相似知识点复习以及试题

相似三角形知识点

一、考点分析与例题分析

1、 线段的比

1）比例的合比性质，比例的等比性质

2）线段求比需注意：单位要统一

2、 黄金分割

1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC BC AB AC ，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，

AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB

AC ≈0.618。 2）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

3、 相似多边形

性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。（可与定义互推）

1、如果四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′相似，且∠A=68°，则∠A ′= 。

2、下列说法中正确的是（ ）

A 、所有的矩形都相似

B 、所有的正方形都相似

C 、所有的菱形都相似

D 、所有的等腰梯形都相似

3、已知，ABCDE ∽五边形FGHIJ ，且AB=2cm ，CD=3cm ，DE=2.2cm ，GH=6cm ，HI =5cm ，FJ=4cm ， ∠A=120°，∠H=90°。求:(1)相似比等于多少 (2)求FG,IJ,BC,AE, ∠F, ∠C

4、 相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相

似三角形。如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。相似比为k 。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成

的三角形与原三角形相似。

参照三角形全等的判定方法：

③两角对应相等的两个三角形相似。 A B C D

E

F G H I J

④三边对应成比例的两个三角形相似。

⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

1、下列各组三角形一定相似的是（ ）

A ．两个直角三角形

B ．两个钝角三角形

C ．两个等腰三角形

D ．两个等边三角形

2、如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，写出对应边的比例式。

3、如图，已知△ABC ∽△ADE ，AE =50 cm ，EC =30 cm ，BC =70 cm ，∠BAC =45°，

∠ACB =40°，求：1）∠AED 和∠ADE 的度数；2）DE 的长。

5、 相似多边形的周长比和面积比

关系：若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积

比为k 2。

6、 位似

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图

形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，

而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一

对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。

③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。

练习设计

1、△ABC 与△DEF 相似，且相似比是3

2，则△DEF 与△ABC 与的面积比是（ ） A 、32 B 、23 C 、52 D 、94

2、如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF 。

3、已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD ?AD ，求证：△ADC ∽△CDP 。

4、已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD ?AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．

5、如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在AB 、BC 边上，且AE=CF 、BG ⊥CE 于G 。试证明DG ⊥FG 。

中考热点

1．比例的基本性质

[例1]．已知52a b =，则a b b

-=＿＿＿＿＿。 2．相似图形的性质 [例2]．在△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，AD =1，DB =2，则△ADE 与△ABC 的面积比为____________. 3．相似三角形的判定 [例3]．如图9，D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，请你添加一个条件，使△ADE 与△ABC 相似．你添加的条件是

[例4]．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )

A

B

C D

E

图9

[例5]．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，D 、G 分别在边AB 、AC 上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积.

〖考题训练〗

1．如果a b ＝23 ，那么a a ＋b

＝＿＿＿＿＿。 2．已知：如图2，在△ABC 中，∠A DE ＝∠C ，则下列等式成立的是（ ） A. AD AB ＝AE AC B. AE BC ＝AD BD C. DE BC ＝AE AB D. DE BC ＝AD AB

〖课后作业〗 ①．若a b ＝35 ，则a ＋b b 的值是( ) A 、85 B 、35 C 、32 D 、58

③．如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是 。 ④．如图，D 、E 两点分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件： ，使得△ADE ∽△ABC.

⑤．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，如果AD ＝2，DB ＝4，AE ＝3，那么EC ＝

⑥．在下列命题中，真命题是 （ ）

A 、两个钝角三角形一定相似

B 、两个等腰三角形一定相似

C 、两个直角三角形一定相似

D 、两个等边三角形一定相似

⑦．矩形ABCD 中,M 是BC 边上且与B 、C 不重合的点,点P 是射线AM 上的点,若以A 、P 、D

为顶点的三角形与△A BM 相似,则这样的点有 个.

⑧．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，F 是CD 的中点，一束光线从A 点出发，通过BC 边反射，恰好落在F 点（如图），那么，反射点E 与C 点的距离为＿＿＿＿＿＿。

D A B C H

E G F

A B

D C

E A D B

C D C E F

相似知识总结

知识点一：放缩与相似形

1、图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2、把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴、相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵、相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶、我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

⑷、若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

1.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n

m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如

d c b a = 4、比例外项：在比例d

c b a =（或a ：b ＝c ：

d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d

c b a =（或a ：b ＝c ：

d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d

c b a =（或a ：b ＝c ：

d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为d

b b a =（或a:b ＝b:d 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d

c b a =（或a ：b=c ：

d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

（2）比例性质

1、基本性质:

bc ad d

c b a =?=（两外项的积等于两内项积） 2、反比性质：c

d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3、更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??，

交换内项，交换外项．同时交换内外项

4、合比性质：d

d c b b a d c b a ±=±?=（分子加（减）分母,分母不变） ．

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+--=-?=d

c d

c b a b a c c

d a a b d c b a ． 5、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n

m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)、此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法；(2)、应用等比性质时，要考虑到分母是否为零；(3)、可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

知识点三：黄金分割

1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果

AC BC AB AC =， 即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2

15-=≈0.618AB 。 2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.

作法：①、过点B 作BD ⊥AB ，使AB BD 2

1=； ②、连结AD ，在DA 上截取DE=DB ；

③、在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为： 2

15-==AC BC AB AC （只要求记住）。

3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

知识点四：平行线分线段成比例定理

(一)平行线分线段成比例定理

1、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.

