X 某信道的信道矩阵为：

b 1 b 2 b 3 b 4

?????

???????2.04.03.01.02.01.02.05.01.01.02.06.04.01.03.02

.04321a a a a 试求：

(1)“输入α3，输出b 2的概率”；

(2)“输出b 4的概率”；

(3)“收到b 3条件下推测输入α2”的概率。

解：

136.022

.01.03.0)()

()()( 22

.04.04.01.02.01.03.01.01.0)()()()()3(19

.02.04.02.02.01.03.04.01.0 )()()()()2(04

.02.02.0)()();()1(32323241

341334

1441

4432323=?===?+?+?+?====?+?+?+?====?==∑∑∑∑====b p a b p a p b a p a b p a p b a p b p a b p a p b a p b p a b p a p b a p i i i i i i i i i i

2.5已知从符号B 中获取关于符号A 的信息量是1比特，当符号A 的先验概率P(A)为下列各值时，分别计算收到B 后测A 的后验概率应是多少。

(1) P(A)=10-2；

(2) P(A)=1/32；

(3) P(A)=0.5。

?H.F.

解：

1

)(,5.0)( 161)(,321)( 102)(,10)()

(2)(1)

()(log

);(22====?==∴=∴==--B A p A p B A p A p B A p A p A p B A p A p B A p B A I 时时时由题意

(1) 在W 4＝011中，接到第一个码字“0”后获得关于a4的信息量I(a 4;0)；

(2) 在收到“0”的前提下，从第二个码字符号“1”中获取关于a 4的信息量I(a 4;1/0)； (3) 在收到“01”的前提下，从第三个码字符号“1”中获取关于a 4的信息量I(a 4;1/01)； (4) 从码字W 4＝011中获取关于a 4的信息量I(a 4;011)。 解：

bit 38log 8

/11

log

)

()101(log

)011;((4)bit

12log )8/18/1/()8/1(1

log )01()101(log )011;((3)bit

585.13log )8/18/14/14/1/()8/1()

8/18/1/()8/1(log

)

0()01(log

)01;((2)bit

415.0

34

log 8/1)8/18/14/14/1/()8/1(log

)

()0(log

)0;()1(444444444444======+====++++====+++==a p a p a I a p a p a I a p a p a I a p a p a I

2.13把n 个二进制对称信道串接起来，每个二进制对称信道的错误传输概率为p(0

]。再证明：n →∞时，limI(X 0;X n )=0。信道串接如下图所示：

?H.F. 解：

1log )( )

()(log )()()(log )();(lim )10)(()(2

1

)1( 21)10()0()00()0()0(:)10(1)1(,)0(:2

1])21(1[21lim lim 121])21(1[21])21(1[2

1])21(1[21])21(1[2

1])21(1[21])21(1[21 11])21(1[21])21(1[2

1])21(1[21])21(1[21][,])21(1[2

12222221221221111][:

2:

2121

021********

000000000000111111122222222====∴=∴=

==

==?=+==?===<<-=====--=∴<---=--=∴????

??????-+-----+=??????--???????????-+-----+==--=-=∴??????-+-+--=??????--???????--==∑∑∑∑∑∑==∞==∞∞∞==∞∞∞∞→∞∞∞∞∞∞∞∞∞→∞→+++++++i j j i i j j i j j i i j j i j j i n n n n n n n n k k k k k k k k k k k X X p X p X X p X X p X p X X p X X p X X I x x x p x x p X p X X p X p X X p X p X p X a a X p a X p X p P p p P p P p p p p p p p p p p p p P k n p p p p p p p

p p p p p p p p p p p p p P n 或取、则输出信源其中设输入信源空间故则

时公式成立假设时由当用数学归纳法证明

?H.F. 2.18试求下列各信道矩阵代表的信道的信道容量：

(1)

?

?

??

?

?

??????=00101

00000010100][

432114321a a a a P b b b b

(2)

?

???

??

??

?

??

???????=100100010010001001][

b b b 6543212321a a a a a a P

(3)

????

??????=3.01.02

.04.0000000000

07.0

3.00000000

0004.03.02.01.0][ b b

b b b b b b b b 3213109876 54321a a a P 解：

bit/symble

585.13log log :

(3)bit/symble 585.13log log (2)symble

/bit 24log log )1(======∴===∴r C s C r C 信道为扩张性无噪信道信道为归并性无噪信道

系的无噪信道

信道为一一对应确定关

2.19设二进制对称信道的信道矩阵为：

??

