2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第33讲圆锥曲线方程及性

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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第33讲圆锥曲线方程及性质

一．课标要求：

1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。

二．命题走向

本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。

对于本讲内容来讲，预测2013年：

（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题；

（2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．要点精讲

1．椭圆（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）

的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|?|MF2|?2a。

x2y2椭圆的标准方程为：2?2?1（a?b?0）（焦点在x轴上）或

aby2x2?2?1（a?b?0）（焦点在y轴上）。 2ab注：①以上方程中a,b的大小a?b?0，其中c2?a2?b2；

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x2y2y2x2②在2?2?1和2?2?1两个方程中都有a?b?0的条件，要分

ababx2y2清焦点的位置，只要看x和y的分母的大小。例如椭圆??1mn22（m?0，n?0，m?n）当m?n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m?n时表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

x2y2①范围：由标准方程2?2?1知|x|?a，|y|?b，说明椭圆位于直ab线x??a，y??b所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以?y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,?y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以?x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以?x代替x，?y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、

,()?b，在椭圆的标准方程中，令x?0，得y??b，则B10y轴的交点坐标。

B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y?0得x??a，即A1(?a,0)，

A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的

顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

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由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在

Rt?OB2F2中，|OB2|?b，|OF2|?c，|B2F2|?a，且|OF2|2?|B2F2|2?|OB2|2，

即c2?a2?c2；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e?c叫椭圆的离心率。a∵a?c?0，∴0?e?1，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2?y2?a2。

2．双曲线（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|?|PF2||?2a）。

注意：①（*）式中是差的绝对值，在0?2a?|F1F2|条件下；|PF1|?|PF2|?2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a?|F1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a表示两条射线；③当2a?|F1F2|时，

||PF1|?|PF2||?2a不表示任何图形；|F1F2|叫做焦距。④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，

椭圆和双曲线比较：定义方程焦点

椭圆

双曲线

|PF1|?|PF2|?2a(2a?|F1F2|)

x2y2?2?1 2abx2y2?2?1 2ba||PF1|?|PF2||?2a(2a?|F1F2|)

x2y2?2?1 2aby2x2?2?1 2abF(?c,0) F(0,?c) F(?c,0) F(0,?c)

注意：如何有方程确定焦点的位置！

（2）双曲线的性质

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x2y2①范围：从标准方程2?2?1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

abx??a的外侧。即x2?a2，x?a即双曲线在两条直线x??a的外侧。

x2y2②对称性：双曲线2?2?1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双

abx2y2曲线的对称轴，原点是双曲线2?2?1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中

ab心。

x2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2?2?1的方程里，

ab对称轴是x,y轴，所以令y?0得x??a，因此双曲线和x轴有两个交点

x2y2A(?a,0)A2(a,0)，他们是双曲线2?2?1的顶点。 ab令x?0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为x2y2双曲线的渐近线。从图上看，双曲线2?2?1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接

ab近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a?b；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x ；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征a?b，则等轴双曲线可以设为：x?y??(??0) ，

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当??0时交点在x轴，当??0时焦点在y轴上。

x2y2y2x2⑥注意??1与??1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，

169916还有焦点所在的坐标轴也变了。

3．抛物线（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y?2px2?p?0?叫做抛物线的标准方程。

p,0），它的准线方2注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（程是x??p ； 2（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y??2px，x?2py，x??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 222标准方程

l y2?2px(p?0)y2??2px(p?0)x2?2pyx2??2py(p?0)y y (p?0) x y l F x l

x o F o F o 图形

焦

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点坐标

准

线方程

范围

对称性

顶点

离心率

x??p2

x?p2

y??p2

y?p2

x?0

y?0

y轴

(0,0)轴

(0,0)

e?1

e?1 e?1

e?1

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

四．典例解析题型1：椭圆的概念及标准方程

例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是(?4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是(0,?2)、(0,2)，并且椭圆经过点

35(?,)； 22（3）焦点在x轴上，a:b?2:1，c?b；

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（4）焦点在y轴上，a2?b2?5，且过点(?2,0)；（5）焦距为b，a?b?1；

