小题专项集训（十四） 直线与圆

小题专项集训(十四) 直线与圆

(时间：40分钟 满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共50分)

1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为 ( )． A．1

B.2

C.3

D．2

|1－?－1?|

＝2，故2

解析 直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0间的距离d＝应选B. 答案 B

2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是

( )．

A．D＋E＝2 C．D＋E＝－1

2

2

B．D＋E＝1 D．D＋E＝－2

E?D?D

－，－?解析 ∵圆x＋y＋Dx＋Ey＝0的圆心?2在直线x＋y＝1上，∴－2?2?E

－2＝1，即D＋E＝－2，故应选D. 答案 D

3．(2013·济南二模)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝ A．－3或－1 C．－3或1

( )．

B．3或1 D．－1或3

解析 l1⊥l2?k(k－1)＋(1－k)(2k＋3)＝0?(1－k)(k＋3)＝0?k＝1或k＝－3. 答案 C

4．圆x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为 ( )． A．2x－y－5＝0 C．x－y－2＝0

B．x－2y－1＝0 D．x＋y－4＝0

解析 由已知条件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，此时圆x2＋y2－4x＋21

＝0的圆心为C(2,0)，半径为2，则直线l的方程为y－1＝－k(x－3)＝－x

AC

＋3，即得x＋y－4＝0，故应选D. 答案 D

5．(2013·乌鲁木齐三模)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是 πA.6

( )．

π

B.4 π

C.3 3πD.4

解析 易知圆的圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长π

弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是4. 答案 B

6．(2013·安徽省江南十校联考)若点P(1,1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为 A．2x＋y－3＝0 C．x＋2y－3＝0

( )．

B．x－2y＋1＝0 D．2x－y－1＝0

1

解析 易知圆的圆心为C(3,0)；据圆的垂径定理知MN⊥PC.∵kPC＝－2，∴kMN＝2.∴直线MN方程为：y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案 D

7．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是 A．30

( )．

B．18 C．62 D．52

解析 由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32.则圆上的|2＋2－14|点到直线x＋y－14＝0的最大距离为：＋32＝52＋32，最小距

2离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为62. 答案 C

8．(2013·宁德模拟)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝011

截得的弦长为4，则a＋b的最小值是 A．4

B．2

1D.4

( )．

1

C.2

解析 圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，由直线被圆截得的弦长为4可知直线通过圆心，

11ab?11?

?a＋b?＝2＋＋≥4，即2a·(－1)－b·2＋2＝0，即a＋b＝1，故a＋b＝(a＋b)·ba??1

当且仅当a＝b＝2时等号成立． 答案 A

3

9．(2013·豫东、豫北十所名校联考)圆心在曲线y＝x(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为 ?3?A．(x－2)2＋?y－2?2＝9

??

( )．

?16?B．(x－3)2＋(y－1)2＝?5?2

??D．(x－3)2＋(y－3)2＝9

?18?C．(x－1)2＋(y－3)2＝?5?2

??

3?3???a，a，解析 设所求圆的圆心坐标是?(a>0)，则点?(a>0)到直线3x＋4y＋3a?a?????12?12?

?3a＋a＋3?3a＋a＋32 ??

＝0的距离d＝＝≥

55

123a×a＋35

＝3，当且仅当3a

3?12?

＝a，即a＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是?2，2?，半径是3，所求

???3?圆的方程为(x－2)2＋?y－2?2＝9，选A.

??答案 A

10．点P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F1PF2外角平分线的垂线．垂足为M，则点M的轨迹是 A．圆

B．椭圆

( )．

C．双曲线 D．抛物线

解析 如图，延长F2M交F1P延长线于N.∵|PF2|＝|PN|，∴|F1N|＝2a.连结OM，则在△NF1F2中，1

OM为中位线，则|OM|＝|F1N|＝a.∴M的轨迹是

2圆． 答案 A

二、填空题(每小题5分，共25分)

11．(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为________．

3

解析 分两种情况：(1)直线l过原点时，l的斜率为－2，∴直线方程为y＝－3xyx；(2)l不过原点时，设方程为2a＋a＝1，将x＝－2，y＝3代入得a＝1，∴直线方程为x＋y＝1.综上：l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0. 答案 x＋y－1＝0或3x＋2y＝0

12．(2013·长春一模)已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是________． 解析 ∵l1∥l2，∴可设直线l1：3x＋4y＋b＝0. |b－4|

∵l1与圆x2＋(y＋1)2＝1相切，∴5＝1， ∴b＝9或b＝－1，

∴l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 答案 3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0

13．过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是________． 解析 易知PA的斜率kPA＝

－2－?－1?1－?－1?

＝－1，PB的斜率kPB＝＝1，

1－02－0

又直线l与线段AB没有公共点．

∴直线l的斜率k的取值范围为k<－1或k>1， ?π3π?结合正切函数图象得倾斜角的范围是?4，4?.

???π3π?答案 ?4，4?

??

?1?

14．过点M?2，1?的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，

??当∠ACB最小时，直线l的方程为________．

1

1－20－1

解析 由题意得，当CM⊥AB时，∠ACB最小，从而直线方程y－1＝－?1??x－2?，即2x－4y＋3＝0. ??答案 2x－4y＋3＝0

15．(2013·苏州一模)过直线l：y＝2x上一点P作圆C：(x－8)2＋(y－1)2＝2的切线l1，l2，若l1，l2关于直线l对称，则点P到圆心C的距离为________． 解析 如图，据题意， ∠1＝∠2，∠3＝∠4； ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°， ∴∠2＋∠3＝90°，

∴CP⊥l.∴P到圆心C的距离等于C到l的距离d＝

|2×8－1|

4＋1

＝35. 答案 35

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