????=4/34/14/14/310][1

0 P

(1) 若p(0)=2/3，p(1)=1/3，求H(X)，H(X/Y)，H(Y/X)和I(X;Y)；

(2) 求该信道的信道容量及其达到的输入概率分布。

?H.F. 解：

bit/symble 8113.0)4

3log 433141log 413241log 413143log 4332( )

(log )()()(log )()(bit/symble 9799.0)12

5log 125127log 127()(log )()(12

543314132)1()()1(12741314332)0()()0(bit/symble 9183.0)31log 3132log 32()(log )()()1(2121

212

1212121

21

=?+?+?+?-=-=-==?+?-=-==?+?====?+?=

===?+?-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑========i j i j i j i i j i j j i j j j i i i y i i i y i i i x y p x y p x p x y p y x p X Y H y p y p Y H x y p x p p x y p x p p x p x p X H .2

1)1()0(,symble

/bit 1887.01log 25.0)25.0(2log )1log()(log (2)bit/symble

7497.01686.09183.0);()()(bit/symble

1686.08113.09799.0)()();(C X p X p H r H r C Y X I X H Y X H X Y H Y H Y X I 时达到信道容量即信源输入为等概分布本信道为强对称信道

=====--=---=∴=-=-==-=+=∴εε

2.20设某信道的信道矩阵为 ???????

?

????????=2.01.01.01.01.01.06.01.01.01.01.01.06.01.01.01.01.01.06.01.01.01.01.01.06.0][

b b b b b 5432154321a a a a a P 试求：

(1) 该信道的信道容量C ；

(2) I(a 3;Y)；

(3) I(a 2;Y)。

解:

bit/symble

551.0);();((3)(2)bit/symble 551.04log 4.0)4.0(5log )1log()(log )1(53====--=---=∴C Y a I Y a I H r H r C 、道

本信道为强对称离散信εε

?H.F. 2.21设某信道的信道矩阵为

??

????=3/13/16/16/16/16/13/13/1][

b b b b 214321a a P 试求：

(1)该信道的信道容量C ；

(2)I(a 1;Y)；

(3)I(a 2;Y)。

解:

bymble

/bit 0817.0);();()3()2(symble /bit 0817.0)6

1,61,31,31(4log ),,,(log 1214321====-=''''-=∴C Y a I Y a I H p p p p H s C 、道

）本信道为对称离散信（

2.22设某信道的信道矩阵为

??

????=8/18/12/14/18/18/14/12/1][P 试该信道的信道容量C ；

解:

bit/symble

0612.0 )81,81,41,21(]81log 81283log 832[),,,()(log )()(814121]8181[1)()()(8

34321]4121[1)()(2

,2,432121

222121211121=-?+?-=''''--=∴==?=+?====?=+?=

===∑===H p p p p H b p b p s C b p r b p b p b p r b p b p s s l l l l l l l l 且道此信道为准对称离散信

2.23求下列二个信道的信道容量，并加以比较(其中0

(1) ??????----=δδδ

δδδ

22][1p q q p P (2) ????

??----=δδ

δδδδ

p q q p P 2002][2

?H.F. 解:

.

0:2)log()()log()(2

2log )2( )0,2,,()]2(2

1log )2(212log 2[ ),,,()(log )()2(2

1)(1)(22

1)02(1)(2

,2,)2(log 2)log()()log()(2

2log )2( )2,,(]log )2(2

1log )2(212[ ),,()(log )(22

1)2(1)()2(2

1)(1)(1

,2,)1(21214321

2

122121321

2

112121时等号成立且当表达式可知、由上面且道此信道为准对称离散信且道此信道为准对称离散信=≤+--+--+-+-+-=----+?-+??+-=''''--=∴-+?=-+-?==?=+?===++--+--+-+-+-=---+-+?-+??-='''--=∴=?=?=-+?=-+-?===∑∑======δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδC C C C q q p p q p q p q p H q p q p p p p p H b p b p s C q p q p r b p r b p s s q q p p q p q p q p H q p q p p p p H b p b p s C r b p q p q p r b p s s l l l l l l l l l l l l l l l l

