2012年秋麻城一中预录模拟题数学试题(6)

2012年秋一中预录模拟题数学试题（6）

（满分100分 时间120分钟） 一．选择题 (每小题5分，共25分） 1. 若 实数a、b、c、d满足a +1＝ b－2 ＝c + 3 ＝ d－4 ，则a、b、c、d 这四个实数中最大的是（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，

9． 如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF．若阴影部分面

积是纸片面积的一半，则EF的长为＿＿＿． 10．规定任意两个实数对（a, b）和（c, d）：当且仅当a＝c且b＝d时，（a, b）＝（c, d）．定义运算“ ”：（a, b） （c, d）＝（ac－bd, ad＋bc）．若（1, 2） （p, q）＝（5, 0），则p+q＝＿＿＿ ． 三.解答题 （共50分)

11.（本题满分8分） 利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性． （1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；

（2）已知正数a、b、c和m、n、l，满足a m b n c l k．试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al bm cn k．

2

△ABP的面积为y．如果y关于x的函数图象如图2所示，则BD的长是（ ）

A. C.

B. 29 D. 3

3．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（ ）

A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或3

4．关于x满足

A 图1

B 3x 175 2x

x ，且︱x－3︱－︱x＋2︱的最大值为p，最小值为q, 则pq的值是233

（ ）

A．6 B．5 C．－5 D．－1

5. 如图，直角梯形ABCD中，AD//BC，AB BC，AD=3，BC=5，将D的逆时针方向旋转90°至DE，连结AE，则 ADE的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题 （每小题5分，共25分) 6．已知a

腰DC绕点

12．（本题满分10分） 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

1a

，则a

2

1

＝＿＿＿． a

2

7．已知关于x的一元二次方程x 4x k 0有两个不相等的实数根，且该方程与x mx 1 0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为__________．

8．在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB DC；② ABE DCE；③AE DE；④ A D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率是________________. ．．

E

F

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13．（本题满分10分）某校10名教师带领八年级全体学生乘坐汽车外出参加社会实践活动，要求每辆汽车乘坐的人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有师生正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？该校八年级有多少名学生？

14．（本题满分10分）如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上．若AB

=mm、n是整数，求m n的值．

PQO

C

15．（本题满分12分）在平面直角坐标中，边长为4的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y x于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；

（2）设 MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论； （3）当旋转角θ为多少度时， OMN的面积最小，并求出此时 BMN内切圆的半径.

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2009年初中语、数、英综合能力测评

数学试题参考答案和评分标准

一．选择题（每小题5分）

1．D 2．A 3．C 4．B 5．C

二.填空题（每小题5分） 6. 7．0或 三.解答题

11. （1）比如：(a b)2 (a b)2 4ab或(a b)2 (a b)2 4ab或(a b)2 4ab＝

81

8． 9．26 10．－1 33

(a b)2等 4分

（2）比如构造如图所示正方形：

等

因为a m b n c l k，显然有al bm cn k2 8分

12． CN=MN+BM 2分

证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连结DE． ∵△ABC为等边三角形 ∴∠ACB=∠ABC=60°

又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120° ∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°

在△MBD与△ECD中，

∠MBD=∠ECD

BM=EC

MBD≌△ECD（SAS）

∴MD=DE，∠MDB=∠EDC 5分 又∠MDN=60°，∠BDC=120°

∴∠EDN=∠BDC—（∠BDN+∠EDC） =∠BDC—（∠BDN+∠MDB）

=∠BDC—∠MDN=120°—60°=60°

∴∠MDN=∠EDN 7分 在△MND与△END中， ∠MBN=∠EDN MD=DE

MND≌△END（SAS）

∴MN=NE 9分 ∴CN=NE+CE=MN+BM 10分

13. 设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘人数为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有 22m+1=n(m－1)．则 2分

n

22m 123

22 4分

m 1m 1

23

为整数，因此m－1＝1或m－1＝23， m 1

因为n为正整数，所以

即 m＝2或m＝24. 6分 当 m＝2时，n＝45(不合题意，舍去)；当m＝24时，n＝23(符合题意) 8分

所以该校八年级学生人数为：n(m－1)－10＝23×(24－1)－10＝519(人)

答：起初有汽车24辆，该校八年级有学生519人． 10分 14．连结OA ∵两圆内切

∴P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，

则OQ＝OP－PQ＝10，RO=RQ—OQ＝x—10 2分 ∵CD与小圆切于点Q ∴QR⊥CD，QR⊥AB

∴ 根据垂径定理知AR=

2

∴在Rt△OAR中，OA2=OR2+AR2

2

11

AB=x 4分 22

x

即(10 x) 202 6分

2

解得：x 8

∵x>0

，∴x 8 8分 而AB

=mm、n为整数

∴m=8，n=304

∴m n 312 10分 15．（1）如图，

S阴 S△OAB S扇形OBB' S△OA'B' S扇形OAA' 2分

=S扇形OBB' S扇形

OAA'==

4545

2 (2)2 360360

3分

2

（2）p值无变化. 4分 证明：延长BA交y轴于E点. 在△OAE与△OCN中

AOE CON

OAE OCN 90∴△OAE≌△OCN OA OC

∴OE ON,AE CN. 5分 在△OME与△OMN中

OE ON

MOE MON 45 ∴△OME≌△OMN. OM OM

∴MN ME AM AE ∴MN AM CN 6分 ∴p MN BN BM AM CN BN BM AB BC 4.

∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化. 7分 （3）设MN=m,AM=t,则BM=2－t,CN=m－t,BN=2－m+t． ∵△OME≌△OMN ∴ S△MON S△MOE

1

OA EM EM MN ＝m 8分 2

在Rt△BMN中， BM2+BN2=MN2 ∴(2－t)2+(2－m+t)2=m2 ∴t2－mt+(4－2m)=0 ∴△=m2－4(4－2m)≥0

解得m≥

4或m≤- 4

∵m＞0

∴m≥4 即m最小为 42 4 9分 ∴当m取最小值42 4时，S△MON也最小

此时t2－(42 4)t+〔4－2(42 4)〕=0,

解得t

m

2 2

∵MN AM CN ∴AM=CN

此时由于AM=CN, ∠OAM=∠OCN ,OA＝OC ∴△AOM≌△CON

∴∠AOM＝∠CON＝∠AOE＝θ＝22.5° 11分 ∵BM=2－t＝4－22,BN=2－m+t＝4－22,MN=m＝42 4 ∴Rt△BMN内切圆半径为

BM BN

MN

=6 12分

2

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