广东省实验中学2012届高三上学期第一次阶段性测试题（数学文）

广东实验中学2012高三上第一次阶段性测试题（一）

文科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

i

1．复数z＝在复平面上对应的点位于( )

1＋i

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，则?U(M∪N)等于( )

A．{1,3,5} B．{2,4,6} C．{1,5} D．{1,6} 3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )

A．(－2，－4) B．(－3，－6) C．(－4，－8) D．(－5，－10)

4．已知f(x)＝?

?2x，x>0?

，则f???f???等于( ) ?f(x＋1)，x≤0??3??3?

?4??4?A．－2 B．4 C．2 D．－4

5．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．

①a<0，b<0，c<0; ②a<0，b≥0，c>0； ③2a<2c; ④2a＋2c<2.

－

??ln x＋2x－6 (x>0)

6．函数f(x)＝?的零点的个数是( )

?－x(x＋1) (x≤0)?

A．0 B．1 C．2 D．3

7．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

92 e222

A . e B．2e C．e D.

42

8．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2?[0,??)(x1?x2)，有则( )

(A)f(3)?f(?2)?f(1) (B) f(1)?f(?2)?f(3) (C) f(?2)?f(1)?f(3) (D) f(3)?f(1)?f(?2) 9．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题： ①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β； ②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

f(x2)?f(x1)?0.

x2?x1其中真命题的个数为( )

A．3 B．2 C．1 D．0

10．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3??A1A2 (λ∈R)，A1A4??A1A2(μ∈R)，

且1??1??2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,已知点C(c，o),D(d，

O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 (A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1?x2?x3?x4?_________. w.w.w.k．

12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋5)＝－f(x)＋2，且当x∈(0,5)时，f(x)＝x，则f(2 011)的值为________．

13．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影

是M，点A?7?2，4?

?，则|PA|＋|PM|的最小值是_________________ 14．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形， 在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点， 这些几何体是(写出所有正确结论的编号)__________．

① 矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，

有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面 体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分为12分）

已知：函数f?x??2cos2x?asinxcosx，f?????6???0， （?）求实数a；（??）求函数f?x?的最小正周期及单调增区间；

（?II）若函数f?x?的图象按向量m?(?6,?1)平移后,得到一个函数g(x)的图象，求g(x)的解析式.

16．（本小题满分13分）

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)

求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

18．（本小题满分14分） 设圆C与两圆x?5??2?y?4,x?52??2?y2?4中的一个内切，另一个外切。

（1）求C的圆心轨迹L的方程;

?3545?（2）已知点M??5,5??,F??此时点P的坐标．

?5,0，且P为L上动点，求||PF|?|PM||的最大值及

?

.

19．（本小题满分14分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

80?立方米，且l≥2r.假设该容器的建3造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3).设该容器的建造费用为y千元.

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.

20．（本小题满分14分）

设函数设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f'(x)?（1）求g(x)的单调区间和最小值；

1，g(x)?f(x)?f'(x)． x（2）讨论g(x)与g??1??的大小关系； x??（3）是否存在x0?0，使得g?x??g?x0??值范围；若不存在，请说明理由．

1对任意x?0成立？若存在，求出x0的取x文数答案

1．

i11??i,故选择A。 1+i222．M?N?2,3,4,5??CU(M?N)?1,6?故选择D. 4．f????4???3??4?4?f????2??3?3??1?8f??????3?3?2?82?2f?????4,故选择B. 333??5．做出函数图像，由已知可得D正确。 6．D．

7．(1,0),(0,?e)，故所求三角形面积为

212e，故选择D. 2f(x2)?f(x1)?0可知函数在[0,??)上

x2?x18．由对任意的x1,x2?[0,??)(x1?x2)，有单调递减，故偶函数

f(x)满足f(1)?f(2)?f(?2)?f(3)，故选择B.

9．C.只有③正确。 10．D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 11.-8 12.1 13.|PA|+|PM|?|AF|=5 14.①③④⑤

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分为12分） 欠

16.（本小题满分13分）

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

?3?13????a??16.解：（?）0?f???2??，a??23. ???6222???? （??）f(x)?(cos2x?1)?3sin2x?2cos?2x?2??????1,故最小正周期3?T?2???， 2 2k????2x??2?????2k?,k?Z?x??k??,k???,k?Z，故函数的增336??区间为

[ ?,2 -3., ?, -6.], ∈ .

