《数学建模》课程设计指导书

数理学院计算科学专业2009级

《数学建模与实验》课程设计指导书

淮阴工学院数理学院数学专业教研室

2011年12月

要求

1、选题要求，学号是1号的选A组第1题，2号选A组第2题，以此类推，15号选A组第15题，16号回头选A组第1题。如果对上面的题目把握不大或不敢兴趣的，可以在B组题目中任选一题。

2、答卷论文内容包括：摘要（100——300字，含研究的问题、建模的方法及模型、模型解法和主要结果），问题分析与假设，符号说明，问题分析，模型建立，计算方法设计和实现（框图及计算机输出的计算结果），结果的分析和检验，优缺点和改进方向等。用软件求解的，请在附件中附上算法程序。

3、论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 4、第一页为封面（自己下载），写上学号、姓名、第二页为论文标题和摘要，从第三页开始是论文正文。论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

5、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号宋体字，行距用单倍行距。

6、引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：

[编号] 作者．书名[M]．出版地：出版社，出版年 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：

[编号] 作者．论文名[J]．杂志名，卷期号：起止页码，出版年 参考文献中网上资源的表述方式为：

[编号] 作者．资源标题．网址，访问时间（年月日）。

论文提交：于2011年12月30日上午11:00前将论文打印装订成册交王小才老师，同时将

论文的文档上网发到shumozy@邮箱

注：2011年12月30日下午答辩

课程设计题目 A组

1、生产计划

高校现有一笔资金100万元，现有4个投资项目可供投资。

项目A：从第一年到底四年年初需要投资，并于次年年末回收本利115%。

项目B：从第三年年初需要投资，并于第5年末才回收本利135%，但是规定最大投资总额不超过40万元。

项目C：从第二年年初需要投资，并于第5年末才回收本利145%，但是规定最大投资总额不超过30万元。

项目D：五年内每年年初可以买公债，并于当年年末归还，并可获得6%的利息。 (1) 试为该校确定投资方案，使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。

(2) 该校在第3年有个校庆，学校准备拿出8万元来筹办，又应该如何安排投资方案，

使得第5年末他拥有的资金本利总额最大。

2、投资方案的确定

现代化生产过程中，生产部门面临的突出问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见，生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化：以便适时调整生产率，获取最大收益。

某生产厂家年初要制定生产策略，已预测其产品在年初的需求量为a=6万单位，并以b＝1万单位／月的速度递增。若生产产品过剩，则需付单位产品单位时间(月)的库存保管费

C2 0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短缺损失费C3 0.4

元。假定生产率每调整

一次带有固定的调整费C1 1万元，试问该厂如何制定当年的生产策略，使工厂的总损失最小?

3、选址问题

已知某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如表1所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？

v5

v1

v7

4、高速公路修建费用问题

A城和B城之间准备建一条高速公路，

B城位于A城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，如图给出了整个地区的大致地貌情况，

已知图中坐标系原点为O，OB为X轴，OA 为Y轴，经测量，曲线CD、EF、GH、IJ分别近似满足方程y 22 3sin x 、y 38

3

1

7

1 1 1

sin x 、y 51 3cos x 、y 68 4cos x 。

2 5 3 7

图中显示可分为三条沿东西方向的地形带。已知每个地形带的造价如下：

你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？

(a) 当道路转弯是，角度至少为1400。

(b) 图中P是个重要的城市，其坐标为(44, 60)，道路必须通过P城。

5、混合泳接力赛队员游姿安排

某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4 100m混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。甲，乙，丙，

6、生产计划问题

对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。

该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、3.7小时。因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。

7、制作最小运费表

XX公司在A,B,C,D,E,F,G,H的8个供货站点，各个站点之间的运费由下表所示（“—“表

(要给出算法、框图、模型、程序)。

8、最廉价飞机线路的选择

北京的一科技公司由于业务的需要，其总经理每周要往返于总公司与各个子公司之间，

问怎样才能算出一张任意城市间的最廉价路线表。

9、一年生植物的繁殖

一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，不考虑腐烂，被人为掠取。这些种子如果可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过三个冬天。现在在一片空地上种上x0 500颗某种生植物。记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b, 活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（3岁种子）比例仍也为b,

1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2，3岁种子发芽率a3。。设c ,10a7,0.1 ,40.a,20.2

a3

为固定， b是变量，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。

10、船票价格

某轮船公司争取一个相距1000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时，当船速为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时480元，，若公司打算从每个乘客身上获得利润10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格。

