物理班普通物理（下）作业参考答案02磁

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练 习 七

1.

两个粗细不同、长度相同的铜棒串联在一起，在两端加有一定的电压V，如图所示，略去分界处的边缘效应，问： （1） （2） （3） （4）

通过两棒的电流强度是否相同？ 通过两棒的电流密度是否相同？ 两棒中的电场强度是否相同？ 细棒两端和粗棒两端的电压是否相同？

V解： (1) 通过两棒的电流强度相同；（串联）

（2） ??I??1??2 即通过两棒的电流密度不同； ，I1?I2,S1?S2??SE1?E2 即两棒中的电场强度不同；

?（3） E???，?1??2,?1??2??（4） R??l?R1?R2 ，?1??2,l1?l2,S1?S2??SU1?I1R1?I2R2?U2

即细棒两端和粗棒两端的电压不同。

2.

一铜棒的横截面积为20mm×80mm，长为2m，两端的电势差为50mV。已知铜的电阻率为ρ＝1.75×10-8 Ω·m，铜内自由电子的数密度为8.5×1028/m3。求： （1）棒的电阻； （2）通过棒的电流； （3）棒内的电流密度； （4）棒内的电场强度； （5）棒所消耗的功率； （6）棒内电子的平均漂移速度。 解：（1）R?? （2）I?l2?1.75?10?8??2.19?10?5(?) ?6S20?80?10U?50?10?3/(2.19?10?5)?2.28?103(A) RI3?662 （3）???2.28?10/(20?80?10)?1.43?10(A/m)

S （4）E????1.75?10?1.43?10?2.50?10 （5）P?IU?2.28?10?50?1063?3?86?2(V/m)

)?1.05?10?4(m/s)

?114(W)

28?19 （6）v??/(ne)?1.43?10/(8.5?10?1.6?10

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3. 金属导体中的传导电流是由大量的自由电子的定向漂移运动形成的，自由电子除无规则热运动外，将沿着电场强度E的反方向漂移。设电子电量的绝对值为e，电子的“漂移”速度的平均值为v，单位体积内自由电子数为n，求金属导体中的传导电流密度大小。

解：

?? 4.

?Ine?S?v?t??nev ?S?S??t?S?Iv??t在如图所示的一段电路中，两边为电导率很大的导体，中间有两层电导率分别为?1和?2的均匀导电介质，其厚度分别为d1和d2，导体的横截面积为S，当导体中通有稳恒电流强度I时，求： （1） （2）

两层导电介质中电场强度的E1和E2； 电势差UAB和UBC。

AIBC解：

（1） ???1d1?2d2II??E， S?1E1S??2E2S?I

II,E2? ?1S?2SI??ES，

E1?（2）

UAB?E1d1?Id1Id,UBC?E2d2?2?1S?2S

5.

某闭合三棱柱面如图所示，处于磁感应强度大小为B?2.0Wb?m、方向沿x轴正方向的均匀磁场中。已知ab = 40 cm, be = ad = 30cm, ae = 50cm, 求：

通过图中 abcd 面的磁通量； 通过图中 befc 面的磁通量； 通过图中 aefd 面的磁通量。

acO?2（1） （2） （3）

ybe????解： ??B?S?B?Scos(n,B)

（1）

（2）

Bfx?abcd?BSabcdcos???2?0.30?0.40??0.24(Wb)zd?befc?B?Sbefc?cos?2?0

?aefd?B?Saefd?BSabcd?0.24(Wb)

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练习八 1.

求下图各图中P点的磁感应强度B的大小和方向。

IIIarIPaIPPIr解：（1）水平段电流在P点不产生磁场，竖直段电流是一“半无限长”直电流，它在P点的磁场为

B?1?0I?0I 方向垂直纸面向外。 ?22πa4πa（2）两直线电流在P点的磁场相当于两个“半无限长”直电流磁场的叠加，为

?0I(2πr)。半圆电流

在P点的磁场为圆电流在圆心处磁场的一半，即P点的总磁场大小为

?0I4r。

B＝?0I2πr??0I4r，方向垂直纸面向里。

（3）P点到每一边的距离为a/(23)。P点的磁场是三边电流产生的同向磁场的叠加，为

B?3? 2.

