江苏省高级中学2014-2015高一第一学期期末模拟试题

江苏省高一第一学期 数学期末模拟考试试题

注意：考试时间120分钟，满分160分。请将答案写在答题卷上。

考试结束后，只交答题卷。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1、求值：cos( 1200)＝

2

2、已知全集合U x| 1 x 2,x z ,A x|x x 0，B x| 1 x 2 ，

则CU(A B)

3、已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为cm2

4、函数y tan(

5、已知A(1,2),B(3,2),向量a (2x 3,x2 4)与AB的夹角是0，则实数x＝

6、计算：(0.0081)

14

x )的最小正周期是 23

1

10 0.027 lg lg254

13

1x

()(x 1)

7、函数f(x

) 2

的值域是 ▲

2(x 1)

8、若a ( 2)，b (1,，则a与b的夹角 等于

9、计算：sin22.5 cos22.5＝

10、在平面直角坐标系中，角 , 的终边关于一、三象限的角平分线对称，

且角 的终边经过点( ,

4

4

12，则sin( )＝ 4

第12题

11、函数y (x 5)|x|的递增区间是＝

12、如图，菱形ABCD的边长为1， ABC 60，

E、F分别为AD、CD的中点，则BE BF＝

13、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，

且当x 0时，f(x) ()，则f( 2 log35)＝ 14、已知函数f(x) x 2cosx，对于[

D

13

x

2 2

,]上的任意x1,x2有如下条件： 33

①x1 x2； ②x12 x22； ③x1 |x

2|；

2

其中能使f(x1) f(x2)恒成立的条件是（填写序号）

二、解答题：本大题共6道题，计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）

3

)， 23

sin 2sin( ) 求：（1）； （2）sin( )

4cos3 1

已知 tan 2, ( ,

16（本题满分14分）

函数f(x) sin( x )( 0,| |

2

)在它的某一个周期内的单调减区间

5 11 ,]. 1212

（1）求f(x)的解析式；

是[

1个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍

26

3

]上的最大值和（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g(x)，求函数g(x)在[,88

（2）将y f(x)的图象先向右平移最小值.

17.（本题满分15分）

已知函数f(x) lg(2 x) lg(2 x). （1）求函数f(x)的定义域； （2）记函数g(x) 10

3x,求函数g(x)的值域；

（3）若不等式f(x) m有解，求实数m的取值范围.

18、（本题满分15分）

如图，在△ABC中，BC、CA、AB的长分别为a,b,c， （1）求证：a bcosC ccosB；

（2）若AB BC c 0，试证明△ABC为直角三角形. B

2

f(x)

A

C

19、（本题满分16分）

如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有5N和3N的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m(N)的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数m的取值范围.（滑轮大小可忽略不计）

20、（本题满分16分） 已知函数f(x) log2(4x 1) kx(k R)是偶函数. （1） 求k的值；

（2） 设函数g(x) log2(a 2

个交点，求a的取值范围.

x

4

a)，其中a 0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一3

高一数学期末模拟试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1、

1

２、 1,2 3、4 4、2 5、2 2

6、

55 7、[2, ) 8、 9

、 10、－1 36252

135

13、 14、②③ 89

11、[0,] 12、

二、解答题：本大题共6道题，计90分. 15．（本题满分14分） 解：∵tan 2,

( ,

3 )，∴sin cos ２分 2 sin 2cos 1.………8分

（1）原式＝………5

cos 1

1 ) sin( ) sincos cossin ………………11分 4444

＝………………14分

2102（2）sin(

16（本题满分14分） 解：（1）由条件，

又sin(2

T11 5 2

， ∴ , ∴ 2 ………………2分 212122

5

) 1,∴ ………………4分 123

∴f(x)的解析式为f(x) sin(2x （2）将y f(x)的图象先向右平移

∴g(x) sin(4x

3

) ………………………5分

2

)………………7分 个单位，得sin(2x 36

2

) ……………………………………9分 3

3 2 5

], 4x 而x [, …………………………11分 88636

3 1

]上的最大值为1，最小值为 ……………………14分 ∴函数g(x)在[,882

17.（本题满分15分） 解：（1）x须满足

2 x 0

， ∴ 2 x 2， ………………3分

2 x 0

∴所求函数的定义域为( 2,2) ………………5分

22

说明：如果直接由f(x) lg(4 x)，4 x 0得到定义域( 2,2)，不得分。但不再

影响后两小题的得分。

（2）由于 2 x 2，∴f(x) lg(4 x2)， 而g(x) 10f(x) 3x, ∴函数g(x) x2 3x 4( 2 x 2)， ………………………7分

3325

,∴而g() ,g( 2) 6， 224

25

] ………………………10分 所以所求函数的值域是( 6,4

（3）∵不等式f(x) m有解，∴m f(x)max ………………………13分

其图象的对称轴为x

2

令t 4 x，由于 2 x 2，∴0 t 4 ∴f(x)的最大值为lg4.