（6）椭圆经过两点(?,)，(3,5)。

x2y2解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为2?2?1（a?b?0），

ab∵2a?10，c?4，∴b?a?c?9，

2223522x2y2所以，椭圆的标准方程为??1。

259y2x2（2）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为2?2?1（a?b?0），

ab由椭圆的定义知， 3535312a?(?)2?(?2)2?(?)2?(?2)2?10?10?210，

222222∴a?10，又∵c?2，∴b?a?c?10?4?6， 222y2x2所以，椭圆的标准方程为??1。 106222（3）∵c?6，∴a?b?c?6，① 又由a:b?2:1代入①得4b2?b2?6， ∴b?2，∴a?8，又∵焦点在x轴上， 22x2y2所以，椭圆的标准方程为??1。

82y2x2（4）设椭圆方程为2?2?1，

ab ∴

22，∴b?2， ?12b22 又∵a?b?5，∴a?3，

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y2x2所以，椭圆的标准方程为??1．

32（5）∵焦距为6，∴c?3，

∴a?b?c?9，又∵a?b?1，∴a?5，b?4，

222x2y2y2x2所以，椭圆的标准方程为??1或??1．

25162516x2y2（6）设椭圆方程为??1（m,n?0），

mn52?32(?)()?2?2?1? 由?m得m?6,n?10， n?35???1?mny2x2所以，椭圆方程为???1． 106点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。

例2．（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是。

（2）椭圆的中心为点E(?1，0)，它的一个焦点为F(?3，0)，相应于焦点F的准线方程为x??7，则这个椭圆的方程是（） 2

2(x?1)22y2??1 Ａ．

213(x?1)2?y2?1 Ｃ．

52(x?1)22y2??1 Ｂ．

213(x?1)2?y2?1 Ｄ．

?b2?4??2y2?a?2b,c?23?x2??a?16???1为所求；解析：（1）已知??222164?a?b?c????F(?23,0)（2）椭圆的中心为点E(?1,0),它的一个焦点为F(?3,0),

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∴ 半焦距c?2，相应于焦点F的准线方程为x??.

72a25(x?1)2222∴ ?，a?5,b?1，则这个椭圆的方程是?y?1，选D。

c25点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以。题型2：椭圆的性质

例3．（1）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）

(A)2 (B)

221 (C) (D) 242x2y2（2）设椭圆2?2=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x

ab轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。 x2y22b2a2解析：（1）不妨设椭圆方程为2?2?1（a?b?0），则有?2且?c?1，据

acab此求出e＝2，选B。 22b21（2）；解析：由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为， a22b2a221c11??c，∴?，∴?，即e=。 ∴acaca22点评：本题重点考查了椭圆的基本性质。例4．（1）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（） A.

3 4 B.

45 5C.

83 5 D.

43 3x2y2?（2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，123那么|PF1|是|PF2|的（）

A.7倍

B.5倍

C.4倍

D.3倍

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a2解析：（1）D；由题意知a=2，b=1，c=3，准线方程为x=±，

c∴椭圆中心到准线距离为

43． 3（2）A；不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±33），即|PF2|=，22|PF1|=

147，因此|PF1|=7|PF2|，故选A。 2点评：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向。

题型3：双曲线的方程

例5．（1）已知焦点F1(5,0),F2(?5,0)，双曲线上的一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程； x2y2（2）求与椭圆??1共焦点且过点(32,2)的双曲线的方程；

255（3）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1,P2坐标分别为

9(3,?42),(,5)，求双曲线的标准方程。 4解析：（1）因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2?2?1(a?0,b?0)， 2ab∵2a?6,2c?10，∴a?3,c?5，∴b?5?3?16。

222x2y2??1；所以所求双曲线的方程为

916x2y2,(25,，0可)以设双曲线的方程为??1的焦点为(25,0)?（2）椭圆

255x2y222??1，则a?b?20。 a2b2又∵过点(32,2)，∴

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x2y2综上得，a?20?210,b?210，所以??1。