?0I4πa/(23)(cos300?cos1500)?9?0I，方向垂直纸面向里。 2πa有一宽为a的无限长薄金属片，自下而上通有均匀分布的电流I ，如图所示，求图中P点处的磁感应强度B。

I解： dI?dr

adIPlr?0dI?I?0dr 2?r2?arl?a?I?Il?a0 B??dr?0lnl2?ar2?aldB?方向垂直纸面向里。 3.

a半径为R的圆环，均匀带电，单位长度所带的电量为?，以每秒n转绕通过环心并与环面垂直的轴作等速转动。求：

（1） 环中的等效电流强度； （2） 环的等效磁矩大小； （3） 环心的磁感应强度大小；

（4） 在轴线上距环心为x处的任一点P的磁感应强度大小。

解： (1) I?qn?2?R?n

AOxR大学物理下作业 学号 姓名 序号

(2) m?IS?2?R???n??R?2?R(3) Bo?（4）Bx?223?n

?0I2R??0??n

?0IR22r3??0(2?R?n)R22?R2?x322???0??nR3?R2?x322?

4.

一载有电流I的圆线圈，半径为R，匝数为N。求轴线上离圆心x处的磁感应强度大小B，取R =12 cm，I=15A，N=50，计算x = 0 cm，x = 5.0 cm, x = 15 cm各点处的B值； 解： Bx??0NIR22?R2?x322?

x?0： B1??0NIR22?R?x2322?4??10?7?50?15?0.122?3??3.9?10(T) 32?0.12?4??10?7?50?15?0.1222?(0.122?0.050)322x?0.05m： B2??0NIR22?R2?x322??3.0?10?3(T)

x?0.15m： B3? 5.

?0NIR22?R?x2322??4??10?7?50?15?0.1222?(0.12?0.150)2322?9.6?10?4(T)

在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下通有电流I=5.0A，如图所示。求圆柱轴线上任一点P处的磁感应强度。

解： dI?IIIdl?Rd??d? ?R?R??dI?I dB?0?0?d?

2?R2?R??IdBx??dBsin???02sin?d?

2?R?IdBy?dBcos??02cos?d?

2?RydIdBrP?xBy???0?0I?0Icos?d??sin??0 2?2R2?2R0?0?B?Bx???I?I?0I?02sin?d??02cos???2 2?R2?R?R0?4??10?7?5.0????2??10?5(T) 2?2??10沿x负向。

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6. 质量为M、半径为R的薄均质圆盘上均匀带电，总电量为q，令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线匀速转动，角速度为?，求

（1） 轴线上距盘心x处的磁感应强度； （2） 圆盘的等效磁矩； （3） 磁矩与角动量的关系。

AOrxq解： （1） 圆盘上电荷面密度 ?? 2?R取半径为r?r?dr的圆环，则： dq???2?rdr

dI?dq????2?rdr????rdr T2?RdB??0r2dI2?r2?x322???0r22?r2?x322322????rdr

?q??02?4?RB??r2?r2?xR?d(r2) 沿x正向

?q?dB?024?R?0x2?x2?r2?r2?x322?d(r2)

R?q??024?R?22?2x?r???? 22x?r?02x2?q??022?R??，或相反（q?0）。 B的方向与?方向相同（q?0）

（2） dm??r?2?R2?2x2??2x? ?22?R?x??dq????r3dr 2?R0m??dm?????r3dr

11????R4??qR2 4412矢量式： m?qR?

4?即：m的方向与?方向相同（q?0），或相反（q?0）；

(3) L?J??1MR2?，所以有 2q1qm??MR2??L

2M22M

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练习九

1. 如图所示，两导线中的电流I1和I2均为8A，对图中所示的三条闭合曲线a、b、c， （1） 分别写出安培环路定理表达式；

（2） 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度的大小是否相等？ （3） 在闭合曲线c上各点磁感应强度的大小是

