（中学联盟）临沂一中2013届高三12月份月考试题（数学文）

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临沂一中高三一轮阶段测试

文科数学试题 2012.12.20

一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

21.设集合A??x|y?log2(x?2)?,B?x|x?5x?4?0，则A?B?

??( ).

A ?

B ?2,4? C ??2,1? D ?4,???

2.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的

A充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件

???????????3. 若a?1,b?2,且a?a?b，则向量a,b的夹角为

?? A.45° B.60° C.120° D.135°

4.已知圆的方程为x2?y2?6x?8y?0，过点A(3,5)的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为 ( ). A.263B.36C.46D.56

5.方程x?3x?m?0在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（ ） A.0 B.-2 C. ?11 D. 1 8b，c分别为角A，B，C所对边，若a?2bcosC，则此三角形一定是( ). 6.在?ABC中，a， A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

7.已知f(x)?ax(a?1),g(x)?bx(b?1),当f(x1)?g(x2)?2时，有x1?x2,则a,b的大小关系是（ ）

A．a?b B．a?b C．a?b D．a?b 8.如图是一个几何体的三视图．若它的表面积为7?， 则正（主）视图中a? （ ）. A．1 B．2

C．3 D．2

9.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列， 若a1?1，则S4等于（ ）

第7题

A．7 B．8 C．15 D．16

10.已知m,n是两条直线，?,?是两个平面，给出下列命题：①若n??,n??，则 ?//?；②若平面?上有不共线的三点到平面?的距离相等，则?//?；③若n,m为异面直线

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n??,n//?,m??,m//?，则?//?．其中正确命题的个数是(A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

)．

11.已知函数f(x)是定义在(??,??)上的奇函数，若对于任意的实数x?0，都有

f(x?2)?f(x)，且当x??0,2?时，f(x)?log1?f(2012)的值为2(x?1)，则f(?201)（ ）

A. -1 B. -2 C. 2 D. 1

x2y212.如图，F1、F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，

abOF1为半径的圆与该双曲线左 支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离

心率为 （ ）.

A．3 B．2 C．3?1 D．1?3

二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

2y?ax13.已知抛物线的准线方程为y??2，则实数a的值为

14．已知tan(???)?

15．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛

2?1?,tan(??)?,那么tan(??)? ______________. 5444中得分的方差为_________.

089103 5?y?1?16．若实数x，y满足?y?2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?2，则实数m=_________.

?x?y?m?

三.解答题.(共74分)

17.(本题满分12分) 已知向量m＝(sinωx＋cosωx，3cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)，其中π

ω>0，函数f(x)＝m·n，若f(x)相邻两对称轴间的距离为.

2

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(1)求ω的值，并求f(x)的最大值及相应x的集合；

(2)在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，△ABC的面积S＝53，b＝4，f(A)＝1，求边a的长．

18. (本题满分12分)某高级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

女生 男生 高一年级 373 377 高二年级 高三年级 x 370 y z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. (1)求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？ (3)已知y?245, z?245,求高三年级中女生比男生多的概率.

19.(本题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点. （1）求证：AD⊥PC； （2）求三棱锥P-ADE的体积；

（3）在线段AC上是否存在一点M，使得PA//平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

x20.(本题满分12分)已知点(1，)是函数f(x)?a(a?0,且a?1)的图象上一点，等比数列{an}13的前n项和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足

Sn?Sn?1?Sn?Sn?1（n?2).

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(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2) 若数列{

1}前n项和为Tn，问bnbn?1Tn?10002012的最小正整数n是多少? .

21．(本题满分13分)已知函数f(x)?1x2?alnx(a?R).

2（1）若f(x)在x?2时取得极值，求a的值； （2）求f(x)的单调区间；（3）求证：当x?1时，

22.(本题满分13分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

122x?lnx?x3 233.直线2l:x?2y?2?0与椭圆C相交于E、F两点, 且EF?5. (1)求椭圆C的方程；

(2)点P(?2,0)， A、B为椭圆C上的动点,当PA?PB时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

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临沂一中2013届第六次模拟考试(文数)参考答案 2012.20

1-5 B C A C A 6-10 D C D C B 11-12 A D

1313. 8 14. 15. 6.8 16. 8

2217. (1) f(x)＝cos2ωx－sin2ωx＋23sinωxcosωx π

2ωx＋?....................2分 ＝cos2ωx＋3sin2ωx＝2sin?6??

由题意可得T＝π，∴ω＝1.................................3分 π

2x＋?..............................................4分 ∴f(x)＝2sin?6??

ππππ

2x＋?＝1时，f(x)有最大值2，∴当sin?2x＋＝2kπ＋，∴x＝kπ＋ (k∈Z)..................5分 6??626

π∴x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}................................6分

6

ππ5π?2A＋π?＝1 0

∴A＝，S＝bcsin＝53，∴c＝5..........................10分

323

π由余弦定理得：a2＝16＋25－2×4×5cos＝21，∴a＝21.........................12分

318. 解：（1）∵

x?0.19 ? x?380..........2分 200048?500?12 2000（2）初三年级人数为y＋z＝2000－373－377－380－370）＝500..............4分 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：名.............................................................6分 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；

由（2）知 y?z?500 ，且 y,z?N,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、??（255，245）共11个.............................8分

事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个 ............................................10分 ?P(A)?5

11.......................................12分

19（1）证明：因为PD⊥平面ABCD.

