备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题01利用数轴解决集合运算问题

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1 专题01 利用数轴解决集合运算问题

【热点聚焦与扩展】

数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算.

1、集合运算在数轴中的体现：

:A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分. :A B 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和.

:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）.

2、问题处理时的方法与技巧：

（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.

（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.

（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.

（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可.

3、作图时要注意的问题：

（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.

（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.

【经典例题】

例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则（ ）

A ．{|0}A

B x x =< B ．A B =R

C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

【答案】A

【解析】

由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以，结合数轴得

{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.

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2 例2【2018届河北省衡水中学高三上学期七调】 设集合{|2}A x x =<， {}

B x x a =，全集U R =，若U A B ?e，则有（ ）

A. 0a =

B. 2a ≤

C. 2a ≥

D. 2a <

【答案】C

【解析】(){}2,2,U A C B x a =-=≤,结合数轴得2a ≤,故选C.

例3【2018届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数a R ∈，集合()(){}|120A x x x =--≥， {}|B x x a =≥，若A B R ?=，则a 的取值范围为（ ）

A. (),1-∞

B. (],1-∞

C. ()2,+∞

D. [

)2,+∞

【答案】B 【解析】由题得{|21}A x x x =≥≤或，因为A B R ?=，所以通过画数轴分析得到1a ≤，（注意一定要取等），故选B.

【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点；

（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合；

（3）注意考虑端点处是否可以重合.

例4【2018届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合{}A x x a =<， {}2320B x x x =-+<，若A B B ?=，

则实数a 的取值范围是（ ）

A. 1a <

B. 1a ≤

C. 2a >

D. 2a ≥

【答案】D

例5.已知函数()221,02()1,,20

x x g x ax f x x x ?-≤≤?=+=?--≤

【答案】

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3 【解析】思路：任取[]12,2x ∈-，则()1g x 取到()g x 值域中的每一个元素，依题意，存在2x 使得()()12g x f x =，意味着()g x 值域中的每一个元素都在()f x 的值域中，即()g x 的值域为()f x 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出a 的范围

解：[]20,2x ∈时，()[]20,3f x ∈ [)22,0x ∈-时，()[)24,0f x ∈-

()[]24,3f x ∴∈-

[)1,0a ∴∈-

综上所述：[]1,1a ∈-

答案：[]1,1a ∈-.

例6.已知集合{}{}|21,|A x x x B x a x b =><-=≤≤或，若(],2,4A

B R A B ==，则b a =________ 【答案】4-

【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B 的范围.从而确定出,a b 的值， 1,4a b =-=，所以4b a

=-. 例7. 已知集合{}{}0)12(,31122<+++-=≤++-=m m x m x x B x x x A ，若A

B ≠?，则实数m 的取值范围为 【答案】53(,)22

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zsne.html