概率论与数理统计_谢永钦版课后答案

概率论与数理统计习题及答案

习题一

1.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C

（1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C

（3）A，B，C都发生；

（4）A，B，C

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C

（7）A，B，C至多有2个发生；

（8）A，B，C至少有2个发生.

【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC

（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC

(5) ABC=A B C(6) ABC

(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C

(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC

3..

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.

【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]

=1-[0.7-0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,

（1）在什么条件下P（AB

（2）在什么条件下P（AB）

【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

2 =

14+14+13-112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率

是多少？

【解】 p =533213

1313131352C C C C /C 8.

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；

（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.

【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17

）5 （亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

P （A 2）=5567=(67)5 (3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}

P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17

)5 9..见教材习题参考答案.

10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n

.

（1） n 件是同时取出的；

（2）

n

（3） n 件是有放回逐件取出的.

【解】（1） P （A ）=C C /C m

n m n M N M N --

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N 种，n 次抽取中有m

次为正品的组合数为C m

n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正

品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n m N M --种，

故

P （A ）=C P P P m m n m n M

N M n N

-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

P （A ）=C C C m

n m M N M n

N

-- 可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n

次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，

3 m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有

N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故

()C ()/m m n m n n

P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为

M N

，则取得m 件正品的概率为 ()C 1m n m m

n M M P A N N -????=- ? ????? 11..见教材习题参考答案. 12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太

弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？

【解】设A ={发生一个部件强度太弱}

1

33103501()C C /C 1960

P A == 13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率.

【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

213434233377C C C 184(),()C 35C 35

P A P A ==== 故 2

32322()()()35P A A P A P A =+= 14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率；

（2） 至少有一粒发芽的概率；

（3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）

(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==?=

(2) 1

2()0.70.80.70.80.94P A A =+-?= (3) 2

112()0.80.30.20.70.38P A A A A =?+?= 15.3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325

p == 16.

0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球

数相等的概率.

4 【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则

3

331

2123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+??+

22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)?

=0.32076 175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

【解】 4111152222410C C C C C 131C 21

p =-= 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.

【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.

（1） ()0.1()0.2()0.5

P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A

B P A P B P AB =+-=+-= 19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

()6/86()()7/87

P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7. 6()7P B A =

20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是

男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=+ 0.50.05200.50.050.50.002521?=

=?+? 21.人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

5

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.

如图阴影部分所示.

22301604

P == 22.0，1）中随机地取两个数，求：

（1） 两个数之和小于

65

的概率； （2） 两个数之积小于14的概率. 【解】 设两数为x ,y ，则0

（1） x +y <65

. 1144

1725510.68125

p =-== (2) xy =<14

. 1

111244111d d ln 242x p x y ??=-=+ ????? 23.P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）

【解】 ()()()()()()()()

P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+-

6 0.70.510.70.60.54-=

=+- 24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式，有

3

0()()()i i i P B P B A P A ==∑

3312321333

6996896796333333331515151515151515

C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+?0.089=

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：

（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？

（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知

（1）()()()()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137

?===?+? 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%

(2) ()()()()()()()()()

P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913?=

==?+? 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而

B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？

【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }

C ={收到信息是A }，则={收到信息是B }

由贝叶斯公式，得

7 ()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =

+ 2/30.980.994922/30.981/30.01

?=

=?+?

27.

【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=

13

,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 111120

()()()()()()()

i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33?=

=?+?+? 28.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =

=+ 0.960.980.9980.960.980.040.05?=

=?+? 29..统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，

C ={该客户是“冒失的”}，

D ={该客户在一年内出了事故}

则由贝叶斯公式得

()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C =

=++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3

?=

=?+?+?

30.0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.

【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.

4

12341()1()i i P A P A A A A ==-

12341()()()()P A P A P A P A =-

8 10.980.970.950.970.124=-???= 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n 次独立射击.

1(0.8)0.9n -≥

即为 (0.8)0.1n ≤

故 n ≥11

至少必须进行11次独立射击. 32.P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.

【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()

P AB P AB P B P B = 亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =

()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-

因此 ()()()P AB P A P B =

故A 与B 相互独立. 33.

15，13，14

，求将此密码破译出的概率.

【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则 3

1231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=- 42310.6534=-

??= 34.0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.

【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

3

0()(|)()i i i P A P A B P B ==∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7

=0.458 35.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：

（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

9 （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.

