2015高考数学(广东专用,理)一轮题库：第4章 第5讲 两角和与差的

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

一、选择题

1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ? ????π4－α，则sin 2α等于( )

A.12 B ．－12 C.2

2 D ．－2

2

解析 由cos 2α＝cos ? ????π

4－α

得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝2

2(cos α＋sin α)

由α为锐角知cos α＋sin α≠0.

∴cos α－sin α＝2

2，平方得1－sin 2α＝1

2.

∴sin 2α＝1

2.

答案 A

2．若1＋cos 2αsin 2α＝1

2，则tan 2α等于 ( )． A.5

4 B ．－5

4 C.4

3 D ．－4

3

解析 1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝1

2，

∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α

1－tan 2α＝41－4＝－4

3，故选D.

答案 D

3．已知α，β都是锐角，若sin α＝5

5，sin β＝10

10，则α＋β＝ (

)． A.π

4 B.3π

4

C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4

解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝

255，cos β＝1－sin 2β＝31010

.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4

. 答案 A

4．已知sin θ＋cos θ＝43? ??

??0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为 ( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13

解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又

0<θ<π4，∴sin θ

3.

答案 B

5．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ? ??

??1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为

( )． A ．1 B.110 C ．1或110 D ．1或10

解析 tan(α＋β)＝1?tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ? ????1a 1－lg (10a )·lg ? ??

??1a ＝1?lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.

答案 C

6．已知cos ? ????α－π6＋sin α＝435，则sin ?

????α＋7π6的值是( )． A ．－235 B.236 C ．－45 D.45

解析 cos ?

????α－π6＋sin α＝435?32sin α＋32cos α ＝435?sin ?

????α＋π6＝45， 所以sin ? ????α＋7π6＝－sin ?

????α＋π6＝－45. 答案 C

二、填空题

7．已知cos ? ????α＋π4＝13，α∈?

????0，π2，则cos α＝________. 解析 ∵α∈? ????0，π2，∴α＋π4∈? ????π4，3π4， ∴sin ?

????α＋π4＝223. 故cos α＝cos [?

????α＋π4－π4] ＝cos ? ????α＋π4cos π4＋sin ?

????α＋π4sin π4 ＝13×22＋223×22＝4＋26

. 答案 4＋26

8．设α为锐角，若cos ? ??

??α＋π6＝45，则 sin ? ????2α＋π12的值为________． 解析 ∵α为锐角且cos ? ????α＋π6＝45， ∴α＋π6∈? ????π6，2π3，∴sin ? ??

??α＋π6＝35. ∴sin ? ????2α＋π12＝sin ??????2?

????α＋π6－π4 ＝sin 2? ????α＋π6cos π4－cos 2? ??

??α＋π6sin π4

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