教师招聘圆锥曲线经典总结

第 13 页 圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆

一、椭圆定义

定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）

椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ）

定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）

二、椭圆的性质定理

长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①

准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ②

通径等于 2 e p ，切线方程用代替③

焦三角形计面积，半角正切连乘b ④

注

解：

1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =

+

2准线

方程：2

a x c = （a 方除以c ）

3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距

第 13 页

离称为椭圆的通径.（通径22

c b 2b 2a c a

d 2ep =??==）

过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到.

等效代替后的是切线方程是：0022x x y y

1a b

+=

4、焦三角形计面积，半角正切连乘b

焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半.

则焦三角形的面积为：2

S b 2

tan

θ

=

证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：

222m n 2mn 4c cos θ+-?=

22224a 4b m n 4b ()=-=+-

即：2

2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.

即：2

122b mn PF PF 1||||cos θ==+

故：12

F PF 1S m n 2sin θ=??△2

2

12b b 211sin sin cos cos θθθθ=?

?=?++

又：22221222

sin cos

sin tan cos cos

θθ

θ

θ

θθ

=

=+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122

F PF S b 2tan θ

?=. 三、椭圆的相关公式

切线平分焦周角，称为弦切角定理①

1F

2F

O

x

y

P

m

n

第 13 页 切点连线求方程，极线定理须牢记②

弦与中线斜率积，准线去除准焦距③

细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④

注解：

1

弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中，焦距所对应

的角.

弦切角是指椭圆的弦与其切线相交

于椭圆上时它们的夹角，当弦为焦点弦

时（过焦点的弦），那么切线是两个焦

点弦的角平分线.

2若000P x y (,)在椭圆22

22x y 1a b +=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.

切点弦12P P 的直线方程即极线方程是

0022x x y y 1a b

+=（称为极线定理） 3

弦指椭圆内的一弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即

OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2

c a x c =-去除准焦距2b p c =，其结果是：2AB OM 2c p b k k x a

?==-

4

第 13 页

中点弦AB 的方程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称

为中点弦，则中点弦的方程就是22

00002222x x y y x y a b a b

+=+，是直线方程.

弦中点M 的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其

中点M 的方程就是22

002222x x y y x y a b a b

+=+，仍为椭圆.

这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线

一、双曲线定义

第 13 页

二、双曲线的性质定理

基本同椭圆，有所区别：

实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①

准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ②

通径等于 2 e p ，切线方程用代替③

焦三角形计面积，半角余切连乘b ④

注解：

1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222

a b c += 2

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准线方程2

a x c

=± （a 方除以c ）

准焦距p ：焦点到准线的距离：2

b p

c = （b 方除以c ）

3通径等于2 e p ，切线方程用代替

双曲线的通径

d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间

的距离称为双曲线的通径.（通径22

c b 2b 2a c a

d 2ep =??==）

过双曲线上000P x y (,)点的切线方程，用000P x y (,)等效代替双曲线方程

得到，等效代替后的是切线方程是：0022x x y y

1a b

-=

4焦三角形计面积，半角余切连乘b

焦三角形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF γ=∠的一半.

双曲线22

22x y 1a b

-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶

点任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三角形满足：2

122b PF PF 1cos γ=- 其面积为；122

F PF S b co 2t γ

?=.

证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=

在12F PF ?中，由余弦定理得：

2

2

2

121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，

即：222m n 2mn 4c cos γ+-?=2222

4a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222

m n 2mn m n 4b cos ()γ+-?=-+

即：2

2mn 2mn 4b cos γ-?=，即：22b mn 1(cos )γ=-

第 13 页 即：22b mn 1cos γ=-，即：2122b PF PF 1cos γ

=- 那么，焦点三角形的面积为：

12F PF 1S mn 2sin γ?=?212b 21sin cos γγ=??-

2222b 22b 122sin cos sin cos sin γγ

γγγ==?-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ?=

同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2

cot γ=±? 双曲线的焦点三角形的面积为：122F PF S b co 2t γ

?=. 三、双曲线的相关公式

切线平分焦周角，称为弦切角定理①

切点连线求方程，极线定理须牢记②

弦与中线斜率积，准线去除准焦距③

细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④

注解：

1

弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平

分双曲线的焦周角.

焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.

弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲

线上时它们的夹角，当

弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两

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个焦点弦的角平分线.

如图，12F PF ?是焦点三角形，12F PF ∠为焦周角，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.

2

若000P x y (,)在双曲线

22

2

2x y 1a b

-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦

12P P 的直线方程即极线方程是

0022x x

y y

1a b

-=（称为极线定理）

3弦指双曲线内的一弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离

2c a x c =去除准焦距2b p c

=，其结果是：

2

AB OM

2c p b k k x a

?==

4中点弦AB 的方程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，则中点弦的方程就是：

220000

2

2

22x x y y x y a

b

a b

-

=-，它是直线方程. 弦中点M 的轨迹方程：在双曲线中

，过双曲线外一点000P x y (,)的弦

第 13 页 AB ，其AB 中点M 的方程就是22

002222x x y y x y a b a b

-=-，仍为双曲线. 这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.

圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线

一、抛物线定义

抛物线，有定义，定点定线等距离

1

2

二、抛物线性质

焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②

焦弦切线成直角，切点就是两端点③

端点投影在准线，连结焦点垂直线④

焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥

直角梯形对角线，交点就是本原点⑦

焦弦三角计面积，半个p 方除正弦⑧

注解：

1

抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.

抛物线方程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-

(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦.