【解】（1） 3101100

C

(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑ (2) 10102104C (0.25)(0.75)0.2241k

k k k p -==

=∑ 36.6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；

（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；

（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1） 2466

C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010

P A = （2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6106P ()10

P B = （3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有1

10C 种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情

况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余

8层中任一层离开，共有1

31948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；

③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故

1

213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++

（4） D=B .故

6106P ()1()110

P D P B =-=- 37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：

（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；

（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.

【解】 （1） 111

p n =-

10 (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=

>- (3) 12(1)!13!(2)!;,3!!

n n p p n n n n --''===≥ 38.[0，a ]

【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由

0()()x y a x y x a x y y y a x y x

+>--??+-->??+-->? 构成的图形，即

02022

a x a y a x y a ?<

p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.

【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n

--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）.

【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

01512384()0.512,()0.38410001000

P A P A =

===, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====. 41.对任意的随机事件A ，B ，

C

P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A

).

【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=

()()()P AB P AC P ABC =+-

11 ()()()P AB P AC P BC ≥+- 42.3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

34

13C 3!3()48

P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

1433C 1()416

P A == 因此 213319()1()()181616

P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416

P A == 43.2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，

C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以

1()()2

P C P A -= 由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为

211()()()22

n n n n P C C = 故 2211()[1C ]22

n n n P A =- 44.n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P （A ）=P （B ）

（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）

=0.5

(2) 当n 为偶数时，由上题知

211()[1C ()]22

n n n P A =- 45.n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.

显然有

>正正（甲乙）

=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）

12 =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反）

因此P (甲正>乙正)=

12 46.Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |)≥P (B |)，则P （A ）

≥P (B ).

【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得

()(),()()

P AC P BC P C P C ≥ 即有 ()()P AC P BC ≥

同理由 (|)(|),P A C P B C ≥

得 ()(),P AC P BC ≥

故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=

47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则

121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k k i k k i j k i i i n P A n n

P A A n

n P A A A n --==-=--=

-

其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个.

显然n 节车厢全空的概率是零，于是

21121111

22111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n n

k k i n i k i j n i j n n k n i i i n i i i n n n n i n

i S P A n n n S P A A n n S P A A A n S P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--=

=-==-+-+-∑∑

∑

13 121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n k n n n n n n n

--=---+

+-- 故所求概率为 121121()1C (1)C (1)n k i i n n i P A n n =-=--+--+111(

1)C (1)n n

k n n n

+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1.

【证】

在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为

1(1)1()n n ε--→→∞

49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}

B ={这只硬币为正品}

由题知 (),()m n P B P B m n m n

==++ 1(|),(|)12

r P A B P A B == 则由贝叶斯公式知

()()(|)(|)()()(|)()(|)

P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r r r m m m n m n m n m

n m n

+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又

【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2

P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。把取2n -r 次火柴视作2n -r 重贝努里试验，则所求概率为

12211112C ()()C 2222

n n n r n n r n r r r p ----== 式中2反映B 1与B 2盒的对称性（即也可以是B 2盒先取空）.

（2） 前2n -r -1次取火柴，有n -1次取自B 1盒，n -r 次取自B 2盒，第2n -r 次取自B 1

盒，故概率为

111212212111112C ()()C ()2222

n n n r n n r n r n r p ----------== 51.

n 重伯努利试验中A 出现奇数次的概率.

14 【解】 设在一次试验中A 出现的概率为p .则由

00112220()C C C C 1n n n n n n n n n n q p p q pq

p q p q --+=++++= 0011222n

0()C C C (1)C n n n n n n n n n n q p p q pq p q p q ---=++-+-

以上两式相减得所求概率为

113331C C n n n n p pq p q --=+

+

1[1()]2

n q p =-- 1[1(12)]2

n p =-- 若要求在n 重贝努里试验中A 出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

21[1(12)]2

n p p =+-. 52.设A ，B 是任意两个随机事件，求P {（A +B ）（A +B ）（A +B ）（A +B ）}的值.

【解】因为（A ∪B ）∩（A ∪B ）=A B ∪A B （A ∪B ）∩（A ∪B ）=AB ∪AB

所求 ()()()()A B A B A B A B ++++

[()()]AB AB AB AB =+

=?

