上海交通大学出版社 大学物理教程 3振动与波习题思考题答案

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习题3

3-1．原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x Acos( t )，在本题中，kx mg，所以k 9.8； ∴

。 取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那

么：A=0.1m，

当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。

所以：x 0.1cos

即：x )。 ）

3-2．有一单摆，摆长l 1.0m，小球质量m 10g，t 0时，小球正好经过 0.06rad处，并以角

0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：速度 （1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x Acos( t ) 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

（1

）角频率：

3.13rad/s，

0.5Hz ，

频率：

周期：T 2 2s； 3.13Asin（3.13t ），∴ （2）振动方程可表示为： Acos（3.13t ） 0(1，象限）2

t 0cos 根据初始条件，时：，sin

A 0(3，象限）43.13A

200

可解得：A 8.8 10m， 227 133 2.32， 所以得到振动方程： 8.8 10 2cos（3.13t 2.32）m 。

3-3．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t 0时，位移为6cm，且向x轴正方向运

t 0.5s时，动。求：（1）振动表达式；（2）质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于x 6cm，

且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴

2

T

又∵t=0时，x0 6cm，v0 0，由旋转矢量图，可知：

3

（ t 故振动方程为：x 0.12cos

（2）将t=0.5 s代入得：

3

）m；

x 0.12cos（ t ） 0.12cos 0.104m，

36

v 0.12 sin（ t ） 0.12cos 0.188m/s， 36 222

a 0.12 cos（ t ）

0.12 cos 1.03m/s36

方向指向坐标原点，即沿x轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于x 6cm

A

， 2

x

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且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到 平衡位置Q处需要走 有： t

3

2

，建立比例式：

t

， 2 T

5

s 。 6

3-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1 A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2 A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知：

当质点1在 x1 A/2处，且向左运动时， 相位为

， 3

4 。 3

而质点2在 x2 A/2 处，且向右运动， 相位为

所以它们的相位差为 。

3-5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？

1211

kx，Ek mv2，有：EP kA2cos2( t )， 22211

Ek m 2A2sin2( t ) kA2sin2( t )，

22

A

（1）当x 时，由x Acos( t )，

2

1有：cos( t )

，sin( t ) ，

2解：由EP

∴

EP1Ek3

， ； E4E4

1

E时，有：cos2( t ) sin2( t )

2

（2）当EP Ek

∴cos( t )

A 0.707A。 ，x

3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)

（1）求合振动的振幅。

（2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 由图可知，两个振动同频率，且

A1初相： 1

2

，A2初相： 2

2

，

表明两者处于反相状态，

1，，2 ）

（反相 2 1 (2k 1) ，k 0，

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∵A1 A2，∴合成振动的振幅：A A2 A1 ； 合成振动的相位： 2

2

；

（A2 A1）cos（合成振动的方程：x

2

t ） 。 T2

3-7．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为

。若第一6

个振动的振幅为cm。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：如图，可利用余弦定理：

2

由图知 A2 A12 A2 2A1Acos30 =0.01 m ∴A２=0.1 m ，

sin sin300再利用正弦定理：，有：

AA2

A

sin 1，∴ 。

22A2

说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。

3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：

x 4cos

（1）

y 4co s x 4cos

（3）

y 4co s

x 4cos 8t 6 6

；（2） ； 5 y 4co 8t s 8t 6 6 8t

6

。试判别质点运动的轨迹。 2 8t

3

8t

解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于x Acos( t x)，y 4cos( t y)的叠加，可推得：

x2 y2 2xycos( x y) A2sin2( x y)

222 （1）将 x ， y 代入有：x y 2xycos 16sin， 663322

则方程化为：x y xy 12，轨迹为一般的椭圆；

5 222

（2）将 x ， y 代入有：x y 2xycos 16sin

6622

则方程化为：x y 2xy 0，即x y 0，轨迹为一直线；

2 222 （3）将 x ， y 代入有：x y 2xycos 16sin 6322222

则方程化为：x y 4，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。

3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后周期为2.0s，求波长和波速。

，已知振动6

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解：根据题意，对于A、B两点， 2 1 而相位和波长之间满足关系： 2 1

6x2 x1

， x 2m，

2

x

2 ，

代入数据，可得：波长 =24m。又∵T=2s，所以波速u

T

12m/s。

3-10．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y Acos( t )，波速为u，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?

