中考总复习30.圆的有关性质 - 图文

华章文化 中考真题分类解析

圆的有关性质

一.选择题

1．(2015?湖南株洲,第6题3分)如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC的大小是 ( ) A．22° B．26° C．32° D．68° 【试题分析】

本题考点为：通过圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形AOC求出∠OBC的度数 答案为：A

AOBC 第6题图2、（2015·湖南省常德市，第6题3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为：

A、50° B、80° C、100° D、130°AO1000 DCB第6题图【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补 答案为D

3, （2015?四川南充,第8题3分）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（ ）

（B）65° （C）70° （D）75° （A）60°

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华章文化 中考真题分类解析 【答案】C

考点：切线的性质、

三角形外角的性质、圆的基本性质.

4．AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，（2015?四川资阳,第8题3分）如图4，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是

考点：动点问题的函数图象．.

分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可． 解答：解：（1）当点P沿O→C运动时， 当点P在点O的位置时，y=90°， 当点P在点C的位置时， ∵OA=OC， ∴y=45°，

∴y由90°逐渐减小到45°；

（2）当点P沿C→D运动时， 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2=45°；

（3）当点P沿D→O运动时， 当点P在点D的位置时，y=45°， 当点P在点0的位置时，y=90°， ∴y由45°逐渐增加到90°． 故选：B．

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华章文化 中考真题分类解析 点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．

（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．

5、（2015?四川自贡,第9题4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD?AB,?CDB?30o，CD?23,则 阴影部分的面积为 （ ） A.2? B.? C.?2? D. 33CAOEDB 考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等. 分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知E是弦CD的中点,B是弧CD的中点；此时解法有三： 解法一，在弓形CBD中，被EB分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB来求；解法二，连接OD,易证△ODE≌△OCE，所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形COD的面积的一半. 略解：

∵AB是⊙O的直径， AB?CD ∴E是弦CD的中点,B是弧CD的中点（垂径定理） ∴在弓形CBD中，被EB分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质) ∴阴影部分的面积之和等于扇形COB的面积.

11∵E是弦CD的中点，CD?23∴CE?CD??23?3 ∵AB?CD ∴?OEC?90o

221∴?COE?60o ,OE?OC . 在Rt△OEC中，根据勾股定理可知：OC2?OE2?CE2

2?1?即OC??OC???2?22??32.

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260o???OC260o???222?.故选D. ???. 解得:OC?2;S扇形COB = 即阴影部分的面积之和为oo333603606. （2015?浙江滨州,第11题3分） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( ) A.

B.

C.

D.

—1

【答案】B 【解析】

试题分析：如图，等腰直角三角形ABC中，⊙D为外接圆，可知D为AB的中点，因此AD=2，AB=2AD=4，根据勾股定理可求得AC=故选B

，根据内切圆可知四边形EFCG是正方形，AF=AD,因此EF=FC=AC－AF=

－2.

考点：三角形的外接圆与内切圆

7,（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）

A．80°

B． 100° C． 60° D． 40°

考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理．.

分析： 根据圆内接四边形的性质求得∠ABC=40°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=80°． 解答： 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=180°=40°﹣140°．

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华章文化 中考真题分类解析 ∴∠AOC=2∠ABC=80°． 故选B．

点评： 此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．

8, （2015?淄博第11题,4分）如图是一块△ABC余料，已知AB=20cm，BC=7cm，AC=15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是（ ）

2 A．πcm B． 2πcm2 C． 4πcm2 D． 8πcm2

考点： 三角形的内切圆与内心．.

分析： 当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：

=21r，利用三角形的面积公式可表示为?BC?AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC

的面积，可得r，求得圆的面积． 解答： 解：如图1所示，

S△ABC=?r?（AB+BC+AC）==21r， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，

设CD=x，

由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2=AB2﹣BD2=400﹣（7+x）2，

2222

在Rt△ACD中，AD=AC﹣x=225﹣x，

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华章文化 中考真题分类解析 ∴400﹣（7+x）2=225﹣x2， 解得：x=9， ∴AD=12， ∴S△ABC=∴21r=42， ∴r=2，

222

该圆的最大面积为：S=πr=π?2=4π（cm），

=×7×12=42，

故选C．

点评： 本题主要考查了三角形的内切圆的相关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答此题的关键．