（?II）在函数g(x)的图像上任取一点P(x,y)，设该点是由函数f?x?图象上的点

????x?x'?x'?x???? P'(x',y')按向量m?(,?1)平移后所得，则?6??6代入[

6??y?y'?1??y'?y?1 y'?2cos?2x'???????1中可得：y?2cos2x?g(x)?2cos2x 3?

17.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD， AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V. 17.解：(Ⅰ) E,F分

别是PB,PC 的中点,故

EF//BC,BC//AD?EF//AD?EF?平面PAD

AD?平面PAD?EF//平面PAD;

(Ⅱ)PA?ABCD,AB?平面ABCD,故PA?AB又AP?AB,BP?BC?2，所以

AP?AB?故VP?ABC?

18.（本小题满分14分） 设圆C与两圆x?512，底面ABCD是矩形，故S?ABC??2?2?2, 2112?S?ABC?PA??2?2? 333??2?y2?4,x?5??2?y2?4中的一个内切，另一个外切。

（1）求C的圆心轨迹L的方程; （2）已知点M??3545??5,5??,F???5,0，且P为L上动点，求||PF|?|PM||的最大值及

?此时点P的坐标．

18.解：（1）设两个已知圆圆心分别为F1(?5,0),F2(5,0)，则由已知可得：

||CF1|?|CF2||?4(?25)，

222 由双曲线定义可得：a?2,c?5?b?c?a?1，焦点为F1(?5,0),F2(5,0)，

x2?y2?1 故C的圆心轨迹L的方程为4（2）||PF|?|PM||?|MF|?2（当取到最大值时，点P在MF延长线上，

x2?y2?1联立可得 可求的直线lMF:y??2x?25，与方程4?65???1452?5?25 ?。 ?5,?5??或??15,15??舍去??????????.

19.（本小题满分14分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

80?立方米，且l≥2r.假设该容器的建3造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3).设该容器的建造费用为y千元.

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r. 19.（1）

4380?4(20?r3)?rl??r??l?333r222l?2r?r?(0,2]

4?[r3(c?2)?40],r?(0,2] 故y?2?rl?3?4?rc?r20??8?(c?2)?r3??20c?2??3(2)y'?，当时，的正负与的正负相同，而c?3y'r?2rc?2r3?2020与r?3的正负相同，

c?2c?23当0?209?2，即c?时， c?22??20?20?20203333r??0,时，r??0,?y'?0;r?,2时，r??0?y'?0???????c?2?c?2c?2??c?2?，故

??20?2020?33此时函数的减区间为?0,，增区间为?，故当r?3时，函数,2?????c?2?c?2c?2????3c?2)ymin?12?20(

23当32020?9??2，即c??3,?时，r?3?0,?y'?0，故函数在(0,2]上是减函数，c?2c?2?2?故最小值为

r?2时的函数值16?c?48?；

（20）（本小题满分14分）

设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数f'(x)?（1）求g(x)的单调区间和最小值；

1，g(x)?f(x)?f'(x)． x（2）讨论g(x)与g??1??的大小关系； ?x?（3）是否存在x0?0，使得g?x??g?x0??值范围；若不存在，请说明理由． 20.解：（1）由f1导函数f'(x)?)(0?，故

1对任意x?0成立？若存在，求出x0的取x。

11可知f(x)?lnx,x?0，则gx()nl?x?,x0?xxg'(x)?11x?1所以当x?(0,1)时，g'(x)?0;x?(1,??)时，g'(x)?0，故函数?2?2，

xxx的单调增区间为(1,??)，单调减区间为(0,1)，函数在定义域上仅有一个极小值，故也为最小值，最小值为g(1)?1。

1?1??x?1?（2）设?(x)?g(x)?g???2lnx??x,x?0，则g'(x)????0，故函数在?x?x??x?定

义

域

内

为

减

函

数

，

又

2?(1)?0，故当

11x?(0,1)时，?(x)?0,即g(x)?g();x?(1,??)时，?(x)?0,即g(x)?g()；

xx1x?1时,g(x)?g()。

x1111（3）假设存在满足题设的x0，则g?x??g?x0?????g(x0)?(lnx?)?

xxxx2?lnx?g(x0)?lnx?，对任意x?0成立，从而有

x?(lnx)max?g(x0)??1g(x)?(lnx?)min0?x?

1lnx???,(lnx?)min?1?无解，故不存在。

x

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