（t ） 0]，则P点的振动式为： 解：（1）设平面波的波动式为y Acos[

x

u

x1

） 0]，与题设P点的振动式yP Acos( t )比较， u

x1x x1

，∴平面波的波动式为：y Acos[ (t 有： 0 ) ]；

u

x

0]，则P点的振动式（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y Acos[ （t ）uyP Acos[ （t

为：

x1

） 0]，与题设P点的振动式yP Acos( t )比较， u xx x1

有： 0 1 ，∴平面波的波动式为：y Acos[ (t ) ]。

uyP Acos[ （t

3-11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y Acos(2 t )，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：

x

y Acos[2 （t ） 0]，则A点的振动式：

u l

yA Acos[2 （t ） 0]

u

题设A点的振动式y Acos(2 t )比较，有： 0 ∴该平面简谐波的表达式为：y Acos[2 （t

2 l

， u

lx ） ] uu

（2）B点的振动表达式可直接将坐标x d l，代入波动方程：

y Acos[2 （t

ld ld ） ] Acos[2 （t ） ] uuu

1

s时的波形如图所示，且周期T为2s。 3

3-12．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t

（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

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解：由图可知：A 0.1m， 0.4m，而T 2s，则：u /T 0.2m/s，

2 2 ，k 5 ，∴波动方程为：y 0.1cos( t 5 x 0) T

O点的振动方程可写成：yO 0.1cos( t 0)

1

由图形可知：t s时：yO 0.05，有：0.05 0.1cos( 0)

33

5 dyO

考虑到此时（舍去） 0，∴ 0 ，

33dt

那么：（1）O点的振动表达式：yO 0.1cos( t

（2）波动方程为：y 0.1cos( t 5 x

3

)；

3

)；

（3）设A点的振动表达式为：yA 0.1cos( t A)

1

s时：yA 0，有：cos( A) 0 33

5 7 dyA

考虑到此时（或 A ） 0，∴ A

66dt

5 7 )，或yA 0.1cos( t ； ∴A点的振动表达式：yA 0.1cos( t 66

由图形可知：t

（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：

yA 0.1cos( t 5 xA )，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：

3

5 7 t t 5 xA ，所以：xA 0.233m 。

6330

3-13．一平面简谐波以速度u 0.8m/s沿x轴负方向传线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！

由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO 5 10 3cos( t 0)。 （1）当t 0时，yO当t 1时，yO

t 0

播。已知原点的振动曲

2.5 10 3，考虑到：

dyO

dt

t 0

0，有： 0

3

，

t 1 0，考虑到：

dyOdt

3

t 1 0，有：

3

2

，

5 ， 6

∴原点的振动表达式：yO 5 10cos(

5 t )； 63

3

5

t kx ) 63

5 124 5 24 3

t x )； 而k ，∴y 5 10cos(

u60.8256253

x25

k x 3.27rad 。 （3）位相差： 2 24

（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：y 5 10cos(

3

3-14．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0 10J/(s m)，频率为

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300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段

中含有多少能量？

解：（1）已知波的平均强度为：I 9.0 10

3

J/(s m)，由I u 有：

I9.0 10 3 3 10 5J/m3

u300

wmax 2 6 10 5J/m3；

1212u

（2）由W V，∴W d d

44

3 10 5J/m3 (0.14m)2 1m 4.62 10 7J 。

4

3 43

3-15．一弹性波在媒质中传播的速度u 10m/s，振幅A 1.0 10m，频率 10Hz。若该媒质的

3

密度为800kg/m，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S 4.0 10m的总能量。

4

2

解：（1）由：I

1

u A2 2，有： 2

122I 103 800 （10 4）（2 103） 1.58 105W/m2；

2

42

（2）1分钟为60秒，通过面积S 4.0 10m的总能量为：

W ISt 1.58 105 4 10 4 60 3.79 103J 。

1

波长，S1比S2的位相超前。若两波在在S1、S2连线方向上42

的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的

3-16．设S1与S2为两个相干波源，相距强度如何？ 解：（1）如图，S1、S2连线上在S1外侧，

2

(r2 r1) ，

∵ 2 1

2 4

2

SS∴两波反相，合成波强度为0；

（2）如图，S1、S2连线上在S

2外侧， ∵ 2 1

2

(r2' r1')