9 , （2015上海,第6题4分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ） A、AD＝BD； B、OD＝CD； C、∠CAD＝∠CBD； D、∠OCA＝∠OCB． 【答案】B

【解析】因OC⊥AB，由垂径定理，知AD＝BD，若OD＝CD，则对角线互相垂直且平分，所以，OACB为菱形。

10 .（2015湖北荆州第5题3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）

A． 55° 考点： 圆周角定理．

B． 60° C． 65° D． 70°

分析： 连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得． 解答： 解：连接OB， ∵∠ACB=25°，

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华章文化 中考真题分类解析 ∴∠AOB=2×25°=50°， 由OA=OB， ∴∠BAO=∠ABO，

∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°． 故选C．

点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键． 11 . （2015?浙江杭州,第5题3分）圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=( )

A. 20°

B. 30°

C. 70°

D. 110°

【答案】D．

【考点】圆内接四边形的性质.

【分析】∵圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°， ∴根据圆内接四边形互补的性质，得∠C=110°. 故选D．

12. （2015?浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， tan∠OAB=A. 4

B. 2

，则AB的长是( ) C. 8 D. 4

【答案】C.

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考点：切线的性质

定理；锐角三角函数；垂径定理.

13. （2015?浙江宁波，第8题4分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为【 】

A. 15° B. 18° C. 20° D. 28° 【答案】B.

【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理. 【分析】如答图，连接OB，

?所对的圆周角和圆心角， ∵∠A和∠BOC是同圆中同弧BC∴?BOC?2?A.

∵∠A=72°. ，∴∠BOC=144°

∵OB=OC，∴?CBO??BCO.∴?CBO?故选B.

14 . （2015?山东威海，第9 题3分）如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）

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180??144??18?. 2 华章文化 中考真题分类解析

A．68°B． 88° C． 90° D． 112°

考点： 圆周角定理．.

分析： 如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，结合已知条件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解决问题． 解答： 解：如图，∵AB=AC=AD， ∴点B、C、D在以点A为圆心， 以AB的长为半径的圆上； ∵∠CBD=2∠BDC，

∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC， ∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°， ∴∠CAD=88°， 故选B．

点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答．

15.（2015?山东潍坊第10 题3分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（ ）

A．（π﹣4）cm

2

B．（π﹣8

2

）cm

C． （π﹣4

2

）cm D． （π﹣22

）cm

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考点： 垂径定理的应用；扇形面积的计算．.

分析： 作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，由垂径定理可知AC=CB，利用正弦函数求得∠OAC=30°，进而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出AB的值，从而利用S扇形﹣S△AOB求得杯底有水部分的面积． 解答： 解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2，

在RT△AOC中，sin∠OAC=∴∠OAC=30°， ∴∠AOC=120°， AC=∴AB=4

，

﹣×

×2=（π﹣4

2

）cm

=，

=2，

∴杯底有水部分的面积=S扇形﹣S△AOB=故选A．

点评： 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 16．（2015?甘肃兰州,第9题，4分）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧一点，则∠ACB=

A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定

上

【 答 案 】B

【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念

【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；当圆周角www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

华章文化 中考真题分类解析 为直角时，其所对的弦是直径。

【解答过程】∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等

【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结AB，还有可能需要说明AB是直径，或者点P在AB上。 【题目星级】★★

17.（2015?山东东营,第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出①以下四个结论：④若

，则

②若点D是AB的中点，；则AF=

AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；

．其中正确的结论序号是（ ）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④

【答案】C

考点：１.相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质. www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

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18.（2015?山东临沂,第8题3分）如图A，B，C是

上的三个点，若

，则

等于（ ）

(A) 50°. (B) 80°. (C) 100°. 【答案】D 【解析】

(D) 130°. =260°试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°－100°，然后根据同弧所对的圆周角等于它. 所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°故选D

考点：圆周角定理

o19．(2015·深圳，第9题 分)如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20,则∠DBA为（ ）

A、50o B、20o C、60o D、70o 【答案】D

o

【解析】AB为⊙O直径，所以，∠ACB=90，∠DBA＝∠DCA＝70o

20．(2015·,N是弧MB的中点,P南宁，第11题3分)如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）. （A）4 （B）5 （C）6 （D）7

图6

考点：轴对称－最短路线问题；圆周角定理．.