否为零？

解：

（1）

caI1??B?dl??I?8? ?B?dl??(I?I)?0

aB?dl??0I1?8?0

020bI2bc021（2） 不相等； （3） 不为零。

2. 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流方向如图所示。求环中心O处的磁感应强度是多少？

解：两根长直电流在圆心处的磁场均为零。I1在圆心处的磁场为 1 I A 2 o ， 方向垂直纸面向里；

C I B1??0I1l12r2πr??0I1l14πr2，方向垂直纸面向外；

I2在圆心处的磁场为

B2??0I2l22r2πr??0I2l24πr2由于l1和l2的电阻与其长度成正比，于是

I1R2l2??， 即：I1l1?I2l2 I2R1l1因此，B1和B2大小相等，方向相反，因而圆心处的合磁场为零。

3. 如图所示，两无限大平行平面上都有均匀分布的电流，设其单位宽度上的电流分别为i1和i2，且方向相同。求：

（１） 两平面之间任一点的磁感应强度； （２） 两平面之外任一点的磁感应强度； （３） i1?i2?i时，结果又如何？ 解：如图将空间分成三个区域1、2、3

B?1231?0i 2（1）两平面之间：B2?Bi1?Bi2 Bi1与Bi2方向相反

i1i2B2?1?0(i1?i2)，方向：垂直纸面向里 2大学物理下作业 学号 姓名 序号

（2）两平面之外：Bi1与Bi2方向相同。

1?0(i1?i2)，方向：B1垂直纸面向外；B3垂直纸面向里 2（3）B2?0；B1?B3??0i

B1?B3?

4. 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示。 （１） 求环内磁感应强度的分布；

（２） 证明通过螺绕环截面（图中阴影区）的磁通量，???0匝数，I为其中电流强度。

解： （1）

NIhD1ln 式中N为螺绕环总2?D2II?LB?dl??0?I内

B?2?r??0NI

B?（2） ???0NI 2?rD12D22?SB?dS???0NI?hdr 2?rD2?NIhD1?0ln

2?D2

hD15. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a）和一同轴导体圆管（内外半径分别为b、c）构成，使用时，电流I从一导体流出，从另一导体流回。设电流都是均匀分布在导体的横截面上，如图所示。求

（1） 导体柱内 ( r < a )； （2） 两导体之间 ( a < r < b ) ； （3） 导体圆管内 ( b < r < c ) ；

（4） 电缆外 ( r > c ) 各点处磁感应强度的大小，并画

出B — r曲线。

解：

II?LB?dl??0?I B?2?r??0?I内， B?内，

?0?I 2?r内?0I2?a?0I2?bB?0I?0Ir2?r?

2?r?a22?a2?I（2） a?r?b：B?0

2?r（3） b?r?c：

（1） 0?r?a：B??0?I?(r2?b2)??0Ic2?r2B?I?? ?22?222?r??(c?b)?2?rc?b（4） r?c： B?0；

Oabcr大学物理下作业 学号 姓名 序号

6. 一根外半径为R1的无限长圆柱形导体管，管内空心部分的半径为R2，空心部分的轴与圆柱的轴相平行但不重合，两轴间距离为a，且a >R2。现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行，如图所示，求： （1） 圆柱轴线上的磁感应强度的大小； （2） 空心部分轴线上的磁感应强度的大小； 设R1=10mm, R2=0.5mm, a =5.0mm, I =20 A. 解：（1） Bo?B1?B2?B2

空心部分 OIBo??0?I??R22?0???R22 222?a2?a?(R1?R2)?722?10?20??0.5??0IR22?6??2.0?10(T) ??22?3222?aR1?R25.0?10??10?0.5?（2） Bo??B1?B2?B1

Bo???0??0IaI2??a2?0???a? 2?a2?a?(R12?R22)2?a(R12?R22)2?10?7?20?5.0?10?3??2.0?10?4(T) 22?6?10?0.5??10练习十

1. 在一对平行圆形极板组成的电容器（电容C＝1×10的交变电压，计算极板间的位移电流的最大值。 解：极板间的电通量为

?e?ES??S/?0?Q/?0?CU/?0

－12

F）上，加上频率为50Hz，峰值为1.74×105V

Id??0d?edU?C dtdtId,max?2π?CUmax?2π?50?1?10?12?1.74?105?5.5?10?5A

2. 试证明平行板电容器中位移电流可写为Id?Cdu/dt?dq0/dt，忽略边缘效应，式中C是电容器的电容，u是两极板电压。 解： ? C?q0， ?q0?CU Uq0CU?， D??0 SS而 ?0??Id??D?S?C?U?S?CdU?d(CU)??tS?tdtdt

dq0 dt3. 为了在一个1μF的电容器中产生由1A的瞬时位移电流，加在电容器上的电压变化率为多大？ 解： ? Id?Cdu， ? dtduId??1.00?106V/s dtC大学物理下作业 学号 姓名 序号