例、 已知1l ∥2l ∥3l ，

可得DF

DE AC AB EF DE BC AB ==或。 2、推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

（1）是“A ”字型

（2）是“8”字型

经常考，关键在 A B D E C F

1

l 2l

3l

图(1)：DE ∥BC 可得：BC

DE AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ====或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 图(2)：DE ∥BC 可得：

AB DA AC EA BC ED ==. 3、推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)

4、定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．

对应成比例. 5、平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。

三角形一边平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

1．平行线分线段成比例定理：

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF AC DF

∴===. 2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.

用符号语言表示：

AD BE CF AB BC DE DF ??=?=?. C E D

B A

重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.

知识点三：相似三角形

1、相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。

4）判定：①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②、三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

直角三角形相似判定定理:

○1、斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：

斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.

射影定理：

CD2=AD·BD，

AC2=AD·AB，

BC2=BD·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

补充二：三角形相似的判定定理推论

推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。

推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。

推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

相似三角形的性质

①、相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②、相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).

③、相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

2、相似的应用：位似

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②、两个位似图形的位似中心只有一个。

③、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④、位似比就是相似比。

2）性质：①、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②、位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。

③、每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。

相似测试1

一、填空题。

1、已知线段a, b, c, d 满足d

c b a =其中a=2cm , b=4cm ,c=5cm,则d= . 2、若==-b

a a

b a 则,73 。 3、边长为12cm 的等边三角形按2:1的比例缩小后的三角形是边长为_____的____三角形.

4、已知△ABC ∽△DEF, AB ＝6 , DE ＝8 , 则＝________.

5、点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 (不与直线AB 重合)截△ABC,使截得 三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线最多________条.

6、电视节目主持人在主持节目时,站在舞台上的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 长为 20m,试计算主持人应走到离A 点至少____________________m 处.(结果精确到0.1m)

7、一个4米高的电线杆的影长是6米,它临近的一个建筑物的影长是36米.则这个建筑的 高度是_________.

8、如图,若DE ∥BC,FD ∥AB,AD ∶AC ＝2∶3 ,AB ＝9,BC ＝6,则四边形BEDF 的周长为 。

:ABC DEF S S ??图2

二、选择题。

1、若果,则下列比例式中不正确的是( )

A. B. C. D. 2、已知:如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( )

A. B. C. D. 3、已知正五边形ABCDE 与正五边形的面积比为1:2，则它们的相似比为（ ）

A. 1:2

B. 2:1

C.

4、如图,两个位似图形△ABO 和△'''O B A ，若OA:＝3:1,则正确的是( )

A.AB:＝3:1

B.:＝AB:

C.OA:=2:1

D.∠A ＝∠

5、在比例尺是1:3800的长沙交通游览图上,长约7cm 的一段路程,它的实际长度约为( )

A.0.266km

B.2.66km

C.26.6km

D.266000km

6、下列判断正确的是( )

A.不全等的三角形一定不是相似三角形

B.不相似的三角形一定不是全等三角形

C.相似三角形一定不是全等三角形

D.全等三角形不一定是相似三角形

7、如图, D 、E 是AB 的三等分点, DF ∥EG ∥BC , 图中三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( )

A.1:2:3

B.1:2:4

C.1:3:5

D.2:3:4

8、在同一时刻的阳光下,小明的影子比小强的影子长,那么在同一路灯下( )

A.小明的影子比小强的影子长

B.小明的影子比小强的影子短

C.小明的影子和小强的影子一样长

D.无法判断谁的影子长 mn ab =a n m b =a m n b =m n a b =m b a n

=AD AE AB

AC =AE AD BC BD =DE AE BC AB =DE AD BC DB

='''''A B C D E 'OA ''A B 'AA 'BB 'AB 'OB 'B

9、把△ABC 的各边都扩大为原来的2倍，得到△,下面结论不正确的是( )

A.、 △ABC ∽△

B 、△AB

C 和△的各边、各角对应相等

C 、△ABC 和△的相似比为1:2

D 、△ABC 和△的相似比为1:3

10、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则图中与△DEF 相似的三角形共有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

三、解答题。

1、如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F.求证: △DEH ～△BCA

2、如图, 平行四边形ABCD 中,点E 是DC 中点, 连AE 并延长与BC 延长线交于点F, 若＝10 , 求四边形ABCE 的面积。

\

'''A B C '''A B C '''A B C '''A B C '''A B C CEF S

四、提高题。

已知如图,平行四边形ABCD 中,AE:EB ＝1:2 .

(1)、求AE:DC 的值.

(2)、△AEF 与△CDF 相似吗?若相似,请说明理由,并求出相似比.

(3)、如果＝6cm 2,求

相似测试2

1、从下面这些三角形中，选出相似的三角形．

AEF S ?CDF S

?

2、已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?．

3、如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?．

4、下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？

（1）所有的直角三角形都相似；（2）所有的等腰三角形都相似；

（3）所有的等腰直角三角形都相似；（4）所有的等边三角形都相似。

5、如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．

6、如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

7、如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为

1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．

8、格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．

9、根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由：

（1）、

,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．

（2）、?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ．

（3）、?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．

10、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

11、 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似

的关系说明AC DC AD ?=2．

12、已知ABC ?的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''?的最大边长为26，求C B A '''?的面积S ．

13、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．

14、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？

15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H 处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）

2，AC＝2，BC边上的高AD＝3．

16 如图，已知△ABC的边AB＝3

（1）求BC的长；

（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．

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