随机过程试题及答案

1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos(? t+?),-?

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设?Wn,n?1?是与泊松过程?X(t),t?0?对应的一个等待时间序列，则Wn服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

?t对每一个确定的t对应随机变量X(t)???3,如果t时取得红球，则 这个随机过

??et,如果t时取得白球程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p(n)(n)ij)，n步转移矩阵P?(pij)，二者之间的关系为 。

7．设?Xn,n?0?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概率

pj(n)?P?Xn?j?，n步转移概率p(n)ij，三者之间的关系为 。 8．设{X(t),t?0}是泊松过程，且对于任意t2?t1?0则

P{X(5)?6|X(3)?4}?______

9．更新方程K?t??H?t???t0K?t?s?dF?s?解的一般形式为 。

10．记??EXn,对一切a?0，当t??时，M?t+a??M?t?? 。 得 分 评卷 人 二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BCA)=P(BA)P(CAB)。

共6页第1页

2.设{X(t),t?0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t?0}是一个马尔科夫过程。

3.设?Xn,n?0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n?0,1?l

i,j?I，n步转移概率p(n)(l)(n-l)ij??pikpkj ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，k?I证明并说明其意义。

共6页 第2页

4.设?N(t),t?0?是强度为?的泊松过程，?Yk,k=1,2,??是一列独立同分布随机变N(t)量，且与?N(t),t?0?独立，令X(t)=?Yk,t?0，证明：若E(Y21

k=1E?X(t)???tE?Y1?。

得 分 评卷 人 三、计算题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

??1/32/30?1/3?1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P??02/3??，求其平稳分布。

?01/32/3??

共6页第3页

2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为?，而今天无雨明天有雨的概率为?；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设??0.7,??0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

共6页 第4页

得 分 评卷 人 四、简答题（本题6分） 简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。

4.设有四个状态I=?0，1，2，3?的马氏链，它的一步转移概率矩阵

?1?21200? ?P=??121200? ?? ?14141414? ???0001?? （１）画出状态转移图； （２）对状态进行分类； （３）对状态空间I进行分解。

共6页第5页 共6页 第6页

一．填空题 1．为e?(eit-1)。2． 12(sin(?t+1)-sin?t)。3． 1?

4． ? 5． ??1?3t,23t,?;e,e2???(n)?。 6．P(n)?Pn。 7．pj(n)??pi?pij。

i?I8．18e?6 9。K?t??H?t???tK?t?s?dM?sa0? 10.

?

二．证明题 1.

证明：左边=P(ABC)P(A)?P(ABC)P(AB)P(AB)P(A)?P(CAB)P(BA)=右边 2.

证明：当0?t1?t2???tn?t时，P(X(t)?xX(t1)=x1,X(t2)=x2,?X(tn)=xn)=

P(X(t)-X(tn)?x-xnX(t1)-X(0)=x1,X(t2)-X(0)=x2,?X(tn)-X(0)=xn)=

P(X(t)-X(tn)?x-xn)，又因为P(X(t)?xX(tn)=xn)=P(X(t)-X(tn)?x-xnX(tn)=xn)=

P(X(t)-X(tn)?x-xn)，故P(X(t)?xX(t1)=x1,X(t2)=x2,?X(tn)=xn)=

P(X(t)?xX(tn)=xn) 3.

证明：P(n)??ij?P?X(n)=jX(0)=i??P??X(n)=j,?X(l)=kX(0)=i?=

k?I??P?X(n)=j,X(l)=kX(0)=i?

k?I =?P?X(l)=kX(0)=i??P?X(n)=jX(l)=k,X(0)=i?=?P(l)(n-l)ikPkj，其意义为n步转

k?I移概率可以用较低步数的转移概率来表示。

共6页第7页 4.

证明：由条件期望的性质E?X(t)??E?E??X(t)N(t)???，而

E??X(t)N(t)?n???E?N(t)????YiN(t)?ni=1? ??n??n=E???Y?=E???Y?iN(t)?n?i??=nE(Y1)，所以E?X(t)???tE?Y1?。 i=1i=1 三．计算题（每题10分，共50分） 1. 解：

???111?3?1?3?2?解方程组???P和??i?1??212??，即??31?3?3

??223????3?2?3?3?1?2??3?117?24124解得?1?,2?7,?3?7，故平稳分布为??(7,7,7)

2.解：设?N(t),t?0?是顾客到达数的泊松过程，??2，故P?N(2)=k??(4)k-4k!e，则

P?N(2)?3??P?N(2)=0?+P?N(2)=1?+P?N(2)=2?+P?N(2)=3??e-4?4e-4?8e-4?323e-4?713e-4 3.解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=??p00p01??p????0.70.3p10???0.40.6?，于是11?P(2)?PP=?0.610.39??，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)?0.57490.4251?，从?0.520.48??P?PP???0.56680.4332??而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P(4)00?0.5749。

共6页 第8页

4.

解：（1）图略；

（2）p33?1,而p30，p31，p32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记C1=?3?；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记C2=?0，1?，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达C1，C2中的状态，而C1，C2中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记D=?2?。 （3）状态空间I可分解为：E=D?C1?C2

四.简答题（6分） 答：（略）

共6页第9页 共6页 第10页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zsf6.html