∴实数m的取值范围为m lg4 ………………………15分 说明：也可以结合f(x)的是偶函数和单调性，求得f(x)的最大值，参照给分。 18、（本题满分15分）

解：（1）∵BC BA AC， ………………2分 ∴BC BC BA BC AC BC ………………5分 ∴a accosB bacosC ………………7分 ∴a bcosC ccosB ………………8分 （2）由AB BC c 0 得 AB BC c，

而AB BC AB (BA AC) c2 AB AC ………………13分 ∴AB AC 0，∴△ABC为直角三角形 ………………15分 证法二：由（1）类似可证得：c acosB bcosA（*） ………………10分 由AB BC c 0得，accos( B) c2 0. 即：c accosB………………12分 ∴c acosB，结合（*）式得bcosA 0 ………………14分 ∴A 90，∴△ABC为直角三角形 ………………15分

19、（本题满分16分）

解：如图建立坐标系，记OB、OA与y轴的正半轴的夹角 分别为 , ，则由三角函数定义得OB (3sin ,3cos )2

2

2

A

B

说明：也可以取与BC同向的单位向量e，在BC BA AC的两边作数量积，同样可证。

2

2

OA (5cos(90 ),5sin(90 )) ( 5sin ,5cos )

OC (0, m) ………………………4分

由于系统处于平衡状态，∴OC OB OA 0

3sin 5sin 0∴

3cos 5cos m

(1)

………………………6(2)

注：也可以用力的正交分解得到上述式子 【方法一】

移项，（1）、（2）平方相加得：9 25 10mcos m， 即m 10mcos 16 0(*) ………………………9分 而存在正数m使得系统平衡，∴△＝100cos

2

2

2

64 0，

∴

44

cos 1（因滑轮大小忽略，写成 cos 1亦可，不扣分。这时 , 均为0） 55

………………………………………12分

由（*

）解得m 5cos ，由（2）式知m 5cos 0

∴m 5cos ，这是关于cos 的增函数，………………………14分

∴正数m的取值范围为4 m 8 ………………………16分 【方法二】1）、（2）平方相加得：9 25 30cos( ) m2………………………9分 由（1）知，sin

3

sin ，而 , [0,] 52

3

，此时 ） 52

∴ 随 单调递增，∴0 （这里的锐角 满足sin 且

2

（写成

2

不扣分，这时 , 均为0）∴

从而0 ∴cos(

2

，（这里 的范围不是(0, )，这是易错点）…………13分

3

) cos( ) 1，即 cos( ) 1 …………15分 25

2

∴16 m 64 ∴正数m的取值范围为4 m 8 …………16分20、（本题满分16分）

解：（1）∵f(x) log2(4x 1) kx(k R)是偶函数，

∴f( x) log2(4 x 1) kx f(x)对任意x R，恒成立 …………2分 即：log2(4x 1) 2x kx log2(4x 1) kx恒成立，∴k 1 …………5分

x

（2）由于a 0，所以g(x) log2(a 2

44

a)定义域为(log2, )， 33

4

……………………7分 3

∵函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，

也就是满足2

x

∴方程log2(4 1) x log2(a 2

xx

44

a)在(log2, )上只有一解 33

44x 14x

(log, )上只有一解 ………9分 a 2 a即：方程在2

32x3

x

令2 t,则t

4

，因而等价于关于t的方程 3

44

(a 1)t2 at 1 0（*）在(, )上只有一解 ………………………10分

33

① 当a 1时，解得t

34

(, )，不合题意； ………………………11分 43

2

② 当0 a 1时，记h(t) (a 1)t

42a

at 1，其图象的对称轴t 0 33(a 1)

∴函数h(t) (a 1)t

2

4

at 1在(0, )上递减，而h(0) 1 3

∴方程（*）在(, )无解 ………………………13分

43

2

③ 当a 1时，记h(t) (a 1)t

42a

at 1，其图象的对称轴t 0 33(a 1)

所以，只需h() 0，即

4

31616

(a 1) a 1 0，此恒成立 99

∴此时a的范围为a 1 ………………………15分 综上所述，所求a的取值范围为a 1 ………………………16分

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