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华章文化 中考真题分类解析 NN′，ON′，ON，分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．

解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON． ∵N关于AB的对称点N′，

∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点， ∵N是弧MB的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°，

∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4，

∴△PMN周长的最小值为4+1=5． 故选B．

点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 21. （2015?四川乐山,第10题3分）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）

为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（ ）

A．8 B．12 C．【答案】C．

D．

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22. （2015?四川凉山州,第10题4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）

A．80° B．100° C．110° D．130° 【答案】D．

考点：圆周角定理．

23. （2015?四川泸州,第8题3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为 A. 65° B. 130° C. 50° D. 100°

AOCB第8题图P

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华章文化 中考真题分类解析 考点：切线的性质．.

分析：由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数． 解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠OAP=∠OBP=90°， 又∵∠AOB=2∠C=130°，

+90°+130°则∠P=360°﹣（90°）=50°． 故选C．

点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．

24. （2015?四川眉山，第11题3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（ ）

A．30°

B． 35° C． 40° D． 45°

考点： 圆周角定理．.

分析： 先根据OA=OC，∠ACO=45°可得出∠OAC=45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．解答： 解：∵OA=OC，∠ACO=45°， ∴∠OAC=45°，

∴∠AOC=180°=90°﹣45°﹣45°， ∴∠B=∠AOC=45°． 故选D．

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华章文化 中考真题分类解析 点评： 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

25．（2015?甘肃武威,第8题3分）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ） A．80°

考点：圆周角定理．

分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．

解答：解：如图，∵∠AOC=160°， ∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°， ∵∠ABC+∠AB′C=180°，

∴∠AB′C=180°=100°﹣∠ABC=180°﹣80°． ∴∠ABC的度数是：80°或100°． 故选D．

B．160°

C．100°

D．

80° 或100°

点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．

二.填空题

1.（2015?福建泉州第17题4分）在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于 3 cm；弦AC所对的弧长等于 2π或4π cm． 解：连接OB和AC交于点D， ∵四边形OABC为菱形，

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华章文化 中考真题分类解析 ∴OA=AB=BC=OC， ∵⊙O半径为3cm， ∴OA=OC=3cm， ∵OA=OB，

∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AOC=120°， ∴

=

=

=2π， =4π，

∴优弧

故答案为3，2π或4π．

2.（2015湖北鄂州第15题3分）

PA切⊙O于点A， AB是⊙O的弦，AB=已知点P是半径为1的⊙O外一点，且PA=1，【答案】1或

.

，连接PB，则PB= ．

考点：1.垂径定理；2.圆的认识；3.切线的性质．

3, （2015上海,第17题4分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上．如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数) www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

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【答案】15 【解析】

4．(2015?江苏南昌,第10题3分)如图，点A, B, C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°则∠ADC的度数为 . ADOB第10题 C, ∴∠BOC=100°, ∴∠BOD=80°, ∴∠ADC=∠B＋∠BOD=30°=110° 答案：解析：∵∠A=50°＋ 80°5．(2015?江苏南京,第15题3分)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= _________ °．

【答案】215．

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考点：圆内接四边形

的性质．

6. （2015?浙江衢州,第14题4分） 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径某天下雨后，水管水面上升了

，则此时排水管水面宽

等于 ▲ .

，水面宽

，

【答案】．

【考点】垂径定理；勾股定理.. 【分析】如答图，连接则

，过点

作.

于点，交

于点

，

∵，∴，即.∴

，∴

.

.

∵下雨后，水管水面上升了∴

7. （2015?四川南充,第16题3分）如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD 中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）

；③S△PDQ＝

；④cos∠ADQ=

．其中正确结论

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【答案】①②④ 【解析】

试题分析：根据切线的性质可得DQ=AD=1，过点Q作QE⊥BC，则△BQE∽△BPC，则，则

，

过点Q作QF⊥AD，则DF=考点：圆的基本性质. ，则cos∠ADQ==.则①②④正确. 8、（2015?四川自贡,第13题4分）已知，AB是⊙O的一条直径 ，延长AB至C点，使AC?3BC,CD与⊙O相切于D点，若CD?3,则劣弧AD的长为 .