4. 如图所示，电流I ＝7.0 A，通过半径R?5.0?10m的铅丝环，铅丝的截面积S?7.0?10m，放在B ＝1.0 T的均匀磁场中，求铅丝中的张力及由此引起的拉应力(即单位面积上的张力)。 解： 铅丝受到的合力为0

但环上各处都受到沿法向的磁场力 铅丝中的张力：

?2?72y????????2BIRF??1.0?7.0?5.0?10?2?0.35(N)

2单位面积上的张力：

I????R??B????xF0.355????5.0?10(Pa) ?7S7.0?10

直，求：

（１） 长直导线AB在空间的磁场分布； （２） CD受到AB的磁力； （３） 若CD自由，则将如何运动？ 解： （1）

O??5. 如图所示，在长直导线AB内通有电流I1，有限长导线CD中通有电流I2，AB与CD共面且垂

AI1FCdI2Dl?LB?dl??0I1

B?2?r??0I1

BB?（2） F??0I1 2?r?L2Idl?B，方向如图所示；

大小：F??d?ldI2?0I1?IId?l dr?012ln2?r2?d（3） 向上加速运动的同时，顺时针转动到与AB平行后向右运动；

6. 将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为B1和B2（如图所示），求该载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。

解：载流平面在其两侧产生的磁场

B1i?B2i??0i2，方向相反

均匀外磁场B0在平面两侧方向相同

由图所示可知：B2?B1，i的方向为垂直纸面向里。

B1?B0?B1i, B2?B0?B2i

由此可得： B0?(B1?B2)/2, B1i?B2i?(B2?B1)/2

B1B2大学物理下作业 学号 姓名 序号

i?2B1i?0?B2?B1?0

2（B2?B12）载流平面单位面积受的力为： F?iB0?

2?0方向垂直载流平面指向B1一侧。 练习十一

１． 横截面积S?2.0mm的铜线，弯成U形，其中OA和DO?两段保持水平方向不动，ABCD段

是边长为a的正方形的三边，U形部分可绕OO?轴转动。如图所示，整个导线放在匀强磁场B中，

2B的方向竖直向上。已知铜的密度??8.9?103kg?m?3，当这铜线中的电流I =10 A时，在平

衡情况下，AB段和CD段与竖直方向的夹角为??15。求磁感应强度的大小B。 解：重力矩

?1M1?2a?gS?asin??a?gSasin? 2?2Sa2?gsin?磁力矩 M2?IaBsin?2OABD?CO?IB???????Ia2Bcos? ?2?22I??IaBcos? 平衡时 M1?M2， 2Sa?gsin2S?g2?2.0?10?6?8.9?103?9.8B?tan???tan15??9.3?10?3(T)

I10

２． 如图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为?的剩余电荷。假定圆盘绕其轴线

AA?以角速度?转动，磁场B的方向垂直于转轴AA?，证明磁场作用于圆盘的力矩大小为：

4解： 取半径为r?r?dr的圆环，则此圆环所带电荷为：

dq???2?rdr

M????R4B

ArBdI??dq 2?Rdm?SdI??r2?dM?Bsin?dq????r3dr 2?A??2dm????Br3dr

3M??dM?????Brdr?

???BR44

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练习十三

１． 在铁晶体中，每个原子有两个电子的自旋参与磁化过程。设一根磁铁棒直径为1.0cm，长12cm，

其中所有有关电子的自旋都沿棒轴的方向排列整齐了。已知铁的密度为7.8kg/cm3，摩尔（原子）质量是55.85kg/mol。（1）自旋排列整齐的电子数是多少？（2）这些自旋已排列整齐的电子的总磁矩多大？（3）磁铁棒的面电流多大才能产生这样大的总磁矩？（4）这样的面电流在磁铁棒内部产生的磁场多大？