20?21021022点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量a,b,c之间的关系。

（3）因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

y2x2?2?1(a?0,b?0)①； 2ab∵点P1,P2在双曲线上，∴点P1,P2的坐标适合方程①。

?(?42)232?2?1?2b9?a将(3,?42),(,5)分别代入方程①中，得方程组：? 924?25()?2?42?1b?a1?1??11?a216将2和2看着整体，解得?， ab?1?1??b292?y2x2?a?16∴?2即双曲线的标准方程为??1。 169??b?9点评：本题只要解得a,b即可得到双曲线的方程，没有必要求出a,b的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例6. 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________. 解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上，且a=3，焦距与

22x2y2??1；虚轴长之比为5:4，即c:b?5:4，解得c?5,b?4，则双曲线的标准方程是 916点评：本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质，数形结合，更为直观简捷。题型4：双曲线的性质

x2y2例7．（1）已知双曲线2?2?1(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°

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的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

y2（2）过双曲线M:x?2?1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条

b2渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )

A.10 B.5 C.

105 D. 32x2y2π

（3）已知双曲线2 － =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为

a23（）

2623A.2 B.3 C. D. 33

x2y2解析：（1）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的

ab直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2a2?b2bb2c，∴ ≥3，离心率e=2?≥4，∴ e≥2，选C。 2aaaay2（2）过双曲线M:x?2?1的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y=x－1, 若l与

b2y2双曲线M的两条渐近线x?2?0分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2), 联立方程组代入

b2消元得(b?1)x?2x?1?0，

222?x?x???121?b2∴ ?，x1+x2=2x1x2，

1?x?x?12?1?b2?1?x???14又|AB|?|BC|,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得?，

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∴ b2=9，双曲线M的离心率e=

c?10，选A。 ax2y22?3π

（3）双曲线2?则?tan?，∴ a2=6，?1(a>2)的两条渐近线的夹角为3 ，

a63a223

双曲线的离心率为，选D。

点评：高考题以离心率为考察点的题目较多，主要实现a,b,c三元素之间的关系。

x2y2例8．（1）P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4

916和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（） A. 6 B.7 C.8 D.9 （2）双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m? A．?2211 B．?4 C．4 D． 442x，

（3）如果双曲线的两个焦点分别为F1(?3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y?那么它的两条准线间的距离是（）

A．63 B．4 C．2 D．1

解析：（1）设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B。

（2）双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为

22x21??y2?1，∴ m=?，选A。

44（3）如果双曲线的两个焦点分别为F1(?3,0)、F2(3,0)，一条渐近线方程为y? 2x，

?a2?b2?9?a2?3a2??2，选C。 ∴ ?b，解得?2，所以它的两条准线间的距离是2?c?2?b?6??a点评：关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。题型5：抛物线方程

例9．（1）)焦点到准线的距离是2；

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（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0，?2)，求它的标准方程。解析：（1）y2=4x，y2=?4x，x2=4y，x2=?4y；

方程是x2=?8y。

点评：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解。题型6：抛物线的性质

x2y2例10．（1）若抛物线y?2px的焦点与椭圆??1的右焦点重合，则p的值为

622（）

A．?2 B．2 C．?4 D．4 （2）抛物线y?8x的准线方程是（） (A) x??2 (B) x??4 (C) y??2 (D) y??4 （3）抛物线y2?4x的焦点坐标为( ) （A）(0,1). （B）(1,0). （C）(0,2). （D）(2,0)

2x2y2解析：（1）椭圆??1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0)，

62则p?4，故选D；

（2）2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A；

（3）（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为应选B。

点评：考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。例11．（1）抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是（） A．

2。

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（2）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。

（3）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）

A.（－∞，0）

B.（－∞，2] C.［0，2］

D.（0，2）

能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是．（要求填写合适条件的序号）解析：（1）设抛物线y??x上一点为(m，－m2)，该点到直线4x?3y?8?0的距离

2|4m?3m2?8|24为，当m=时，取得最小值为，选A；

335（2）答案：②，⑤ 解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤。（3）答案：B y解析：设点Q的坐标为（0，y0）， 4y02由 |PQ|≥|a|，得y0+（－a）2≥a2. 4整理，得：y02（y02+16－8a）≥0， ∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0.

22y0y0即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.

88∴a≤2.选B。

点评：抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。

22五．思维总结

在复习过程中抓住以下几点：

（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.

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并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键；

（2）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算；

（3）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

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