DAOBCAODBC 13题考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等. 分析：本题劣弧AD的长关键是求出圆的半径和劣弧AD所对的 13题圆心角的度数.在连接OD后，根据切线的性质易知?ODC?90o,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt△OPC获得解决.

略解：连接半径OD.又∵CD与⊙O相切于D点 ∴OD?CD ∴?ODC?90o

1 ∵AC?3BC AB?2OB ∴OB?BC ∴ OB?OC 又OB?OD

21OD1? ∴?DOC?60o ∴OD?OC ∴在Rt△OPC cos?DOC?2OC2∴?AOD?120o ∴在Rt△OPC根据勾股定理可知：OD2?DC2?OC2 ∵CD?3 www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

华章文化 中考真题分类解析 ∴OD2??3?2??2OD? 解得：OD?1

2120o???OD120o???12???. 故应填 则劣弧AD的长为

3180o180o2? 3

?，?的度数是 ▲ 度 9. （2015?浙江丽水，第13题4分）如图，圆心角∠AOB=20°，将?则CDAB旋转n?得到CD 【答案】20.

【考点】旋转的性质；圆周角定理. 【分析】如答图， ?，∴根据旋转的性质，得CD???∵将?AB. AB旋转n?得到CD∵∠AOB=20°. ，∴∠COD=20°?的度数是20°∴CD. 10. （2015?四川省宜宾市，第14题，3分）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于⌒

点C，点B是CF的中点，弦CF交AB于点F若⊙O的半径为2，则CF= .23 CAOEDBFwww.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

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（2015?浙江省绍兴市，第12题，5分）如图，已知点A（0，1），B（0，－1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于 ▲ 度

考点：垂径定理；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．. 分析：求出OA、AC，通过余弦函数即可得出答案． 解答：解：∵A（0，1），B（0，﹣1）， ∴AB=2，OA=1， ∴AC=2，

在Rt△AOC中，cos∠BAC=∴∠BAC=60°，

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=，

华章文化 中考真题分类解析 故答案为60．

点评：本题考查了垂径定理的应用，关键是求出AC、OA的长．

11．(2015·贵州六盘水，第11题4分)如图6所示，A、B、C三点均在⊙O上， 若∠AOB＝80°，则∠ACB＝ ．

考点：圆周角定理．. 专题：计算题．

分析：直接根据圆周角定理求解． 80°=40°解答：解：∠ACB=∠AOB=×． 故答案为40．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

12．(2015·贵州六盘水，第18题4分)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝ 米．

考点：垂径定理的应用；勾股定理．. 分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可． 解答：解：根据垂径定理，得AD=AB=20米． 设圆的半径是r，根据勾股定理，

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222得R=20+（R﹣10），

解得R=25（米）． 故答案为25．

点评：此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．

13.（2015?江苏泰州,第12题3分）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°. ，则∠BOD等于__________°

. 【答案】150°

考点：1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理.

14.（2015?江苏徐州,第15题3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 4

cm．

考点： 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．. 专题： 计算题．

分析： 连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径． 解答： 解：连接OC，如图所示：

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华章文化 中考真题分类解析 ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=4cm， ∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA=22.5°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE=45°，

∴△COE为等腰直角三角形， ∴OC=

CE=4

cm，

故答案为：4

点评： 此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．

15.（2015?山东东营,第15题4分）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 m．

【答案】0.8

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考点：1.垂径定理；2.勾股定理.

16．（2015?四川甘孜、阿坝，第23题4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 30 度．

考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．. 分析： 根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解． 解答： 解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA， ∴OE=OC，

∴∠OCD=30°，∠AOC=60°， ∴∠ABC=30°． 故答案为：30．

点评： 本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出∠OCE=30°，∠EOC=60°．然后再圆周角定理，从www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

华章文化 中考真题分类解析 而求出∠ABC=30°．

17．（2015?四川广安，第12题3分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 35 度．

考点： 圆周角定理．.