2.27设某信道的信道矩阵为 ??????????=N p p p P

00000][2

1

其中P 1,P 2，…，P N 是N 个离散信道的信道矩阵。令C 1，C 2，…，C N 表示N 个离散信道的容量。试证明，该信道的容量∑==N i c i C 12log

比特/符号，且当每个信道i 的利用率p i ＝2

Ci-C (i ＝1,2,…,N)时达其容量C 。

证明: :

)1(,]P [)

,](2log[)

1(),2,1()/(log )/()/()

,2,1(:11111可以改写为方程组特点由其中可得解出由方程组列行为设∑∑∑∑∑===========?N m m N m m s j j s

j i j i j s j j i j m m m l r k s C r i a b p a b p a b p N m k l P j βββ

?H.F. ]

2log[)

,,2,1(222

:]2log[])2

(log[]2log[22),,,2,1](2

log[)2(),2,1( )

/(log )/()/()/(log )/()/()/(log )/()/(1)()2log (1)(111

111

111

112212211111

11121∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=--∑=-====================∴====???????????====N

m C C C C k j C m N

m C N m k j s j C k j k j m s j i j pn i j pn k j j pn i j pn s j i j p i j p k j j p i j p s j i j p i j p k j j p i j p m m m k j j pm m j pm m m j pm j m m j pm m j pm N C N m p C N m C r i a b p a b p a b p a b p a b p a b p a b p a b p a b p 时取得信道容量且在各信道利用率为即其中 βββββββββ

第三章 多符号离散信源与信道

3.1设X ＝X 1X 2…X N 是平稳离散有记忆信源，试证明：

H(X 1X 2…X N )=H(X 1)+ H(X 2/ X 1)+H(X 3/ X 1 X 2)+…+H(X N / X 1 X 2…X N -1)。 (证明详见p161-p162)

3.2试证明：logr ≥H(X) ≥H(X 2/ X 1) ≥H(X 3/ X 1 X 2) ≥…≥H(X N / X 1 X 2…X N -1)。 证明:

?H.F. )

/()/()/()(log )

(log log )()

/()/()/()(:

)

/( )/(log )( )/(log )( )/(log )( )/(log )/()()/()

/()/(:

12121312121213122211111

122111211111122111211

111132112111111321121111212211132----==----==-=---==--=-==--=------≥≥≥≥∴≥≥≥≥=-=-=-=??

????-≤∴=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑N N N N k k r i r

ik ik i i ik ik i i r i r ik r ik ik i i ik ik ik i i r i r ik ik i i ik r ik ik ik i i r i r ik ik i i ik r ik ik i i ik ik i k k ik i i ik ik i i ik X X X X H X X X H X X H X H r X H r r X H X X X X H X X X H X X H X H X X X X H a a a a p a a a p a a a a p a a a

a p a a a a p a a a a p a a a a p a a a a p a a p X X X X H a a a a p a a a a p

，即达到最大，又仅当输入均匀分布时重复应用上面式子可得条件概率的平稳性有由离散平稳有记忆信源

3.3试证明离散平稳信源的极限熵：

)/(lim 121-∞

→∞=N N n X X X X H H (证明详见p165-p167)

3.4设随机变量序列(XYZ)是马氏链，且X ：{a 1, a 2,…, a r }，Y ：{b 1,b 2, …,bs},Z:{c 1,c 2, …,cL}。又设X 与Y 之间的转移概率为p(b j /a i )(i=1,2, …,r;j=1,2, …,s)；Y 与Z 之间的转移概率为p(c k /b j )(k=1,2,…,L;j=1,2, …,s)。试证明：X 与Z 之间的转移概率：

∑==s

j j k i j i k b c p a b p a c p 1)/()/()/(

证明:

?H.F. ∑∑∑========∴=∴=================s

j j k i j i k j k i j k s j i j k i j s

j i j k i s j j k i k i k b Y c Z P a X b Y p a c p b c P a b c P Markov XYZ a X b Y c Z P a X b Y p a X b Y c Z p a X b Y c Z p a X c Z p a c p 1111)

/()/()/()

/(),/()

,/()/( )

/,()/,( )

/()/(＝序列为

3.5试证明：对于有限齐次马氏链，如果存在一个正整数n0≥1，对于一切i ，j ＝1，2，…，r ，都有p ij (n 0)>0，则对每个j ＝1，2，…，r 都存在状态极限概率：

),,2,1()(lim r j p n p j ij n ==∞

→ (证明详见:p171~175)

3.6设某齐次马氏链的第一步转移概率矩阵为：

????

