车 灯 线 光 源 的 计 算

2002年全国大学生数学建模竞赛

（封面）

选择题号：

普通组 A B C √ 大专组 D （根据所选竞赛题目在方框内打√）

学校名称 温 州 大 学

学生名称 黄 凤 鸣 、 苏 仁 杰 、 杨 贤 静

指导教师 徐 徐

全国大学生数学建模竞赛浙江赛区组委会

二○○二年九月

编号：

车 灯 线 光 源 的 计 算

摘 要： 本文针对车灯线光源的有关问题作了详尽、仔细、深入的分析。在问题一中借助光学原理将光功率之比转化为空间角之比，近而转化为所对应的球冠面积之比，利用了一重微积分求得线光源的直射光功率与反射光功率之比。在问题二中，利用立体几何和空间解析几何两种方法分别论证了线光源上点光源在测试屏上形成一系列等圆。该证明过程严谨，结论吻合。在问题三中，构造了两个模型，模型一给出了反射光亮区上点的隐式解析表达式。理论上证明算法的可行性。模型二利用光学原理与向量解析几何的概念，构造了测试屏上反射光亮区上点的显式解析表达式，使解析式简化，从而可利用Matlab进行计算机仿真模拟，最终得到反射光在测试屏上的亮区。

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一、问题的提出：

汽车头部的车灯的形状可近似为旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置长度为4毫米的线光源，线光源均匀分布。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直。

现按照上述的情况，需解决以下问题 问题一：求直射光总功率与反射光总功率之比

问题二：在有标尺的坐标系中画出测试屏上直射光的亮区 问题三：在有标尺的坐标系中，只考虑一次反射的情况下，画出测试屏上反射光的亮区

二、问题的分析：

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图

图B

A

根据上述问题，为了方便对模型的阐述，按所给的数据，用Matlab软件预先模拟出其三维图如图A，又为便于模型的直观分析，在不影响结果的前提下，经过一定的纵横比放缩将其转换为易于观察的立体图B。

（凡后文所涉及的例图均采取类似的方法，即深度比实际图形有所拉长）

由于线光源均匀分布，故可以视之为点光源的集合，该集合为空间的一条线段上的点，从而问题可以分解集合I的逐点对照射面的光强的积分效果。

再分析直射光与反射光，这里由于抛物面深度远小于开口直径，而光源I又集中于焦点附近。因此，抛物面任一的反射均可以为只须一次反射即进入测试屏。进一步，从光源I至开口面出射的光线可以认为是直射至测试屏上的光而从光源I至出射抛物面可以认为是只须一次反射即测试屏上的光线。

以下，我们用空间解析几何方法逐点进行分析解决各问题。

在本文后面问题解决过程中有模型建立和解决方案的详细分析。

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三、问题的假设：

1、 测试屏足够大且能出现所有光线的亮区。

2、 不考虑光的衍射、吸收、折射、散射对光功率的影响，而认为光在旋转抛物面的反射为全反射。

3、 线光源上的任意点光源各向同性，即其各方向的发射都是均匀的。 四、模型的建立与求解： 问题一、

根据车灯的形状为旋转抛物面，以旋转抛物面的顶点为原点O，以旋转抛物面的对称轴为Z轴，建立如下图1所示的空间直角坐标：

根据空间解析几何中的有关知识，抛物线

?x2?2pz??y?0绕z轴

旋转所得的抛物面方程为

x2?y2?2pz

，由于旋转抛物面的

2焦点处于(0,0,p),取

上的一点代入抛物面方程即可求

得p，我们取点（0，21.6，36）可得：p=30，则焦点F的坐标为（0，0，15）。

故本题中的旋转抛物曲面方程为

图1

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?x2?y2?60z ?z?21.6?显然，与z轴垂直的抛物面开口方程为

?x2?y2?60z。 ??z?21.6根据光功率的概念，若空间有指定的面积的截面，光功率即为每秒射到该面积的光能，其单位是W（瓦）。我们先考虑本题情况下若为点光源时的直射光功率与反射光功率之比，再通过一定积分求得线光源的直射光总功率与反射光总功率之比。经过焦点长度为4毫米的线段上的任意点C的坐标为（0，L，15）。以这一点为圆心，作一单位球。在旋转抛物面开口处任取一点，为计算方便，取A(0,-36,21.6)，与其对称的点B(0,36,21.6)，空间图如图2所示，平面图如图3所示：

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图

图3

由于点光源在等距离处直射光与反射光发光强度相同 ，光功率之比即为 AC与BC所围的空间角?与其补角之比，从而转化为单位球上两部分球冠的面积之比。由上图可得：

AC2?BC2?AB2cos??2?AF?BF2

其中

AC2=(L+36)2+6.62

BC2=(L-36)2+6.62 AB2=722 故cos??(L?36)2?6.62?(L?36)2?6.62?7222?(L?36)?6.6?(L?36)?6.62222

h球冠的高度

?2??1?(1?cos)

2?(1?cos)?1

2? s球冠的面积

?我们利用微积分思想，从(0,?2,15)到(0,2,15)的点光源的直射光功率之即为线光源的直射光总功率，线光源的反射光总功率即为线光源光总功率与直射光总功率之差。

线光源直射光总功率?线光源反射光总功率（1?cos)dL??22??22??2?24?dL??2??（1?cos)dL?22- 7 -

2?

利用半角公式

cos?2?1?cos?2 将cos?代入积分公式。

上述关于变量L的积分可利用数学软件matlab来求解（详细程序见附录1）： 由上述程序可解得

问题二、 I. 证明部分：

（1）用空间几何方法证明测试屏上的投影为圆心在同一直线上移动的一系列等圆的包络。

线光源直射光总功率线光源反射光总功率=

6.556??0.6942

16??6.556?

图4

如图4所示并有定理：在旋转抛物面内部，经过焦点且与对称轴相垂直的水平方向的线光源上的任一点，在测试屏上的亮区是一个圆，且各个圆的半径相等。

证明：取线光源上的任意两点M，N分别做如图所示的两个三角形（MN//pq）。

由于圆O（即旋转抛物面的开口）和测试屏面同垂直于车

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灯的对称轴，故测试屏和圆O必定平行。所以推出pq平行于测试屏面，过pq作截面MA1B1则得pq//A1B1。 得

pOMO?A1O1MO1MOOq?MO1O1B1 ………… ① ………… ②

pOOq ?A1O1O1B1由①、②可得又 ?pO?Oq

?A1O1?O1B1

………… ③

即?MA1B1的底边A1B1为圆O1的直径。

根据规则图形的对称性，M点所发出的光线都能找到两条光线组成一个三角形，并和?MA1B1相等，所以M点在测试屏上形成半径为R1的圆的像。

证明：在旋转抛物面缺口圆O上任取一点C，C1点则为C在测试屏上的像，由光的直线传播原理得点M、C、C1在同一直线上。 由上题可知

MOOp?MO1A1O1?MOC ∽ ?MO1C1

COMO??

C1O1MO1

?

COOp?C1O1A1O1最后得

又 ?CO?PO

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