高数第五章 定积分的应用

第五章 定积分的应用

在本章中，我们将利用学过的定积分理论来解决一些实际问题.首先介绍建立定积分数学模型的方法——微分元素法；再利用这一方法求一些几何量(如面积、体积、弧长等)和一些物理量(如功、液体静压力、引力等)；并介绍定积分在经济学中的简单应用.

第一节 微分元素法

实际问题中，哪些量可用定积分计算？如何建立这些量的定积分表达式？本节中我们将回答这两个问题.由定积分定义知，若f在区间?（x）?a,b??上可积，则对于??a,b??的任一划分：

a?x0＜x1＜?＜xn?b，及??xi?1,xi??中任意点ξi,有

n?baf(x)dx?limλ?0?i?1f(ξi)Δxi，

(5?1?1)

这里Δxi?xi?xi?1?i?1,2,?,n?,λ?max?Δxi?. (5?1?1)式表明定积分的本质是一类特定和式

1?i?n的极限，此极限值与?只与区间?有关.基于此，（x）?a,b??的分法及点ξi的取法无关，?a,b??及函数f我们可以将一些实际问题中有关量的计算归结为定积分来计算.例如，曲边梯形的面积、变速直线运动的位移等均可用定积分来表达.由上一章中分析曲边梯形面积用定积分来表示的过程，我们可概括地将此过程描述为“划分找近似，求和取极限”.也就是说，将所求量整体转化为部分之和，利用整体上变化的量在局部近似于不变这一辩证关系，局部上以“不变”代替“变”，这是利用定积分解决实际问题的基本思想.

根据定积分的定义，如果某一实际问题中所求量U符合下列条件:

(1)建立适当的坐标系和选择与U有关的变量x后，U是一个与定义在某一区间??a,b??上的

（x）可积函数u有关的量； (2)U对区间??a,b??具有可加性，即如果把??a,b??任意划分成n个小区间

Δxi?xi?x?1i?i?1,?2,,nU相应地分成n个部分量ΔUi，且U?，则

n??ΔU；

ii?1(3) 部分量ΔUi可近似地表示成u?ξi?Δxi?ξi???xi?1,xi???，且ΔUi与u?ξi?Δxi之差是Δxi的高阶无穷小，即

ΔUi?u(ξi)Δxi?o(Δxi),

那么，我们可得到所求量U的定积分数学模型

U??bau(x)dx. (5?1?2)

在实际建模过程中，为简便起见，通常将具有代表性的第i个小区间??xi?1,xi??的下标略去，

［x,x?dx］记为，称其为典型小区间，相应于此小区间的所求量的部分量记作ΔU.因此，建立实际问题的定积分模型可按以下步骤进行：

(1) 建立坐标系，根据所求量U确定一个积分变量x及其变化范围??a,b??；

［x,x?dx］(2) 考虑典型小区间,求出U相应于这一小区间的部分量ΔU，将ΔU近似地表

（x）示成?在x处的取值与小区间长度Δx?dx的积，即 ?a,b??上的某个可积函数u， (5?1?3) ΔU?u(x)dx?（odx）我们称u(x)dx为所求量U的微分元素(简称微元或元素)，记作

dU?u(x)dx；

(3) 计算所求量U，即

U??badU=?bau(x)dx.

上述建立定积分数学模型的方法称为微分元素法，这一方法的关键是步骤(2)中微分元素dU的取得.

第二节 平面图形的面积

在上一章开头讨论过由连续曲线y=f?x围成的曲边梯形的面积

A???f?x??0?,以及直线xb=a,x=b?a

??af?x?dx.

如果f?x?在??a,b??上不都是非负的，由定积分对区间的可加性，则所围图形的面积为

A?baf?x?dx.

本节将讨论一般平面图形的问题，如果其边界曲线是由两条连续曲线y?f1?x?, y?f2?x??f2?x??f1?x??及直线x=a,x=b所围成的平面图形，其面积便可用定积分来计算.下面我们运??用定积分的微分元素法，建立不同坐标系下平面图形的面积计算公式.

一、 直角坐标情形

设一平面图形由曲线y?f1?x?,y?f2?x?及直线x=a和x=b?a?b?围成(见图5-1).

图5?1

近似地等于高为f1?x??f2?x所以，此平面图形的面积为

A?