11、湖水的自我净化问题

设一容积为V（单位：m）的大湖受到 某种物质的污染，污染物均匀的分布在湖中。若从某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r（单位：m/天）。试建立求污染物浓度下降至原来的3%需要多长时间的数学模型。某湖的容积为5176*10^9（m）,湖水的流量为4.121*10^10(m/天)，求污染终止后，污染物下降到原来的3%所需的时间。

12、生产方案安排

某厂生产A，B两种产品，分别由四台机床加工，加工顺序任意，在一个生产期内，各机床的有效工作时数，各产品在各机床的加工时数等参数如下表：

（1）求收入最大的生产方案；

（2）若引进新产品C，每件在机床甲，乙，丙，丁的加工时间分别是3，2，4，3小时，问C的单价多少时才宜投产？当C的单价为4百元时，求C投产后的生产方案。

（3）为提高产品质量，增加机床戊的精加工工序，其参数如下。问应如何安排生产。

3

3

3

3

13、考试安排

某校经预赛选出A、B、C、D四名学生，将派他们去参加该地区各学校之间的竞赛。此次竞赛的四门功课考试在同一时间进行，因而每人只能参加一门，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。设下表是四名学生选拔时的成绩，问应如何组队较好？(至少3种模型与解法)。

14、生产方案安排

已知某厂生产有关参数：

（1）求最优生产方案；

（2）根据市场情况，计划A至少生产500件，求相应生产方案； （3）因E滞销，计划停产，求相应生产方案；

（4）根据市场情况，限定C不超过1640件，求相应生产方案； （5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相应生产方案；

（6）若限定生产A至少1000件，生产B至少200件，求相应生产方案。

15、电力公司发电计划

某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，位置如下图所示。

已知发电站A可以将水库A的1万m3的水转换为400千度电能，发电站B只能将水库B的1万m3的水转换为200千度电能。发电站A，B每个月的最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。水库A，B的其他有关数据如下（单位：万立方米）

请你为该电力公司制定本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度＝103千瓦时）

B组

1、牧场的管理

有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用.

为解决这些问题调查了如下的背景材料： 1

2）羊的繁殖率

3)4）草的需求量

分母羊卖掉，保持羊群数量不变。

2、投资风险决策

某开放式基金现有总额为15亿元的资金可用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。

表1 单位：万元

请帮该公司解决以下问题：

（1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？

（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？

（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。

表2

3、库存问题

在物资的供应过程中，由于到货与销售不可能做到同步、同量，故总要保持一定的库存储备。如果库存过多，就会造成积压浪费以及保管费的上升；如果库存过少，会造成缺货．如何选择库存和订货策略，就是一个需要研究的问题．库存问题有多种类型，一般比较复杂，下面讨论一种简单的情况．

某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略，当库存量降低到P辆自行车时就向厂家订货，每次订货Q辆，如果某一天的需求量越过了库存量，商店就有销售损失和信誉损失，但如果库存量过多，会导致资金积压和保管费增加．若现在已有如下表所示的五种库存策略，

(1)从发出订货到收到货物需隔3天．

(2)每辆自行车保管费为0．75元／天，每辆自行车的缺货损失为1．80元／天，每次的订货费为75元．

(3)每天自行车需求量服从正态分布N(50,52)． (4)当前库存量为115 辆，并且当前没有订货

另外，根据订货规则，两次订货时间不发生交叉，即当所订货物没有送到之前，不会再次订货。

你想要解决的问题是

(1) 试比较订货方案表中的5种方案，选择一种策略以使总费用最少。 (2) 你能给出一种较好的订货方案（即P、Q的数值）吗？

4、长度、面积与体积的计算

（1）已知某平原地区的一条公路经过如下坐标点，请用不同的插值方法绘出这条公路（不考虑公路的宽度）。对于下表给出的数据，并估计的公路长度。 X(m) 0 30 50 70 80 90 120 148 170 180 Y(m) 80 64 47 42 48 66 80 120 121 138

X(m) 202 212 230 248 268 271 280 290 300 312 Y(m) 160 182 200 208 212 210 200 196 188 186

X(m) 320 340 360 372 382 390 416 430 478 440 Y(m) 200 184 188 200 202 240 246 280 296 308

X(m) 420 380 360 340 320 314 280 240 200 Y(m) 334 328 334 346 356 360 392 390 400

（2）计算由下面3条曲线

x 222

x y 25， y 1，(x 2) (y 1) 9

8

2

2

2

所围成的面积。

（3） 计算由下面2个几何体围成的体积：

x y z 36

2

2

2

，

2

x 4 y 1

53

22

z 2

5 1

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