湖北省八校(荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等)2022届高三下学期第

高三 联考

鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中

荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中

2017届高三第二次联考

数学试题（理科）

命题学校：孝感高中命题人：姚继元王国涛审题人：雷建华张同裕

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数(1)(2)i i z i

-++=-，则z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B =∩

A ．{7}

B ．{3,5}

C ．{1,3,6,7}

D ．{1,3,7}

3.下列选项中说法正确的是

A ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真” 的必要条件.

B ．若向量,a b r r 满足0a b ?>r r ，则a r 与b r 的夹角为锐角.

C ．若22bm am ≤，则b a ≤.

D ．“0,0200≤-∈?x x R x ”的否定是“0,2

≥-∈?x x R x ”.

4.若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于

A. 7

B. 6

C.5

D.4 5.过双曲线22

2

1(0)4x y b b -=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且||6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是

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A ．(0,2]

B ．(0,2)

C ．

D ．( 6.已知若1e ，2e 是夹角为 90的两个单位向量，则213e e a -=，212e e b +=的夹角为

A ．120

B ．60

C ．45

D ．30

7.()20cos a x dx π=-?，则912ax ax ??+ ??

?展开式中，3x 项的系数为

A ．212-

B ．638-

C ．638

D ．6316

8.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入

的内容为

A.S =S +n x

B.S =S +n x n

C.S =S + n

D.S =S +

10n x 9.设F 为抛物线24x y =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若

0FA FB FC ++= ，则FA FB FC ++的值为

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

10.函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数()()()g x f x a f x =+-都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是

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11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（d ）的立方成正比”，此即3V kd =。与此类似，我们可以得到：

(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3V ma =；

(2)正方体的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3V na =；

(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V ）与它的棱长（a ）的立方成正比，即3V ta =； 那么::m n t =

A ．1:4

B :16

C ．12

D 6:12.记)(n f 为最接近)(*∈N n n 的整数，如：1)1(=f ，1)2(=f ，2)3(=f ，2)4(=f ，2)5(=f ，……，若11114034(1)(2)(3)()

f f f f m ++++=L ，则正整数m 的值为 A. 20172016? B. 22017 C. 20182017? D.

20192018?

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点)0,32(π中心对称，那么|φ|的最小值为.

14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”

为事件A , “摸得的两球同色”为事件B ,则概率()|P B A 为.

15.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体 的外接球的表面积为.

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16.已知动点),(y x P 满足：???

????≥++-+≥≤+1)1)(1(04222y y x x x y x ，则x y x 622-+的最小值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B

.

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若0<A <2π，a =6，且△ABC

的面积S =ABC 的周长. 18. （本小题满分12分）

某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：

（Ⅰ）求频率分布表中x 、y 的值，并补全频率分布直方图；

（Ⅱ）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，

40）内的人数X ，

求X 的分布列及数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°，

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AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ；

（Ⅱ）设直线AM 与平面ABCD 所成的角为α，二面角M —AC —B 的大小 为β，求sin α·cos β的值.

20.（本小题满分12分） 设椭圆22

22:18x y E a a

+=-（a >0）的焦点在x 轴上.

（Ⅰ）若椭圆E 的离心率e =，求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为直线x +y =与椭圆E 的一个公共点;

直线F 2P 交y 轴于点Q ，连结F 1P .问当a 变化时，1F P uuu r 与1F Q uuu r 的夹角是否为定值，若是定值，

求出该定值；若不是定值，说明理由.

21.（本小题满分12分）

设函数f (x )=x 2-a x （a >0，且a ≠1），g (x )=()f x '，（其中()f x '为f (x )的导函数）. （Ⅰ）当a =e 时，求g (x )的极大值点；

（Ⅱ）讨论f (x )的零点个数.

请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.

将圆x 2+y 2=1上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；

（Ⅱ）设直线l ：3x +y +1=0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标

系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.

已知0,0,0,a b c >>>函数()f x x a x b c =+--+的最大值为10.

（Ⅰ）求a b c ++的值；

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（Ⅱ）求()()()22211234a b c -+-+-的最小值，并求出此时,,a b c 的值.

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2017届八校二联理数参考答案

一、选择题

CDABD CADBB AC

二、填空题

13. 6π 14.4

1 15. π41 16.409

- 17.解：（1）由正弦定理得2sin A sin B

sin B A ?=

（3分） ∵0<A <π，∴3A π=或23π；……………………（5分） （2

）∵1

sin 2S bc A ==

=283bc =，（7分） 由余弦定理得，2222362cos ()33a b c bc b c bc π

==+-=+-8.b c ?+=（11分）

故△ABC 的周长l =a+b+c =14………………..(12分)

18.由图知，P (25≤x <30)=0.01×5=0.05，故x =100×0.05=5；（2分） P (30≤x <35)=1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2

故y =100×0.2=20，（4分） 其0.20.045

==频率组距…………（6分） （2）∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人， ∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人. （8分）