［x,x?dx］为求其面积A，我们在?，相应于该小区间的平面图形面积ΔA?a,b??上取典型小区间

?、宽为dx的窄矩形的面积，从而得到面积微元

dA?f1?x??f2?xba?dx.

?dx. (5-2-1)

?f1?x??f2?x类似地，若平面图形由x?φ及直线y?c和y?d?d?c?围成(见图5-2)，（y），x?φ（y）12则其面积为

A??dcφ1?y??φ2?y?dy. (5?2?2)

图5?2

例1 计算由抛物线y??x2?1与y?x2所围图形的面积A. 解 解方程组

??y??x?2??y?x2

?1

????22得两抛物线的交点为??2,1?和?2,1?，于是图形位于x??与x?之间，如图5?3所

222222????示，取x为积分变量，由(5?2?1)式得

A??222?21?x2?x2202?2?220(1?2x)dx2

23?2(x?x)3?22. 3图5?3

例2 计算由直线y?x?4和抛物线y2?2x所围平面图形的面积A. 解 解方程组

2??y?2x ?y?x?4??

得两线的交点为(2，?2)和(8，4)，平面图形，如图5?4所示，位于直线y??2和y?4之间，于

是取y为积分变量，由(5?2?2)式得

A??4?2y?4?2y22ydy

34?2 ?(

y2?18.

?4y?6)

图5?4

注意：若在例1中取y为积分变量，在例2中取x为积分变量，则所求面积的计算会较为复杂.例如在例2中，若选x为积分变量，则积分区间是［0，8］.当x?（0，2）时，典型小区间（x,x?dx）所对应的面积微元是

dA??2x??2x?dx??

??；

而当x?时，典型小区间所对应的面积微元是 （2，8）dA??2x??x?4??dx. ??故所求面积为

A??20?2x??2x?dx??????82?2x??x?4??dx??.

显然，上述做法较例2中的解法要复杂.因此，在求平面图形的面积时，恰当地选择积分变量可

使计算简便.

当曲边梯形的曲边为连续曲线，其方程由参数方程

?x?φ(t), t1?t?t2 ?y?ψ(t),?给出时，若其底边位于x轴上，φ在上可导，则其面积微元为 ［t1，t2］（t）dA?ydx?ψ?t?φ??t?dt (dt?0. )从而面积为

A??t2t1ψ?t?φ??t?dt. (5?2?3)

同理，若其底边位于y轴上，且ψ在上可导，则其面积微元为 ［t1，t2］（t）dA?xdy?φ?t?ψ??t?dt (dt?0 )从而面积为

A??t2t1φ?t?ψ??t?dt. (5?2?4)

例3 设椭圆方程为

xa22?yb22?1?(a,b为正的常数)，求其面积A.

解 椭圆的参数方程为

?x?acost, 0?t?2π. ?y?bsint,?由对称性知

A?4??20bsint?(acost)?dt

?4ab?sintdt?4ab?0?22?201?cos2tdt2

??ab.

二、 极坐标情形

设一平面图形，在极坐标系下由连续曲线r?（rθ）及射线θ?α，θ?β所围成(称为曲边扇形，

［θ，θ?dθ］，相应于如图5-5所示.)为求其面积，我们在θ的变化区间上取一典型小区间［α，β］此区间上的面积近似地等于中心角为dθ、半径为（rθ）的扇形面积，从而得到面积微元

dA?12r?θ?dθ， 21β2r(θ)dθ. 2?α所以

A? (5?2?5)

图5?5

θa＞0）上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴例4 计算阿基米德(Archimedes)螺线r?a（所围成图形如图5?6所示的面积.

解 由式(5?2?5)得

A?12?2?0?123?2?4232(aθ)dθ??aθ??a?.

3?6?0图5?6 图5?7

2

例5 求由双纽线?x2?y2??2a2?x2?y2?所围成，且在半径为a的圆内部的图形如图5?7所示的面积.

解 由对称性，所求面积应等于第一象限部分面积的4倍，极坐标下双纽线在第一象限部分的方程为

r?2acos2θ， 0?θ?22?4.

r?a. 圆的方程为 ?r2?2a2cos2θ?由 ?

r?a??解得两曲线在第一象限交点为?a,?，由式(5?2?5)得所求面积

????6?

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