解：（1）N?12?0.5?π?7.8?6.023?10（2）m?NmB?1.6?1024223?2/55.85?1.6?1024个

5?9.27?10?24?15A?m2

2（3）I?m/S?15/(??(0.005))?1.9?10A

?75（4）B??0I/??4??10?1.9?10/0.12?2.0T

２． 螺绕环中心周长l ＝10cm，环上线圈匝数N＝20，线圈中通有电流I＝0.1A。 （1）求管内的磁感应强度B0和磁场强度H0；

（2）若管内充满相对磁导率?r＝4200的磁介质，那么管内的B和H是多少？ （3）磁介质内由导线中电流产生的B0和由磁化电流产生的B各是多少？

?7?5解：（1）B0??0nI??0NI/l?4π?10?20?0.1/0.1?2.5?10T

‘

H0?nI?NI/l?20?0.1/0.1?20A/m

?5（2）B??rB0?4200?2.5?10?0.11T

H?H0?20A/m

?5‘（3）B0?2.5?10T，B?B?B0?0.11T

３． 一铁制的螺绕环，其平均圆周长30cm，截面积为1cm2，在环上均匀绕以300匝导线。当绕组内

的电流为0.032A时，环内磁通量为2×106Wb。试计算：（1）环内的磁通量密度（即磁感应强度）；

－

（2）磁场强度；（3）磁化面电流（即面束缚电流）密度；（4）环内材料的磁导率和相对磁导率；（5）磁芯内的磁化强度。

?2.0?10?6??2?10?2T 解： （1）B??4S1?10（2）H?nI?NI/l?300?0.032/0.3?32A/m

2?10?24（3）J?M??H??32?1.6?10A/m ?7?04??10‘BB2?10?2??6.3?10?4H/m （4） ??H32?r???0?6.3?10?4/(4π?10?7)?5.0?102

1.6?10A/m （5）M?J?＝

4大学物理下作业 学号 姓名 序号

４． 在铁磁质磁化特性的测量实验中，设所用的环形螺线管上共有1000匝线圈，平均半径为15.0cm，

当通有2.0A电流时，测得环内磁感应强度B＝1.0T，求：

（1）螺绕环铁芯内的磁场强度H；（2）该铁磁质的磁导率μ和相对磁导率?r；（3）已磁化的环形铁

芯的面束缚电流密度。

/2?π?0.15）?2.1?10A/m 解：（1）H?nI?NI/(2πr)?1000?2.0（（2）??3B1?4??4.7?10H/m 3H2.1?10?r??/?0?4.7?10?4/(4??10?7)?3.8?102

J,?M?(?r?1)H?(3.8?102?1)?2.1?103?8.0?105A/m

５． 退火纯铁的起始磁化曲线如图。用这种铁做

芯的长直螺线管的导线中通入6.0A的电流时，管内产生1.2T的磁场。如果抽出铁芯，要使管内产生同样的磁场，需要在导线中通入多大电流？

解：由起始磁化曲线可以查出，

当B?1.2T时，H?2.2?10A/m。 由于H?nI1，所以n?H/I1。 抽去磁芯，产生同样的B，所需电流为

21.8 1.6 1.4 1.2 B/T 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 BI1B1.2?6.0I????0n?0H4??10?7?2.2?102 ?2.6?104A

0 100 300 －500 700 H/(A·m1) ６． 如果想用退火纯铁作铁芯做一个每米800匝的长直螺旋管，而在管中产生1.0T的磁场，导线中

应通入多大的电流？（参照上图中的B－H图线。）

解：由上题图B－H中可以查出B?1.0T时，相应的H?1.7?10A/m。所需电流为

2H1.7?102I???0.21A

n800

７． 一个利用空气间隙获得强磁场的电磁铁

如图所示。铁芯中心线的长度ι500mm，空气隙长度ι

1＝

l2 2＝20mm，铁芯

线圈 线圈 是相对磁导率μr＝5000的硅钢。要在空气隙中得到B＝3T的磁场，求绕在铁芯上的线圈的安匝数NI。 解：

l1 NI?B?0?r(l1?l230.5)?(?0.02)?4.9?104(安匝) ?7314π?105?10大学物理下作业 学号 姓名 序号

８． 设有由金属丝绕成的没有铁芯的环形螺线管，单位长度上的匝数n?5000m?1，截面积

S?2?10?3m2，金属丝的两端和电源?以及可变电阻串联成一闭合电路，在环上再绕一线圈A，

匝数N = 5 ，电阻R?2.0?，如图所示。调节可变电阻，使通过环形螺线管的电流强度I每秒降

低20 A 。求：

（１） 线圈A中产生的感应电动势?i及感应电流Ii ； （２） 两秒内通过线圈A任一横截面的感应电量q 。 解：（1）?i??NAGd?dBdI??NS??NS?0n dtdtdt?4?3?5?2?10?3?4??10?7?5000?20?4??10?1.26?10(V)Ii?

