非线性物理3-2(同步、锁模、湍流)

第3章 走向混沌的道路一个动力学系统运动的充分发展是进 入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？ 这是非线性动力学研究中的一个重要问题。

第三节

同步、锁模与混沌

1. 同步与锁模 2. 魔梯与混沌 3. 受驱贝纳德对流实验 4. 受驱单摆的混沌道路

1. 同步与锁模同步与锁模的概念同步(Syncronazation)与锁模(Mode-locking)是指两个或数 个振子间的同步振动现象。早在17世纪，荷兰物理学家惠更斯就发 现两个悬挂在木板墙上的挂钟当靠得较近时会发生同步摆动现象。 后来瑞利也发现当两根风琴管在靠得较近时发出的音调趋于一致， 离得较远时则发生差拍现象。 线性振子 振动方程：

x A sin( t + )

三个特征量：振幅 A、频率 ω 与相位 φ ,频率是固有的，振幅与 相位决定于初始条件。 非线性振子，如范德玻耳振子，杜芬振子等. 三个特征量：振幅、频率与相位都与系统紧密相关的，并且最终 达到的振动状态与初始条件无关。

1. 同步与锁模同步与锁模的概念如果两个非线性振子间发 生耦合，就会发生： 一个振子的状态依赖于另一 个振子的振幅； 或者 一个振子的振动频率锁定在 另一个振子的振动频率上； 或者 两个振子同步地以一个共同 的频率振动。

1. 同步与锁模同步与锁模的概念设ω1与ω2为两个振子固有频率，P与Q互为质整数，当改变系统参数使：

或

P 1 Q 2

P / Q 2 / 1 有理数

说明一个振子与另一振子出现了同步，称为锁模，也称锁相(Phase-locking) 或锁频(Frequency-locking)。 同步与锁模是存在耦合的多个非线性振动系统的固有特性。因此锁模有 一定的范围，范围大小与两个振子间的耦合强度有关。 如果耦合很弱，锁模范围很小，两个振子基本上在独立振动，大多数振 动频率运动是非锁模的，它们处于准周期(Qusi-priodicity,或称拟周期) 运动状态。 随着耦合的增强，锁模范围增大，两振子的振动便密切相关，发生锁模， 当耦合强度达到某个阈值之后便可能进入混沌状态。这是与倍周期分岔或 阵发性混沌不同的的进入混沌的道路，称为准周期道路。

1. 同步与锁模水桶滴水实验讨论一个简单的双振子耦合模型：水桶的滴水实验， 以建立耦合振子进入混沌的数学模型：标准映射。 一只水桶通过一根弹簧悬挂到天花板上，桶底有一 小孔向下滴水。实验中采取措施不断补充进水，以保 证总水量保持恒定不变。 受重力与表面张力共同作用，当水滴的质量达到表 面张力不能再支持的某个临界值 m* 时，水滴便脱离 桶底滴落下来。接着在小孔处又形成新水滴，从零质 量开始随时间线性增长直至脱落。

当

水桶不用弹簧而用绳子悬挂起来时，落下的每个 水滴质量应相等。两水滴之间的滴落时间间隔为一个 水滴的形成时间τ,即：τ=m*/C

1. 同步与锁模水桶滴水实验当水桶用弹簧悬挂起来，是一个弹簧振子。水 桶的振动周期 T 由水桶质量与弹簧劲度决定。 当水滴从桶底脱落时，对水桶有一反冲从而 引起水桶上下振动，振动的水桶反过来又影响水 滴形成。小孔滴水与水桶振动是两个相互耦合的 振动系统。 振动的水桶对于水滴形成相当于在水滴重量 上附加了一个周期性的惯性力。因此每个落下的 水滴有大有小，不再相等；两水滴之间的间隔有 长有短，于是水滴的质量要改写为：

eq 式中f (t/T)是周期 T 的函数

m m *[1 f (t / T )]

1. 同步与锁模水桶滴水实验 水桶用绳子悬挂起 来时，落下的每个水 滴质量应相等，两水 滴之间的滴落时间间 隔相同。 水桶振动对于水滴 形成相当于在水滴重 量上附加一周期性的 惯性力。使落下的水 滴有大有小；两水滴 之间的间隔有长有短。

1. 同步与锁模圆周映射将 meq m *[1 f (t / T )] 无量纲化，用周期 T 来约化时间 t,用 CT 来 约 化 质 量 m 。 于 是 质 量 的 增 长 率 为 l , 等 效 临 界 质 量 为： meq ( / T )[1 f ( )] , t T 相当于以2 约化的相位。通过约化变换，相继两 次滴水时的相位关系由水 滴脱落时间图求得。 由时轴 A 点出发的 45° 斜线代表水滴质量的线性 增长，红色曲线代表有效 质量，两线相交处 C 点表 示水滴滴落。此时在水平 轴上的位臵为B点。