2

2

( ) 0， 4

S1

∴两波同相，合成波的振幅为2A，

合成波的强度为：I (2A)2 4A2 4I0 。

3-17．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：

（1）声源发出的声波频率；

（2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： x 相邻波节与波腹的间距： x

S2

D为声音探测器，

的。干涉仪内有空

增至B距第一位置

2

，

4

，可得： 4 x 6.6cm。

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（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：

2

（2）∵I A，Imin (A1 A2)，Imax

2

u

(A1 A2)2，依题意有： A12 。 A21

340

5151（Hz）。 2

6.6 10

(A1 A2)2 100(A1 A2)2 900

A1 20A2 10

，那么

3-18．蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz。当它以空气中声速的

1

的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多40

少？

解：根据多普勒效应，

反

u

uu vSu vS 41 41000 0 0 0(Hz)

u vSuu vS39u 40

u

3-19．一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s，求： （1）声源在空气中发出声音的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的波速； （4）反射波的波长。

解：（1）在声源前方静止接收器接收到的频率 1 0

声音的波长

u

1

u

0

u vS

u

u vS

u vS331 30 0.28(m)

01080

u v反331 65

（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为 2 0 142(1Hz )

u vS331 30(m/s) （3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 u 331

u331 0.23(3m )（4）反射波的波长为 2

21421

3-20．试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率为 3Hz，求波源移动的速度vs，设声速为340m/s。

解：根据观察者不动，波源运动，即：uS 0，uR 0，

u

0， 观察者认为接受到的波数变了：

u uS

其中u 340， 2043， 0 2040，分别代入，可得：uS 0.5m/s 。

思考题

3-1．试说明下列运动是不是简谐振动：

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（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；

（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：

① 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长 等等在运动中保持为常量； ② 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； ③ 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。

d2 2

或者说，若一个系统的运动微分方程能用2 0描述时，其所作的运动就是谐振动。

dt

那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内

d2 2

部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用 0描述时，其所作的运动2

dt

就是谐振动。

（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为 mgsin 。题中所述， S R，故

S

0，所以回复力为 mg 。（式R

中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

gd2 d2 22

0。 mRmR，令，则有： mg 22

Rdtdt

3-2．简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度： v Asin( t )；

加速度：a A cos( t )；

要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。

加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。

3-3．分析下列表述是否正确，为什么?

（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动； （2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；

（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。

2

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3-4．用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。

方法1：使其从平衡位置压缩 l，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2 l，由静止开始释放。

若两次振动的周期和总能量分别用T1、T2和E1、E2表示，则它们满足下面那个关系？ （A） T1 T2（C） T1 T2

E1 E2 （B） T1 T2E1 E2

E1 E2 （D） T1 T2E1 E2

答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B）。

3-5．一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从x1 为多少？ 答：质点从x1

3-6．一弹簧振子，沿x轴作振幅为A的简谐振动，在平衡位置x 0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，问振子处于x A/2处时；其势能的瞬时值为多少？

答：由题意，在平衡位置x 0处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为50J，所以该振子的总能量为50J，当振子处于x A/2处时；其势能的瞬时值为：

12112150kx k（A） EM 12.5J。 22244

A

运动到x2 A处所需要的最短时间2

/4TA

。 运动到x2 A处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为： t

2 84

3-7.图（a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t 0时刻的波形图，则图（b）表示的是：

（A）质点m的振动曲线； （B）质点n的振动曲线； （C）质点p的振动曲线； （D）质点q的振动曲线。

答：图（b）在t=0时刻的相位为

，所以对应的是质点n的振动曲线，选择B。 2

3-8．从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。

（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。

3-9. 当两列波干涉时，是否会有能量损失？

答：否。当两列波干涉时，波的能量只是进行了重新分布，并不会有损失。

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3-10. 一卫星发射恒定频率的无线电波。地面上的探测器测到了这些无线电波，并使它们与某一标准频率形成拍，然后将拍频输入扬声器，人们就“听”到了卫星的信号。试描述当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时声音的变化情况。

答：由于多普勒效应，当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时，地面上探测器测到的来自卫星的无线电波频率将大于、等于和小于其发射频率（ ），它们与标准频率( )形成拍的拍频将随着增大（若 > ）或减小（若 ），扬声器发出的拍音也随之变短或变长。

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