??iR?2??10?4?6.28?10?4(A)

2（2） q?

?0Iidt?2Ii?4??10?4?1.26?10?3(C)

９． 在图中具有相同轴线的两个导线回路，小回路在大回路上面距离x处，设x >> R 。因此，当大

回路中有电流i按图示方向流过时，小线圈所围面积内的磁场可看作是均匀的。假定x以等速率

dx/dt?v而变化。

（３） 试确定穿过小回路的磁通量?和x之间的关系；

（４） 当x = NR时（N为一正数），小回路内产生的感应电动势的大小； （５） 若v?0，确定小回路内感应电流的方向。 解：（1） B?rIixR?0iR22r3??0iR22x3(x??R)

??BS??0iR22x3??r

2i3?0i?r2vd??0iR22?4dx（2） ?i?? ???r?3x?42dt2dtx?NR2NR(3) Ii与i 同向如图

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练习十四

1. 在通有电流I ＝5 A的长直导线近旁有一导线段a b ，长l ＝20 cm ，离长直导线距离d ＝10 cm（如图）。当它沿平行于长直导线的方向以速度 v ＝10 m/s 平移时，导线段中的感应电动势多大？a、b哪端的电势高？ 解：如图所示

vd?l?ab??d???(v?B)?dr???vBdr??v??7?0I2πrddr???0Iv2πlnd?ldI

abl??4π?10?5?1010?20ln??1.1?10?5V2π10d由于?ab?0，所以a端电势高。

2. 横截面为正方形的一根导线ab，长为l，质量为m ，电阻为R。这根导线沿着两条平行的导电轨道无摩擦地下滑，轨道的电阻可忽略不计。如图所示，另一根与ab导线平行的无电阻的轨道，接在这两个平行轨道的底端，因而ab导线与三条轨道组成一矩形的闭合导电回路。导电轨道所在平面与水平面成?角。整个系统在竖直向上的均匀磁场B中。试证明： （６） 导线a b下滑时，所达到的稳定速度大小为：v?（７） 此结果与能量守恒定律是一致的。 证： （1）

mgRsin? 2(Blcos?)a?i??v?B?dl?vBsin?l?vBlcos?

Ii??B?iR?vBlcos? RbvB2l2cos?f?IilB?

R平衡时：

?AlvB2l2cos2?fcos??mgsin??

RmgRsin??v? 2(Blcos?)(vBlcos?)2 （2） Pe??i?Ii?

R(vBlcos?)2Pmg?mgvsin??vfcos??

RPe?Pmg 与能量守恒定律一致

3. 如图所示，一长直载流导线，旁边有一矩形线圈ABCD，长l1?0.20m，宽l2?0.10m，长边与长直导线平行且两者共面，AD边与导线相距a，线圈共有1000匝。

(1) 若I =5.0 A，线圈以速度v?2.0m?s垂直于长直导线向右运动，求a = 0.10 m时线圈中的感

应电动势；

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(2) 若线圈不动a = 0.10 m，I =10 sin (100 π t ) (单位为A )，

求t时刻线圈中的感应电动势；

(3) 若I =10 sin (100 π t ) (单位为A )，线圈以速度

Al2Bl1vIav?3.0m?s垂直于长直导线向右运动，求a = 0.10 m、 t

时刻线圈中的感应电动势；

解：（1）线圈向右平移时，上下两边不产生动生电动势。

因此，整个线圈内的感应电动势为

?1DC???1??2?N(B1?B2)l1v?Nl1v3?0I11(?) 2?aa?l24π?10?7?5.011?1?10?0.2?2?(?)?2?10?3(V)

2π0.10.1?0.1a?l2?I?Ila?l20?l1dr?01ln（2）???B?dS??

a2πr2πa?i??N?NldIa?l2?0Nl1a?l2d??01?ln??1000?cos(100?t)ln dt2πdta2πa0.10?0.10 0.10?2?10?7?1000?0.20?1000?cos(100?t)ln?0.087cos(100?t)(V)（3）???B?dS??a?l2?0I2πra?l1dr??0Il12πlna?l2 a?i??N?i??d???da??dI??N(???) dt?adt?Idt?10sin(100?t)?(?0Nl12π?Nla?l2a?l2?2)?v?01?1000?cos(100?t)ln a?l2a2πa?6.0?10?3sin(100?t)?0.087cos(100?t)(V)