X 可取0，1，2，211131376222020

7891(0),(1)190190C C C P X P X C C ======， 272

21(2),190

C P X C ===故X 的分布列为（10分） 故912113312190190190

Ex =?+?=（12分） 19.（1）证明：连结OM ，在△PBD 中，OM ∥PB ，OM ?平面ACM ，PB ?平面ACM ，

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故PB ∥平面ACM ；（4分）

（2）取DO 的中点N ，连结MN ，AN ，则MN ∥PO ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 故∠MAN =α为所求的直线AM 与平面ABCD 所成的角. ∵1122MN PO ==，在Rt △ADO

中，DO =

12AN DO ==，在Rt △AMN 中，

3,4AM =∴2sin 3

MN AM α==，（8分） 取AO 的中点R ，连结NR ，MR ，∵NR ∥AD ，∴NR ⊥OA ，MN ⊥平面ABCD ，

由三垂线定理知MR ⊥AO ，故∠MRN 为二面角M —AC —B 的补角，即为π-β. ∵11,,22NR MN ==

∴cos()cos πββ-=-，（11分）

∴sin cos αβ=g （12分） 20.解：（1）由题知2222(8)28c a a a =--=-

，由e =

=得 a 4- 25a 2+100=0，故a 2=5或20（舍），故椭圆E 的方程为22

153

x y +=；（4分） （2）设P (x 0，y 0)，F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，则c 2=2a 2-8，

联立222222(8)(8)

x y a x a y a a ?+=??-+=-??得8x 2

2x +a 4=0，

即22)0a -=

，故20x

，20y =，（7分） 直线PF 2的方程为00()y y x c x c =--，令x =0，则00cy y x c -=-，即点Q 的坐标为00(0,)cy x c

--， 故011000(,),(,)cy F Q c F P x c y x c -==+-uuu r uuu r ，（9分）

故422222220001100001[(28))][()]84()0c a a cy c x c y FQ F P c x c x c x c x c

-----=+-===---uuu r uuu r g （11分） 故1F Q uuu r 与1F P uuu r 的夹角为定值2

π. （12分）

21.（1）g (x )=2x -e x ，()g x '=2-e x =0ln 2x ?=，

当x <ln2时，()g x '>0；当x >ln2时，()g x '<0，故()g x 的极大值点为ln2；（4分）

（2）(Ⅰ)先考虑a >1时，f (x )的零点个数，当x ≤0时，f (x )为单减函数，（5分）

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()1110f a

-=->；f (0)=-1<0，由零点存在性定理知f (x )有一个零点； 当x >0时，由f (x )=0得

22ln 2ln ln ln x x x a x x a a x =?=?=，令22ln 2(1ln )(),()x x h x h x x x -'==则. 由()h x '=0得，x =e ，当0<x <e 时，()h x '>0；当x >e 时，()h x '<0， 故h (x )max =h (e )=2e

，()10,h =且()0h x >总成立，故()h x 的图像如下图， 由数形结合知， ①若2ln a e

>即2e a e >时，当x >0时，f (x )无零点，故x ∈R 时，f (x )有一个零点； ②若2ln a e

=即2e a e =时，当x >0时，f (x )有一个零点，故x ∈R 时，f (x )有2个零点； ③若20ln a e <<即21e a e <<时，当x >0时，f (x )有2个零点，故x ∈R 时，f (x )有3个零点.（9分）

（Ⅱ）再考虑0<a <1的情形，若0<a <1，则

11a

>，同上可知， 当21e e a

>即0<a <2e e -时，f (x )有一个零点； 当21e e a

=即a =2e e -时，f (x )有2个零点； 当211e e a <<即2e e -<a <1时，f (x )有3个零点.（11分） 综合上述， ①当2e a e >或0<a <2e

e -时，

f (x )有一个零点；

②当a =2e e 或a =2e e -时，f (x )有2个零点；

③当1<a <2e e 或2e e -<a <1时，f (x )有3个零点.（12分）

22.解：（1）由坐标变换公式13x x y y

?'=???'=?得3,x x y y ''==代入x 2+y 2=1中得2291x y ''+=， 故曲线C 的参数方程为1cos 3sin x y θθ?=???=?；（5分） （2）由题知，11(,0)

3P -，P 2(0，1)，P 1 P 2线段中点11(,)62M --， 123P P k =-，故P 1 P 2线段中垂线的方程为111()236y x +=+（8分）

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即3x -9y -4=0，即极坐标方程为3cos 9sin 40.ρθρθ--=（10分）

23.解：（1）()(),f x x a x b c b a c b a c =+--+≤--+=++Q 当且仅当x b ≥时等号成立，又()0,0,,a b a b a b f x >>∴+=+∴的最大值为,a b c ++又已知()f x 的最大值为10，所以10.a b c ++=（4分）

（2）由（1）知10,a b c ++=由柯西不等式得

()()()()()()22222222112321122131616,22a a b c b c a b c ??-?-?????+-+-++≥?+-?+-?=++-=?? ? ?????????????即()()()22218123,43

a b c -+-+-≥（7分） 当且仅当

123411a b c ---==即11811,,333a b c ===时等号成立。（10分）

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