第 13 页 弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y y y 2+= 焦弦方程：()p

y k x 2=-，k 为斜率.

2

焦点三角形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹角是钝角. 证明：焦弦AB 满足的条件

()2y 2px p y k x 2

?=??=-??? ()22p k x 2px 2-=? ()22222k p k x k 2px 04-++=

由韦达定理得：2A B

p x x 4

=

2A B p y y 22p p 2

==-=-?

=-， 即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ① 且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)?=?=+=-<. 故：焦点三角形两边之点乘积为定值.

3

即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线方程：2y 2px = 得到导数：yy p '=，即：p y y '= 故：AE A p k y =，BE B p k y = 于是：2AE BE A B A B

p p p k k y y y y ?=?=

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将①式2A B y y p =-代入上式得：AE BE k k 1?=-

即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形. 4

即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2

(,)-

则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ?=+

将①式2A B y y p =-代入上式得：CF DF 0?= 故：CF DF ⊥

即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则

CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.

5

若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥ 用向量方法可证.

由于M 是AB 的中点，AEB ?为直角三角形，计算可得E 是DC 的中点， 故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0?=

即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直. 6

即：切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角) 如图：因为ADE ?和AFE ?都是直角三角形， 且由定义知：AF AD =，AE AE =

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故ADE AFE ??≌，则对应角相等. 即：AE 是DAF ∠的角平分线 同理，BE 是CBF ∠的角平分线 7

即：直角梯形ABCD 对角线相交于原点 即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. 用向量法证明：OA CO //，OB DO //

证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A p

D y 2

(,)-

向量：2

A A y OA y 2p (,)=，

B p

CO y 2

(,)=-

各分量之比：2

A

2x A 2x

y OA y 2p p p CO 2()()==，2

y A A

B A B y OA y y y y y CO ()()==--

将①式2

A B y y p =-代入上式得：

22y

A A

2A B

y OA y y y y p CO ()()==- 故：

y x x

y

OA OA OA

CO CO CO

()()()()=

=

，即：OA CO // 同理：OB DO /

/.直角梯形ABCD 对角线相交于原点. 8即：焦弦三角形的面积为：sin 2

AOB

p S 2α

?= （α为焦弦的倾角） 证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+

++=++M p

2x 2

()=+2EM = 如图：GF 2OF p == 则：2EF GF 1p

EM sin sin

sin sin αααα

=

=?= E

G

第 13 页 于是：22p AB sin α=

故：AOB

1S OF AB 2

sin α?=221p 2p p 222sin sin sin ααα=???= 附：圆锥曲线必背----极坐标

圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离心率e 来表示常量，以极径ρ和极角θ来表示变量.

0ρ≥，[,)o 0360θ∈

以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建立极坐标系.

故

准线是到极点距离为准焦距p 、

且垂直于极轴的直线L .

极坐标系与直角坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y x θ=

或者：cos x ρθ=，sin y ρθ=

特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.

如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线.

所以，对极坐标系，请记住：

⑴ 极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；

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⑵ 曲线上的点(,)P ρθ到焦点F 的距离是ρ，到准线的距离是cos p ρθ+，根据定义：cos e p ρρθ

=+ 即：cos ep e ρθρ+=，即：cos ep e ρρθ=-， 即：cos ep 1e ρθ

=- ① 这就是极坐标下，圆锥曲线的通式. ⑶ 对应不同的e ，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的一支；

对抛物线，开口向右.

将极轴旋转o 180，α和θ分别对应变换前后的极角，即转角为o 180θα=+，则极坐标方程变换前方程为：

cos ep 1e ρα=- 变换后方程为： cos ep 1e ρθ

=+ ② 此时的极坐标系下，此时有： ⑴ 极坐标系的极点O 是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；

⑵ 对应不同的e ，呈现不同的曲线对双曲线，只是左边的一支；对抛物线，开口向左.

⑴将极轴顺时针旋转o 90，即：

第 13 页 o 90θα=+，则情况如图.

圆锥曲线的方程为：

sin ep 1e ρθ

=- ③ 此时的极坐标系下：

对应于直角坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下方的焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.

对双曲线，只是y 轴上边的一支；对抛物线，开口向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的方程为：sin ep 1e ρα=

+ ③ 此时的极坐标系下：

对应于直角坐标系下，焦点在y 轴的情

况，且对应于椭圆上方的焦点，双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.

对双曲线，只是y 轴下边的一支；对抛物线，开口向下.

⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep 1e ρθ- ① 即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+ 即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ② 将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入②式得：

2222222x y e p e x 2e px +=++

第 13 页 即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③

当e 1≠时 有：()[()]()()22222222222222e p

e p e p 1e x 2x y e p 1e 1e 1e 1e --++=+---- 即：()()()22222

2222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e --+=+=--- 即：()()222

22222222

e p

x y 1e

1e p e p 1e 1e --+=-- ④

⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =

-，2222e p b 1e =-，22e p c 1e =- 则：()222222222e p e p a b 1e 1e -=

---[()]()()224222222e p e p 11e 1e 1e =--=-- 而：()()

2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代入④式得：()2

2

22x c y 1a b -+= ⑤ 这是标准的椭圆方程.

⑵当e 1>时，令()22222e p a e 1=

-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=- 则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=

+--[()]()()224222222e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- 而：()()

2422222222e p e p c a b e 1e 1===+-- 代入④式得：()2

2

22x c y 1a b +-= ⑥ 这是标准的双曲线方程.

⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+=

第 13 页 即：()22p y 2px p 2p x 2

=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦ 这是标准的抛物线方程.

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