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A ，B 和

C

ABC =Φ，P (A )=P (B )=P (C )< 1/2，且P （A ∪B ∪C ）=9/16，求P （A ）.

【解】由()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+

293()3[()]16P A P A =-=

故1()4P A =或34,按题设P （A ）<12,故P （A ）=14

. 54.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A

不发生的概率相等，求P （A ）.

【解】 1()()1()9

P A B P A B P A B ==-= ① ()()P AB P AB = ②

故 ()()()()P A P AB P B P AB -=-

故 ()()P A P B = ③

15 由A ,B 的独立性，及①、③式有

11()()()()9

P A P B P A P B =--+ 212()[()]P A P A =-+

2[1()]P A =-

故 11()3P A -=±

故 2()3P A =或4()3P A =（舍去） 即P （A ）=23

. 55.随机地向半圆0

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于π

/4

【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为12

πa 2.阴影部分面积为 22π142

a a + 故所求概率为

222π1114212ππ2

a a p a +==+ 56.10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格

品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A ={两件中至少有一件是不合格品}，B ={另一件也是不合格品}

2

4

21026210

C C ()1(|)C ()51C P AB P B A P A ===- 57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.

（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .

【解】设A i ={报名表是取自第i 区的考生}，i =1,2,3.

B j ={第j 次取出的是女生表}，j =1,2.

则 1(),1,2,33

i P A i == 111213375(|),(|),(|)101525

P B A P B A P B A ===

16 (1) 3111137529

()(|)()310152590i

i p P B P B A ====++=∑ (2) 21212()(|)()

P B B q P B B P B == 而 3221()(|)()i i i P B P B

A P A ==∑

1782061()310152590

=++= 3

21211()(|)()i i i P B B P B B A P A ==∑

137785202()3109151425249

=?+?+?= 故 2122

()20961()

6190

P B B q P B === 58. 设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0,P (A |B )=1,试比较P (A ∪B )与P (A )的大小. (2006研考)

解：因为 ()()()()P A B P A P B P AB =+-

()()()()P AB P B P A B P B =?=

所以 ()()()()()P A

B P A P B P B P A =+-=.

59.

60.

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律.

【解】

17 353

5

2

435

3,4,5

1(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ===

======= 故所求分布律为

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：

（1） X 的分布律；

（2） X 的分布函数并作图；

(3)

133{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】

313315122133151133150,1,2.

C 22(0).C 35

C C 12(1).C 35

C 1(2).C 35

X P X P X P X ==========

（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=

3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1

故X 的分布函数

18 0,022,0135()34,12351,2x x F x x x

(3)

1122()(),2235

333434(1)()(1)022********(1)(1)(1)2235

341(12)(2)(1)(2)10.3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=<<=--==--= 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.

31

232233(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384

(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============ 故X 的分布律为

分布函数 0,00.008,01()0.104,120.488,231,

3x x F x x x x

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

4.（1） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!k a k

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a .

19 （2） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a .

【解】（1） 由分布律的性质知

001()e !

k k k P X k a a k λλ∞∞======∑∑ 故 e

a λ-=

(2) 由分布律的性质知

111()N N

k k a P X k a N

======∑∑ 即 1a =.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：

（1） 两人投中次数相等的概率;

（2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)

(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+

(3,3)P X Y ==

331

21233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++

22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+

0.32076=

(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+

(2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==

1

2322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++

33221

233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++

31232233

(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+ =0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，

则有

20 ()0.01P X N ><

即

2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k k k N -=+<∑

利用泊松近似 2000.02 4.np λ==?=

41e 4()0.01!k

k N P X N k -∞

=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）

(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=

0.10.11e 0.1e --=--?

8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}.

【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

1422355

C (1)C (1)p p p p -=- 故 13

p = 所以 4451

210(4)C ()33243

P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，

（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）

5

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）

7

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

21 【解】（1）3

2(0)e P X -== (2) 5

2(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-

11.设P {X =k }=k k k p p --22)

1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44)

1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=

59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9

P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-

故得 2

4(1),9

p -= 即 1.3p = 从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781

P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,

20000.0012np λ==?=

得 25

e 2(5)0.00185!

P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14

.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.

【解】1,2,,,X k =

113()()44

k P X k -== (2)(4)(2)P X P X P X k =+=+

+=+ 321131313()()444444

k -=++++ 21

314145

1()4

==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

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