4. 在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B的均匀磁场。有一长为L的金属棒放在磁场中，如图所示。设磁场在增强，并且势，并指出哪端电势高。

解：连接Oa、Ob，通过?Oba面的磁通量为

dB已知，求棒中的感生电动dt???a???O?R???b???BS d?dB??S??Eidr??ab dtdtdB1dB ?ab?S?LR2?L2/4dt2dtb 端电势高

?l?

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5. 如图所示，一均匀磁场被限制在半径R = 20 cm的无限长圆柱形空间内，磁场以

dB/dt?(4/?)T?s?1的恒定速率增加。问图中线框abcda的感生电流是多少？已知线框的电阻

R?4.0?,???/6,oa?ob?10cm,oc?od?30cm。

解：

c????????i?SdB?2dB?(R?Oa2)dt2dt

1?4???(0.202?0.102)??0.01(V)26??0.01Ii?i??2.5?10?3(A)

R4.0ROb???????B????a方向：逆时针

d6. 一电子在电子感应加速器中半径为1.0 m的轨道作圆周运动，如果电子每转一周动能增加700 eV，计算轨道内磁通量的变化率解：

d?。 dtd???i， e?i??Ek dtd??Ek700eV???700(V) dtee

7. 在半径为R的圆筒内，有方向与轴线平行的均匀磁场B，以1.0?10T?s的速率减小，a、b、c各点离轴线的距离均为r = 5.0 cm，试问 (1)． 电子在各点处可获得多大的加速度？ (2)． 加速度的方向如何？

(3)． 如果电子处在圆筒的轴线上，它的加速度又是多大？ 解： （1）

?????2?1a?????ROEk??

rdB5.0?10???(?1.0?10?2)?2.5?10?4(Vm)2dt2?2?B??c?????bfeEk1.6?10?19?472a?????2.5?10?4.4?10(ms) ?31mm9.1?10（2） 方向：a 点向左，b点向右，c点向上 （3） ar?0?0

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8. 在两根通有反向电流I的平行长直导线的平面内，有一矩形线圈放置如图所示，若导线中电流随时间的变化率为dI/dt?K（大于零的恒量）。试计算线圈中的感生电动势。 解：???2??1?a?d??0I2πra?ldr??b?d?0I2πrb?ldr

IIbad??0Il??ln2π?a?db?d??ln? ab?l?i????ldI?a?dd?b?d??0??ln?ln? dt2πdt?ab?a?db?d??ln? ab??0lK??ln2π?方向如图（逆时针）。

9. 在电子感应加速器中，要保持电子在半径一定的轨道环内运行，轨道环内的磁场B应该等于环围绕的面积中B的平均值B的一半，试证明之。 解：电子沿半径为R的一定轨道运动时，其运动方程为

eE?meat?medv (1) dtv2evB?mean?me (2)

R由(2)式得 eB?mev/R（其中B为环内磁场），而代入(1)式可得

dveR?， dtmedBE? dtR1d?πR2dBRdB??又由于感应电场 E?（B为环围绕的面积内的磁场的平均值）

2?Rdt2πRdt2dt代入上式，即可得

dB1dB? dt2dt由此可得 B?

B 2大学物理下作业 学号 姓名 序号

练习十五

1．一圆环形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4.0cm2，放在另一个匝数等于100匝，半径为20.0cm的圆环形线圈b的中心，两线圈同轴。求： （1）两线圈的互感系数；

（2）当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b内磁通量的变化率； （3）线圈b的感生电动势。

解：（1）线圈b通电流Ib时，由于线圈a的半径较线圈b的半径甚小，所以可近似求得线圈a通过的

磁链为

?ab?Nb?0Ib2RbNaSa

由此得两线圈的互感系数为

?ab?0NaNb4π?10?7?50?100?4.0?10?4 M??Sa??6.3?10?6H

Ib2Rb2?0.2（2）

d?badi1d?ba11??Ma??6.3?10?6?(?50)??3.1?10?6Wb/s dtNbdtNbdt100（3）?ba??M

dia??6.3?10?6?(?50)?3.1?10?4V dt2． 一长直螺线管的导线中通入10.0A的恒定电流时，通过每匝线圈的磁通量是20μWb；当电流以4.0A/s的速率变化时，产生的自感电动势为3.2mV。求此螺线管的自感系数与总匝数。 解： L??/di?3.2?10?3/4.0?0.8?10?3H dt又 L?N?/I

