数理统计复习题第八章

第七章 假设检验

三、典型题解

例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):

0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,

问机器是否正常?

解: 根据样本值判断??0.5还是??0.5.提出两个对立假设

H0:???0?0.5和H1:???0

选择统计量：Z?X??0?/n~N(0,1)取定a=0.05，则za/2=z0.025=1.96又,已知

n=9, s=0.015, 由样本计算得x=0.511，即有H0, 认为包装机工作不正常.

x-m0s/n=2.2>1.96，于是拒绝假设

例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(?,?)，

2??40cm/s,??2cm/s，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取n=25只，测得燃

烧率的样本均值为x?41.25cm/s.设在新方法下总体均方差仍为2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平??0.05） 解：根据题意需要检验假设

H0:m?m040（即假设新方法没有提高了燃烧率）,

H1:m>m0（即假设新方法提高了燃烧率）,

这是右边检验问题，拒绝域为z=x-m0s/n?z0.051.645，由

z=x-m0s/n=3.12>51.z645可得值落到拒绝域中故在显著性水平a=0.05 下拒绝 H0.

即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.

例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今

从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:

10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7平??0.05）

解：因为X~N(m,s), s=0.15，要检验假设

2

假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? （取显著性水

H0:m=10.5, H1:m110.5

其中n?15,x?10.48,??0.05,则 x??010.48?10.5? ??0.516,查表得

?/n0.15/15z0.05?1.645,于是x-m0s/n=-0.516

例4：如果在例3中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?

解：依题意X~N(m,s), m,s均为未知，要检验假设H0:m=10.5,22H1:m 10.5,

n?15,x?10.48,??0.05,s?0.237,t=x-m0s/n=10.48-10.5 =0.327，查t分布

0.237/15表得：ta/2(n-1)=t0.025(14)=2.1448>t=0.327,故接受 H0，认为金属棒的平均长度无显著变化.

例5：某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布,?,?均为未知. 现测得16只元件的寿命如下:

2159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 解：依题意需检验假设H0:???0?225,H1:??225, 取a=0.05, n?16,x?241.5,s?98.7259,查表得：

t0.05(15)=1.7531>t=x-m0s/n=0.6685

故接受 H0，认为原件的平均寿命不大于225小时.

例6：在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼10炉, 其得率分别为

(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3； (2)新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1； 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体，问建议的新操作方法能否提高得率? （取

a=0.05）

解：需要检验假设H0: m1-m2>0, H1: m1-m2<0.分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差：

n1?10,x?76.23,s1?3.325,n2?10,y?79.43,s2?2.225,

且sw222(10-1)s12+(10-1)s22==2.775,查表可知t0.05(18)=1.7341,查表7-1知其拒绝

10+10-2域t??t?(n1?n2?2).因为t=x-y,所以拒绝??4.295??t0.05(18)??1.734111sw+1010H0, 即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.

例7：有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下:

x?%?y?%?0.200.300.100.210.400.520.500.320.600.780.700.800.901.000.590.680.770.89

d?x?y?%?0.100.09?0.120.18?0.180.110.120.130.11问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? (??0.01)

解：本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的. [这也表明不能将光谱仪

Ix 对9个试块的测量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成

一个样本, 因此不能用表7-3中第1栏的检验法作检验].

而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差di?xi?yi,设d1,d2,L,dn来自正态总体N(md,s2)，这里 md，s2均为未知，若两台机器的性能一样,则对各数据的差异d1,d2,L,dn属随机误差随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.

要检验假设H0: md=0, H1: md 0.设d1,d2,L,dn,的样本均值d样本方差s,按表7-1中第1栏中关于单个正态分布均值的 t 检验, 知拒绝域为：

2 t?d?0?t?/2(n?1), 由n=9,t?/2(8)?t0.005(8)?3.3554,d?0.06,s?0.1227,可

s/n知t=1.467<3.3554,所以接受认为这两台仪器 H0，认为这两台仪器的测量结果无显著的差异.

例8:某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 ? =5000 (小时2) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差 s2=9200(小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?（a=0.02） 解：要检验假设H0:s2=5000,22H1:s2 5000,

22(n?1)??n?26,??0.02,?0?5000,??/20.01(25)?44.314,

2?12??/2(n?1)??0.99(25)?11.524,

拒绝域为: (n?1)s2?02? 11.524, 或(n?1)s2?02? 44.314

(n-1)s225 9200因为==46>44.314，所以拒绝 H0，认为这批电池的寿命的波动性较

s025000以往的有显著的变化.

2例9:一自动车床加工零件的长度服从正态分布N(?,?)，原来加工精度?0?0.18，经

2过一段时间生产后，抽取这车床所加工的n?31个零件，测得数据如下所示：

长度xi 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0 频数ni 1 3 7 10 6 3 1 问这一车床是否保持原来得加工精度. 解：由题意要检验假设H0:?22?0.18;H1:?2?0.18，此时我们只要考虑单侧的情形，

7n1(xi?x)2?44.5，对于给定的??0.05，查自由度由题中所给的数据计算得：???0.18i?12为n?1?30的?分布分位数表得临界值?0.95(30)?43.8，此时???0.95(30)，因此

222拒绝原假设H0，这说明自动车床工作一段时间后精度变差.

对于单个正态总体有关方差检验的问题，我们可用?—检验来解决，但如果要比较两个正态总体的方差是否相等，我们就要用下面的F—检验. 例10: 一枚骰子掷了100次，得结果如下表

点数

1

2

3

4

5

6

2频数fi

13 14 20 17 15 21

在??0.05下，检验这枚骰子石头均匀？

解：用X表示骰子掷出的点数，P{x=i}=pi，i?1,2,...,6.如果骰子是均匀的的，则

pi=1/6，i?1,2,...,6.检验假设

H0：pi=1/6

计算统计量?的观察值，得

2c2=[(13-100210021002100)+(14-)+...+(21-)]?66663.2

22查表得c0.05(6-1)=11.071.经比较知c2=3.2

匀的.

四、练习题

1.某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1600,802).某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个，测得它们的寿命均值x=1548小时.如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡寿命均值m=1600小时？

参考答案：U?2.06?U0.025?1.96，即认为该天生产的灯泡的寿命均值m11600小时. 2.某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉, 洗衣粉包装机在正常工作时, 装包量

X~N(500,22)(单位:g), 每天开工后, 需先检验包装机工作是否正常. 某天开工后,

在桩号的洗衣粉中任取9袋, 其重量如下:

505,499,502,506,498,498,497,510,503

假设总体标准差?不变,即??2, 试问这天包装机工作是否正常?(??0.05) 参考答案：，

3.已知某种电子元件的平均寿命为3000小时.采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值x=3100小时，样本标准差s=170小时.设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平a=0.01)

参考答案：t=2.63>t0.99(19)=2.54，认为采用新技术后电子元件的平均寿命有显著提高. 4. 某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15，在显著性水平??0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分？

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