分析： 由A，B，C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 解答： 解：∵∠AOB=70°， ∴∠C=∠AOB=35°． 故答案为：35．

点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

18．（2015?甘肃兰州,第20题，4分）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是____

【 答 案 】30°

【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质 【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的一半， 在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。

【思路点拔】BC=半径，那么BC与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。

【解答过程】分别连结OB和OC，因为BC=OB=OC，所以∠O=60°， 则在⊙O中，∠A=

1∠B=30°. 2www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

华章文化 中考真题分类解析 【题目星级】★★ 三.解答题

1.（2015?山东威海，第22题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．. 专题： 证明题．

分析： （1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；

（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长． 解答： （1）证明：连结AE，如图， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°， ∴AE⊥BC， 而AB=AC， ∴BE=CE；

（2）连结DE，如图， ∵BE=CE=3， ∴BC=6，

∵∠BED=∠BAC， 而∠DBE=∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴

=

，即

=，

∴BA=9，

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华章文化 中考真题分类解析 ∴AC=BA=9．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．

2．（2015?四川资阳,第22题9分）如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE. （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值.

考点：切线的判定；勾股定理；解直角三角形．.

分析：（1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由的等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．（2）作EF⊥CD于F，设EF=x，由∠C=45°，得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=解答：解：（1）连接OD，BD， ∴OD=OB

∴∠ODB=∠OBD． ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°．

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x，AB=BC=2

x，AE=

x，进而就可求得sin∠CAE的值．

华章文化 中考真题分类解析 ∵E为BC的中点， ∴DE=BE， ∴∠EDB=∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD， 即∠EDO=∠EBO．

∵BC是以AB为直径的⊙O的切线， ∴AB⊥BC， ∴∠EBO=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DE是⊙O的切线；

（2）作EF⊥CD于F，设EF=x ∵∠C=45°，

∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形， ∴CF=EF=x， ∴BE=CE=∴AB=BC=2

x， x，

=

．

x，

在RT△ABE中，AE=∴sin∠CAE=

=

点评：本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键．

3、（2015?四川自贡,第24题14分）在△ABC中，AB?AC?5,cos?ABC?3,将△ABC绕点C顺时针旋转，得到5△A1B1C.

⑴.如图①，当点B1在线段BA延长线上时. ①.求证：BB1PCA1；②.求△AB1C的面积；

⑵. 如图②，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

华章文化 中考真题分类解析 是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差.

B1AA1FAB1F1A1

BCBEC①②考点：旋转的特征、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、勾股定理、圆的基本性质等. 分析：

⑴.①.见图①要使BB1PCA1根据本题的条件可以通过这两线所截得内错角?1??2来证得. 如图根据AB?AC可以得出?B??ACB，根据旋转的特征可以得出B1C?BC，所以?1??B ，而?2??ACB(旋转角相等) ，所以 ?1??2. ②. 求△AB1C的面积可以把AB1作为底边，其高在B1A的延长线上，恰好落在等腰三角形腰

11?ABC的AB上；在等

11?ABC和?BBC,根据等腰三角形的性质、三角函数以及勾股定理可以求出AB、BB、CE，而AB?BB?AB，

1△AB1C的面积可以通过AB1?CE求出. 2⑵. 见图②.点C到AB的垂线段最短，过点C作CF?AB于F；点F点F的对应点是F1，若以点C为圆心CF为 根据⑴的CA?AB?5和求出的BC?6，半径画圆交BC于F1,EF1有最小值；当点F为线段AB上的移到端点A时

CA最长，此时其对应点F'移动到A1时CA1也就最长； 如图②，以点C为圆心BC为半径画圆交BC于的延长线

F1',EF1有最大值. EF1有最小值和最大值都可以利用同圆的半径相等在圆的同一条直径上来获得解决（见图②）.

2.略解： ⑴.①.证明：

∵AB?AC,B1C?BC ∴?B??ACB,?1??B

∵?2??ACB(旋转角相等)

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华章文化 中考真题分类解析 ∴?1??2 ∴BB1PCA1

②.过A作AF?BC于F,过C作CE?AB于E ∵AB?AC,AF?BC ∴BF?CF（三线合一） ∵在Rt

3? ,又AB?5 ?AFB中，cos?ABC?BFAB5 ∴BF?3 ∴BC?6 ∴B1C?BC?6 ∴作CE?AB后 BE?B1E（三线合一） ∴B1B?2BE ∵ 在Rt∴BE?BE3? ?AFB中，cos?BEC?BC518 536 522∴BB1?18?24∴CE?6-?=（注：也可以用三角函数求出） ??C 55??∴AB1?3611?5? 5511124132?∴△AB1C的面积为：?? 25525⑵.如图过点C作CF?AB于F,以点C为圆心CF为半径画圆交BC于F1,EF1有最小值.此时在Rt△BFC中，

CF?24. 524 5249?3?； 55 ∴CF1?∴EF1的最小值为CF?CE?如图，以点C为圆心BC为半径画圆交BC于的延长线 F1',EF1有最大值.