?3所以 N?LI/??0.8?10?10.0/(20?10?6)?400（匝）

3. 一截面为长方形的环式螺绕环，共有N匝，其尺寸如图所示。 （１） 证明：此螺绕环的自感系数为：

??N2hbL?ln

2?a（２） 沿环的轴线拉一根直导线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21，二者是否相等？ 解：（1）设螺绕环通有电流I，

?NINI则有： H?， B?0

2πr2πrb?NI?NIhb???B?dS??0?hdr?0ln

a2πr2πaN??0N2hbL???ln

II2πahba?（2）直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为1。螺绕环通过电流I1时，通过螺绕环截面的磁

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通量也就是通过直导线回路的磁通量。因此

M21??NhR?21?1?0NI1hb??ln/I1?0ln2 I1I12πa2πR1当直导线通有电流I2时，其周围的磁场为

B2??0I2/(2πr)

通过螺绕环截面积的磁通量为

b?12??B2hdr?a?0I2hbdr2π?ar??0I2hbln 2πaM12??12N?12?0Nhb??ln I2I22πa比较这两个结果 M12?M21

4. 一螺绕环，横截面的半径为a ，中心线的半径为R ，R >> a ，其上由表面绝缘的导线均匀地密绕两个线圈，一个匝N1，另一个匝N2。求：

(1) 两线圈的自感L1和L2； (2) 两线圈的互感M ； (3) M与L1和L2的关系。

解：(1) 设I1 ， 则 B1??0n1I1????11?B1??a2??0N1I1??a2 2?R?0N12a2N1?11?0N122 L1????a?I12?R2R?0N22a2N2?22?0N222同理可得：L2? ???a?I22?R2RN1N2?21?0N1N2a22 (2) I1????21??0I1a???M21???M

2RI12R(3) M2?L1L2

5. 一无限长导线通以电流I?I0sin?t，紧靠直导线有一矩形线框，线框与直导线处在同一平面内，如图所示，求：

(1) 直导线和线框的互感系数； (2) 线框中的感应电动势。 解：(1) 设直导线中通有电流 I1 ，则

I?I0sin?tI?21??B?dS??M21?N23a2a2?0I1?Ia?adr?01ln3 2?r2?a?21I1?1??0I1a?aln3?0ln3 2?I12?a23a2(2) ?21??M21?adI1??0ln3?I0?cos?t dt2?大学物理下作业 学号 姓名 序号

练习十六

１． 氢原子中电子在一圆轨道上运动，问这轨道中心处磁场能量密度有多大？玻尔氢原子模型中电

子的轨道半径为5.1?10解：等效电流：I?ef

?11m，频率f等于6.8?105Hz。

B??0I2R??0ef2R

B21?02e2f2?0e2f2wm???222?02?02R8R24??10?7?1.62?10?38?6.82?1010 ?8?5.12?10?22?7.15?10?13(J?m?3)

２． 一长直的铜导线截面半径为5.5mm，通有电流20A。求导线外表面处的电场能量密度和磁场能

量密度各是多少？铜的电阻率为1.69?10??m。 解：外表面处的

-8E?????I/(?R2)，H?I， 2πR8.85?10?12?(1.69?10?8?20)2 ?we?E??5.6?10?17J/m3 22?32222(πR)2?[π?(5.5?10)]?02?0(?I)2wm?

?0H22I24π?10?7?2023 ?()??0.21J/m2?3222πR2?4π?(5.5?10)?0３． 在一个回路中接有三个容量均为30?F的电容器，回路面积为100cm，一个均匀磁场垂直穿过

回路平面，如图所示，若磁场的大小以每秒5特斯拉(5T?s?12）的速率随时间而均匀增加，求每

个电容器上的电量为多少？并标出每个电容器极板的极性。 解： C?C0 3dB?i?S?100?10?4?5?5?10?2(V)

dtq0?q?C?i 30??10?6?5?10?2?5.0?10?7(C)3C0?????????????BC0????C0

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