所以PD⊥AD.

又因为ABCD是矩形，

所以AD⊥CD.??????????????2分

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因为PD?CD?D, 所以AD⊥平面PCD.

又因为PC?平面PCD，

所以AD⊥PC.????????????4分

（2）解：因为AD⊥平面PCD， VP-ADE=VA-PDE，?????????????6分 所以AD是三棱锥A—PDE的高.

因为E为PC的中点，且PD=DC=4，

所以S?PDE?又AD=2， 所以VA?PDE?11?1?S?PDC????4?4??4. 22?2?118AD?S?PDE??2?4?.????????????8分 333（3）取AC中点M，连结EM、DM，

因为E为PC的中点，M是AC的中点，

所以EM//PA，

又因为EM?平面EDM，PA?平面EDM，

所以PA//平面EDM.??????????????????????10分

所以AM?1AC?5. 2即在AC边上存在一点M，使得PA//平面EDM，AM的长为5.???12分

1?1?20.(1)Qf?1??a?,?f?x????3?3?................1分

a1?f?1??c?x12f2?c?f1?c?c ,a2?????, ??????????392f3?c?f2?c????? a3?? ..................2分 ????????2742a21又数列?an?成等比数列，a1?2?81????c ，所以 c?1...........3分

a3?23327a12?1?又公比q?2?，所以an????a133?3?n?1?1???2?? n?N* ..................4分

?3?nQSn?Sn?1??Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2?

......................................5分

?又bn?0,Sn?0, ?Sn?Sn?1?1数列

n?S?构成一个首相为1公差为1的等差数列，2Sn?1??n?1??1?n ， Sn?n2

2当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1

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又b1?c?1满足?bn?2n?1(n?N*)...............................6分 (2)Tn?11111111 ????K????L?(2n?1)??2n?1?8分b1b2b2b3b3b4bnbn?11?33?55?7n100010001000?n?Tn?2n?12012得12，满足2012的最小正整数为84........12分

a?0，?a?4 ...................2分 2 由

Tn?21 解: ∵f(x)在x?2时取得极值，?2?4x2?4(x?2)(x?2)?此时f?(x)?x??.Qf(x)的定义域是{x|x?0}，

xxx?当0?x?2时，f?(x)?0；当x?2时，f?(x)?0.

?当a?4时，x?2是f(x)的极小值点，?a?4 .........................4分

（2）Qf?(x)?x?a且f(x)的定义域是{x|x?0} ................6分 x当a?0时，f(x)的单调递增区间为(0,??)..................7分

ax2?a(x?a)(x?a)当a?0时，f?(x)?x??，?xxx令f?(x)?0有x?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

a，?函数f(x)的单调递增区间为(a,??)；

令f?(x)?0有0?x?（3）设g(x)?a，?函数f(x)的单调递减区间为(0,a)...........8分

12312x?x?lnx，g?(x)?2x2?x?，..............9分

x32(x?1)(2x2?x?1)?0....................10分 Q当x?1时，g?(x)?x?g(x)在(1,??)上是增函数，?g(x)?g(1)?1?0...................12分 6 .............................................................1312?当x?1时，x2?lnx?x3 .........13分

23

x2y222．解：(1)设椭圆方程为2?2?1(a>b>0)，E(x1,y1) F(x2,y2)

abx2y2c3e?? 令a?2t,c?3t 则b?t ?2?2?1????２分

4tta2?x2?4y2?4t222由?得:2y?2y?1?t?0 ???????????? 4分 ?x?2y?2?0www.sdzxlm.com 版权所有@中学联盟网

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2 ??4?4?2(1?t2)?0 ?t?1 211?t2EF?1?2y1?y2?1?41?4??5 ?t2?1

k2x2?y2?1 ?????????????? 7分 椭圆C的方程是:4(2) 当直线l不垂直于x轴时,设AB：y?kx?m A(x1,y1) B(x2,y2)

?x2?4y2?4t2 ?得(1?4k2)x2?8kmx?4(m2?1)?0 ?y?kx?m????????PA?PB?(x1?2)(x2?2)?y1y2?(1?k2)x1x2?(2?km)(x1?x2)?m2?4

4(m2?1)?8km2?(2?km)?m?4?0 ???????? 10分 ?(1?k)221?4k1?4k2?12k2?5m2?16km?0 即 (6k?5m)(2k?m)?0?m?当m?6k或m?2k 5666k时，AB:y?kx?k恒过定点(?,0) 555当m?2k时，AB:y?kx?2k恒过定点(?2,0)，不符合题意舍去 ? 12分 当直线l垂直于x轴时，若直线AB：x????????644??44B(?,) ?PA?P?B(,??)(55555646 则AB与椭圆Ｃ相交于A(?,?)，

55542444,?)(?)?( )?()055556,0) ?????? 13分 5?PA?PB，满足题意

综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为(?

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