此时EF1'?EC?CF1'?3?6?9

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华章文化 中考真题分类解析 ∴线段EF1的最大值与最小值的差9?936?. 55B1AE21A1BF1F1' F①C4, （2015?浙江滨州,第21题9分）如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.

（1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长. 【答案】（1）（2） www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

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（2）

连接OD.

∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD, ∴∠AOD=∠BOD， ∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD=45° 在Rt△ABD中，BD=考点:圆周角定理，解直角三角形，弧长公式 5. （2015?浙江杭州,第19题8分）

如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′?OP=r，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.

2

.

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BOP'图1O图2AP

【答案】解：∵⊙O的半径为4，点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，点B在⊙O上， OA=8， ∴OA??OA?42, OB??OB?42，即OA??8?42, OB??4?42. ∴OA??2, OB??4.∴点B的反演点B′与点B重合. 如答图，设OA交⊙O于点M，连接B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等边三角形. ∵OA??A?M?2，∴B′M⊥OM. ∴在Rt?OB' M中，由勾股定理得A?B??OB?2?OA2?42?22?23. 【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】先根据定义求出OA??2, OB??4，再作辅助线：连接点B′与OA和⊙O的交点M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等边三角形，从而在Rt?OB' M中，由勾股定理求得A′B′的长.

?的中点P作⊙O的直径PG交弦BC6．（2015?广东省,第24题，9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC于点D，连接AG， CP，PB. （1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数； （2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形； （3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.

?的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°. 【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是BCwww.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

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11∵D为OP的中点，∴OD=OP?OB.

22∴cos∠BOD=

OD1?. ∴∠BOD=60°. OB2∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB. ∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°. （2）证明：由（1）知，CD=BD，

∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）. ∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.

∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK. ∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP. 又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK. ∴四边形AGCK是平行四边形.

（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB. ∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD. ∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH. 又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）. ∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥AB.

【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.

【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°. 得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°

（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.

（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥AB.

7. （2015?绵阳第22题，11分）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形． （1）求证：△BOC≌△CDA； （2）若AB=2，求阴影部分的面积．

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考点： 三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．. 专题： 计算题．

分析： （1）由于O是△ABC的内心，也是△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AH=AB=1，OH=然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB进行计算即可． 解答： （1）证明：∵O是△ABC的内心，也是△ABC的外心， ∴△ABC为等边三角形，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC， ∵四边形OADC为平行四边形，

∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA， ∴AD=OB，

在△BOC和△CDA中

， ∴△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图， ∵∠AOB=120°，OA=OB， ∴∠BOH=（180°﹣120°）=30°， ∵OH⊥AB， ∴BH=AH=AB=1， OH=

BH=

，

BH=，OB=2OH=

，

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华章文化 中考真题分类解析 OB=2OH=

，

∴S阴影部分=S扇形AOB﹣S△AOB =

2×﹣×

=．

点评： 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算．

8. （2015?四川省内江市，第27题，12分）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

考点： 圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．. 专题： 综合题．

分析： （1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题； www.sjhzhb.com （编辑部）027-87778916

华章文化 中考真题分类解析 （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题． 解答： 解：（1）连接OC，如图1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，

∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°， ∴∠OCE=90°， ∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，

由题可得CH=h．

在Rt△OHC中，CH=OC?sin∠COH， ∴h=OC?sin60°=∴OC=

=

OC， h， h；

∴AB=2OC=

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，

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则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°． ∵OA=OF=OC，

∴△AOF、△COF是等边三角形， ∴AF=AO=OC=FC， ∴四边形AOCF是菱形， ∴根据对称性可得DF=DO． 过点D作DH⊥OC于H，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC， ∴CD+OD=DH+FD． 根据两点之间线段最短可得：

当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小， 此时FH=OF?sin∠FOH=则OF=4

，AB=2OF=8

OF=6， ．

．

∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8

点评： 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．

9. （2015?浙江省台州市，第22题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC （1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数 （2）求证：∠1=∠2

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10. （2015呼和浩特，24，9分）(9分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC

(1) 求证：PA是⊙O的切线；

BD

⌒(2) 连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为BC的中点，且∠DCF=∠P，求证：PD = FDCD

ED = AD .