1. 同步与锁模圆周映射由图可给出以下关系：

BC = /T + f ( i+1 ) = + f ( i+1 ) + 某整数

AB = 1 i i 1 某整数其中μ代表τ/T的非整数部分。 由于 AB=BC,得历次滴水时的

相位推递关系：

i+1 i f ( i+1 )由此可以倒解出：

i ( i+1 , )这是前后水滴间的相位关系, i 在[0,1]区间循环变化，数学 上是映射，被称为圆周映射(circle map)。

2. 魔梯与混沌标准映射圆周映射

i+1 i f ( i+1 ) i+1 i ( K / 2 ) sin 2 i

的特征与迭代函数 f( )的细节关系不太大，可以取为正弦函数形式：

这映射叫做标准映射(standard map),它含有K,Ω两个参量。K代表 非线性耦合的强度， Ω则代表两个振动的频率之比。 ( 1 )当不考虑标准圆映射中的非线性项时， K = 0 ,则标准圆映射简 化为线性映射： i+1 i (2)由于正弦函数是非线性的，当K≠0就是存在非线性时的迭代情况

i+1 i ( K / 2 ) sin 2 i

2. 魔梯与混沌标准映射迭代运算

i+1 i

i 0.4 i+1 i 0.4 1

当 i 0.6 时 当 i 0.6 时

2. 魔梯与混沌标准映射迭代运算 1. K=0 线性情况

i+1 i

先取 =2/5=0.4 ,为有理数，初始 值 0=0.3出发,得经过五次迭代，轨线 绕了两圈后回到原处。这是周期解， 反映两个系统处于同步状态。再选无理数 ,0.404004…,与 0.4很接 近，但迭代总不能精确地回到原处， 轨线不会闭合，这是准周期运动。 说明在线性情况下无理数参数 不使 两个系统出现同步现象。

2. 魔梯与混沌标准映射迭代运算

i+1 i ( K / 2 ) sin 2 i

2. K 0 非线性情况 设 K = 0.95 ,参数 Ω 为无理数频率， 0.404004… ,初始值 θ0 = 0.4 ,在经 过了五次迭代绕了两圈以后回到了 出发点。 可见在非线性的情况下，即使参 数 Ω 为无理数频率也可以实现轨线 闭合，出现了周期解，达到了同步 状态。 说明非线性可使两个系统间的同 步范围加宽。

i 0.4 i+1 i 0.4 1

当 i 0.6 时 当 i 0.6 时

2. 魔梯与混沌阿诺德舌头非线性情况下出现 的同步，其锁定范 围与参数 K 有关。 在 K=0时，锁模范围 非常小，W为有理 数的几率近乎零， 无理数的几率近乎 1 。 随K 增加，所有的锁 模频率范围都增加。

在锁模范围与 K关系的平面相图 (K-Ω)上，人们形象地称“锁模范围 随K值增加而增加”为阿诺德舌头(Arnold tongue)。

2. 魔梯与混沌阿诺德舌头 引进每次迭代的平均增量以具体地描述两个不同频率系统 间的同步：

1 W = lim ( n 0 ) n n称卷绕数。在线性情况下， W = ,两者同为有理数或无理 数。在非线性情况下，若 为无理数，W可锁定在与 接近的 有理数。

2. 魔梯与混沌魔梯在不同频率比Ω下，同步范围宽度不同。大体上，两个系统的有理 数频率之比Ω=P/Q的分母Q越小，锁定范围越宽。在给定 K 值下，在 W - Ω平面上，以全部频率比相应的同步范围构成一座特殊的楼梯— —魔梯(devil's staircase) 。在全部分式中，除 1 以外，分母最小为 2 , 即 P/Q=1/2 , 同 步 区 域较大；分母次小的 为3,因此P/Q=1/3、 2/3 的同步范围虽比 1/2 的要小，但要比 其他频率比值的同步 范围要大，依次可以 类推。

2. 魔梯与混沌魔梯不同的台阶代表 不同的锁模频率 W, 平台宽度代表锁模 范围的大小。由于 在一个给定数值区 间内有无穷多个无 理数，楼梯就有无 数个台阶与平台。 如果对图上某个局部适当放大 (计算更细 ),这个局部与整座楼梯相象； 如果再对这局部图选一小块进行放大，仍能获得与整体相象，以致可 以不断操作下去，

即：魔梯具有自相似性。

2. 魔梯与混沌进入混沌的准周期道路在 K-Ω 相 图 上 ， K = 1 是条临界线。 K<1时，所有共振区 彼此分离； K=1时，阿诺德舌 头宽度增大到彼 此衔 接，任何Ω值都满足 共振条件； 当K>1时，阿诺德 舌头出现重迭， 这时 迭代函数不再是 单调 了，系统进入了 混沌 状态。

2. 魔梯与混沌标准映射的混沌道路标准映射是双参量映射，所以 走向混沌的道路更多。在重迭区 W 的取值与初始值有关，说明通 过同步与锁模进入混沌的道路有 多种方式： (a) :从 W为无理数的区域进入 阿诺德舌头，从准周期运动过渡 到锁模状态，当K值超过临界值时 进入混沌；(b):始终在舌头外的准周期区，然后从两阿诺德舌头的衔接处进入 混沌状态； (c) :始终在舌头内的锁模状态，当K值超过临界值后，通过一系列 倍周期分叉走向混沌，与平方映射相象。

3. 受驱贝纳德对流实验水银中的对流实验实验思想：

因从实验上证明倍周期分岔而闻名的利布沙伯 , 后来又成功地完成了耦合的振子通过同步与锁模走向混沌的实验。 利布沙伯这次采用水银来做对流实验。

利布沙伯设计了一个 0.7cm×0.7cm×1.4cm 扁长水银池盒。当槽底加热到一定程度时发生贝纳德对流。这是流体从静止到对流的霍 夫分岔，实验中将此看作为第I种振荡，设振荡频率为ω0I。 关键是设计第II种振荡。考虑到水银是一种低Prandtl数(洛伦兹方 程中的 s 因子 ) 流体，容易产生对流，但它是导体，于是设想通以交 流电流来产生对对流运动进行驱动的外力 .

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