?

?????p q p q p q 000210 2 1 0 试求：

(1) 该马氏链的二步转移概率矩阵；

(2) 平稳后状态“0”、“1”、“2”的极限概率。

解：

[][]???????????-=--=-=---=-=--=????????????=>=++?????????????????????????????????????????++=????????????????????==pq p pq q p p pq pq pq p q p pq q pq p q p i i p p p p p p p p q p q p q p p p p pq pq q p pq q p pq pq q p q p q p q p q p q

p q

P P P T 11)1()0(11)1)(1()1(11)1()0()

2,1,0(0)(1)2()1()0()2()1()0(000)2()1()0()2(20000

00)]2()[1(2

2

222222＝由：

3.7设某信源在开始时的概率分布为P{X 0=0}=0.6;P{ X 0=1}=0.3; P{ X 0=2}=0.1。第一个单位

?H.F. 时间的条件概率分布分别是：

P{ X 1=0/ X 0=0}=1/3; P{X 1=1/ X 0=0}=1/3; P{ X 1=2/ X 0=0}=1/3; P{ X 1=0/ X 0=1}=1/3; P{ X 1=1/ X 0=1}=1/3; P{ X 1=2/ X 0=1}=1/3; P{X 1=0/ X 0=2}=1/2; P{ X 1=1/ X 0=2}=1/2; P{ X 1=2/ X 0=2}=0.

后面发出的Xi 概率只与Xi-1有关，有P(Xi/Xi-1)=P(X 1/ X 0)(i ≥2)试画出该信源的香农线图，并计算信源的极限熵H ∞。

解：

[][]bit/symbl

439.1)21

log 2141(2)31

log 31

83

(3)31

log 31

83

(3 )

/(log )/()(41

)(8

3

)(8

3)()3,2,1(0)(1)()()()()

()(02/12/13

/13/13/13/13/13/1)()()()3,2,1)(()3,2,1,(0)2(023/13/13/19/218/718/79

/218/73/102/12/13/13/13/13/13/13/102/12/13/13/13/13/13/13/1)]2([02/12/13

/13/13/13/13/13/1210][2

1 0 3

132132132132100=??-??-??-=-=∴?

??

??????

=

==????????????=>=++??

??????????????

???????????????=∴=>==∴???

?

?

?????=?????????????????????==∴??

?

?

?

?????=∑∑=∞i j i j

i j i i T

i S S p S S p S p H S p S

p S p i S p S p S p S p S p S p S p S p S p S p i S p j i n pij n P P P P ＝由存在极限概率信源具有各态经历性，，既有时二步转移概率均大于且一步转移概率为：有记忆信源：

由题意，此信源为一阶 香农线图如下：

?H.F. 3.8某一阶马尔柯夫信源的状态转移如下图所示，信源符号集为X ：{0,1,2}，并定义p p -=1

(1) 试求信源平稳后状态“0”、“1”、“2”的概率分布p(0)、p(1)、p(2)；

(2) 求信源的极限熵H ∞；

(3) p 取何值时H ∞取得最大值。

解： )bit/symbl 2

log log ()2log 2312log 231log 31(3 )

/(log )/()()2(31)(31)(31)()3,2,1(0)(1)()()()()()(2/2/2/2/2/2/)()()()

3,2,1)(()

3,2,1,(0)1(012/2/2/2/2/2/210][2

1 0 )1(3132132132132100p p p p p p p p p p S S p S S p S p H S p S p S p i S p S p S p S p S p S p S p p p p p p p p p p S p S p S p i S p j i n p n p p p p p p p p p P i j i j i j i i T i ij +-=?+?+?-=-=∴?????????===??????

??????=>=++???????????????????????????????=∴=>==∴??

??

??????=∑∑=∞＝由存在极限概率信源具有各态经历性，，既有时二步转移概率均大于移概率为：

由题意，此信源一步转

symble /bit 585.13log 3

23122122)2

log 22log 2log ()2log

log ((3)max ======∴=++++-=+-=∞∞∞H H p p p p p p p p p p p p p p p p p H 取得最大，且时即由熵的极限定理，当

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