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华章文化 中考真题分类解析 考点分析：圆→垂径定理、相切 相似三角形 逻辑推理→逆推 解析：

什么是逆推？就是在做几何证明题时，从要证的结论出发进行推导，即假定结论成立，将该结论作为已知条件进行推理，同时从题目中的已知条件出发推理，向中间过程中的某关键步骤靠拢。

说过，在圆里证明直角有三种方法。方法一，假设该直角成立，且该直角由两个锐角组成，那么就去分别找与这两个角相等或互余的角，看看他们的关系；方法二，与一个直角是同位角或内错角的关系；方法三，用勾股逆定理算出来。

先看第一问，首先你要在草稿纸上精确地把图画一遍，否则卷面的图一会就被你的尝试标花了。做圆的题目，有相切或证相切，马上先将切点或要证的切点连接到圆心；做圆的题目，有过直径的弦，马上把直角三角形画出来，连接了BM和MC。这两步在证相切时经常用到，因为前者需要一个包括两个锐角的直角，而后者能提供两个互余关系的锐角。从本题图上看，标的∠1既是要证直角中的一个锐角，也是Rt△ACM中的一个锐角，很明显，我们找到思路了，继续往下走。 下一步就是要看∠PAC=∠AMC？这个两个角离得还不近，通常做法是，我们继续寻找与这两个角分别相等或有互余关系的角。已知有一个：∠PAC=∠ABC，那么要看∠ABC是否能等于∠AMC？能相等吗？你能看出来吗？为什么？

该第二问了。讲过，一般圆的题目中给出两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积（可能有两条是同一条）。或者给出线段的比值等于线段比值，基本上是相似问题，因为圆周角太容易相等了。如果出现的是乘积形式，就写比值形式，看他们处于那两个三角形中，这个就是解题思路，一般而言，呼市相似题目还没有出到需要倒腾线段或进行线段加减后才能参与相似线段比的运算。 BDFDCD先看哪些线段的比， PD = ED = AD，还有哪些新的已知条件，这些已知条件的加入能推导出什么结论，哪些结论对证明相似有利。

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华章文化 中考真题分类解析 ⌒M为BC的中点，什么意思？垂径定理，还是等弧对着的圆周角相等？不知道，的做法是两个结论都标到图上，然后装在心里，呵呵，不是埋在心底，那太深了，一会提不出来。

等弧对着等角，但好像我们用不上这两个三角形，看看垂径定理。在《考前重点突破》讲过，两个等弦或两个等弧共一点，八成用垂径定理，没错，是八成，就是80%。如果没有从共点出发的直径，你一定给他搞一条，看看会有什么突破方向。本题，直径已经存在，就是AM，垂径定理及其推论，你因该会。在图上早就标了垂足H。你先前已经证得AM⊥AP，根据垂径定理的推论，唾手可得AM⊥BC，则两条直线同时垂直一条直线，则两条直线是平行，常说有平行出内错。在《考前重点突破中》中，如果在几何题中有平行，85%的情况是用内错角，10%的情况用同位角，5%是同旁内角，千万别瞧不起5%这个，有时候你在以算角为主的几何题中还真的不好绕过他。

不管他是∠1和∠3的内错，还是∠PAC和∠BCA的内错，足以使△BDC和△PDA相似，相似的目的只有一个，就BDCDCD是对应边长度比例相同，则有PD = AD。其实这道题目这个结论有点小损，应该把AD写在中间，我想出卷人故意写到最后的，这样会有些小思考，所以你需要更大的视野，尤其在圆的题目中。 你的眼界有多大，世界就有多大！其实我们老百姓都是井底之蛙，只是井口大小不一样而已，但我们只要经营得好，照样是我们的一片天，一片地！——曾刚 哎，又拽文采、哲理了。其实就是想把数学教好，这就是的天，的地，你们的天和地呢？ FDCD∠1=∠2这个条件还没有用上，先看看ED = AD涉及到的线段所在哪些成对的三角形中，如果你看不出来，也没办法，还是有的：重新画图后用红色笔将这个四根线段着重描一描，起码先看出个对顶角吧。 FDCD

好吧，先认为你能看出来，连接AE。不用说如果△ADE和△CDB不相似，你倔死也写不出来ED = AD。已经有对顶角了，再找一对角，我们先看下∠AED和∠CFD，∠CFD不再圆周上，不好倒腾，先弃之！再看∠4和∠2，离得比较远，好在两个角都在圆周上，能倒腾！∠2=∠1，那么∠1等于什么？平行出内错呀，你找不到∠1的同位角和同旁内角，所以∠1=∠3，那么再看∠3是否能与∠4相等，一看，这个两个圆周角共弦，但图上没有连接EC，那我们是否需要把EC连接上呢？不用，这个两个圆周角共证明：(1) 连接MC。

∵AM为⊙O直径 ∴∠ACM=90° ∴∠AMC+∠MAC =90°

。 又∵∠AMC=∠ABC 又

∴∠ABC+∠MAC=90° ∵∠ABC=∠PAC

∴∠PAC+∠MAC=90°

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∴∠PAM=90°,即MA⊥AP ∴AP为⊙O的切线.

AEOFB(2)连接AE.

⌒∵M为BC中点，AM为⊙O的直径 ∴AM⊥BC 又∵AM⊥AP ∴AP∥BC

PDC

M∴△ADP∽△CDB （这里，用的是两条直线被一组平斜线所截，所得对应线段成比例，更为朴素、本质） BDCD

∴PD = AD . ∵AP//BC ∴∠CBE =∠P 又∵∠CBE=∠CAE ∴∠P=∠CAE 又∵∠P=∠DCF ∴∠DCF=∠CAE ∵∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△CDF FDCD∴ED = AD .

BDFDCD

综上，可证得：PD = ED = AD.

11．（2015?广东广州,第23题12分）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°

（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．

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考点：作图—复杂作图；圆周角定理．

分析：（1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙O于点D，则线段BD为△ABC的角平分线；

∠ABC=90°∠ACB=30°（2）连接OD，设⊙O的半径为r，证得△ABE∽△DCE，在Rt△ACB中，，，得到AB=AC=r，推出△ADC是等腰直角三角形，在Rt△ODC中，求得DC=解答：（1）如图所示；

（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r， ∵∠BAE=∠CDE， ∠AEB=∠DEC， ∴△ABE∽△DCE，

在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∴AB=AC=r， ∵∠ABD=∠ACD=45°， ∵OD=OC，

∴∠ABD=∠ACD=45°， ∴∠DOC=90°， 在Rt△ODC中，DC=

=

r，

=r，于是问题可得．

∴===．

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点评：本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．

12．（2015?广东佛山,第23题8分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F． （1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC； （2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；

（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

考点： 圆内接四边形的性质；圆周角定理． 分析： （1）根据外角的性质即可得到结论；

（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；

（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可． 解答： 解：（1）∠E=∠F， ∵∠DCE=∠BCF，

∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF， ∴∠ADC=∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC=∠ABC， ∵∠EDC=∠ABC， ∴∠EDC=∠ADC， ∴∠ADC=90°，

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华章文化 中考真题分类解析 ∴∠A=90°=48°﹣42°；

（3）连结EF，如图，

∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠ECD=∠A， ∵∠ECD=∠1+∠2， ∴∠A=∠1+∠2，

∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°， ∴2∠A+α+β=180°， ∴∠A=90°﹣

．

点评： 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

13. （2015山东省德州市，23，10分） (1)问题

. 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°BC=AP·BP. 求证：AD·(2)探究

如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用

请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.

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【答案】（1）见解析；（2）t的值为1秒或5秒.

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考点：相似三角形的判定及性质；切线的性质及判定；圆的有关性质

14. （2015山东省德州市，21，10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点. ∠APC=∠CPB=60°. (1)判断△ABC的形状： ；

(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.

【答案】（1）等边三角形；（2）（2）PA+PB=PC.（3）

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理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，

考点：圆周角定理；圆的有关性质；全等三角形的判定

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