泰勒公式的几种证明及应用

泰勒公式的几种证明及应用

摘要：泰勒公式是高等数学中的重要公式，它在理论上和使用上都有很重要的作用.本文将运用分析法或数学归纳法对带有佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项这三种带有不同型余项的泰勒公式进行简单易懂的证明，从而能更好地理解泰勒公式的内容及性质.在深刻理解的基础上，对泰勒公式在高等数学中有关近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题、证明等式或不等式和关于界的估计等方面的应用给予一定的介绍，然后分别给出例题.

关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 积分型余项 应用

Several Proofs and Applications of Taylor Formula

Abstract: Taylor formula is an important formula in higher mathematics, it plays a very important role in

theoretical and methodological. In order to better understand the content and nature of Taylor formula, this article will use the method of analysis or mathematical induction to prove three different kinds of Taylor formula with remainder terms: Peano remainder term, Lagrange remainder term, and Integral remainder term. On the basis of deep understanding, then the article gives some introductions about the applications of Taylor formula in these aspects: approximate calculation and error estimation, work out limit, research problem of function’s extreme value, the proving of equality or inequality, and about boundary estimate, also supported by examples.

Keywords: Taylor formula; Peano remainder term; Lagrange remainder term; Integral remainder term;

application

1. 引言

大家都知道，多项式函数是各类函数中结构较简单、计算较方便的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.可以看到用f(x)?f?(x0)(x?x0)这个(x?x0)的一次多项式近似代替f(x)且求其在x0附近的函数值是很方便的，但是

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它的精确度往往并不能满足我们的实际需求，这就要求我们能够找到一个关于

(x?x0)的n次多项式.由此，著名数学家泰勒在1912年7月给其老师梅钦的信中提出了著名的定理——泰勒定理，用泰勒公式可以很好地解决用多项式近似代替某些较复杂函数这类复杂的问题.

2.泰勒公式的证明

泰勒公式有几种不同的形式，在这里我们将对三种带有不同型余项的泰勒公式给予逻辑严谨、简单易懂的证明. 2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式

定理1[1] 若函数f在点xo存在直至n阶导数，则有

f???x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??o?x?x0???

2!n!n??证：设

f???x0?f???x0?2n（1） Tn?f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?

2!n!nRn?f?x??Tn?x? 现在只要证 limQn(x)??x?x0?

nRn?x??0

x?x0Q?x?nn由关系式（1）可知Rn?x0??Rn??x0????Rn???x0??0 n?1并易知Qn?x0??Qn??x0????Qn???x0??0, Qn?n??x0??n!

因为f?n??x0?存在，所以在点xo的某邻域U?x0?内f存在n?1阶导函数.于是，当

x?U??x0?且x?x0时，允许接连使用洛必达法则n?1次，得

n?1Rn?x?Rn??x?Rn???x?到 lim ?lim???lim?n?1?x?x0Q?x?x?x0x?x0Q?x?Qn??x?nnf?n?1??x??f?n?1??x0??f?n??x0??x?x0? ?lim

x?x0n?n?1??2?x?x0? 2

?f?n?1??x??f?n?1??x0??1?n??f?x0???0 ?lim?x?x0n!x?x0????所以有

f???x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??o?x?x0?

2!n!n??则此式得证.

2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式

定理2[2] 设函数f在某个包含x0的开区间(a,b)中有1到n+1阶的各阶导数，则

?x??a,b?，有

f???x0?f???x0?2nf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?

2!n!nf?n?1????n?1 ? ?x?x0? （2）

?n?1?!其中?是介于x0与x之间的某个点，当x0固定之后，?只与x有关. 证：(2)式可以改写成

nf???x?xn?1?f???x0?f???x0?2n?? ?f?x???f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??0??n?1?!2!n!?????n?1?或者

Rn?x??x?x0?n?1f(n?1)????. （3） ?n?1?!为了证明（3）式，我们对于（3）式左端连续运用柯西中值定理（已推出

nRn?x0??Rn??x0????Rn???x0??0）：

Rn?x??x?x0?n?1?Rn?x??R?x0??x?x0?n?1????1?Rn?n?1???1?x0??n

????1??Rn??x0?Rn????2?Rnn?n?1???2?x0???

n?1?n?1???1?x0?n

?????2??Rn???x0?Rnn?n?1???2?x0?n?1 3

Rn?n???n? ?2?3?n?n?1???n?x0?Rn?n???n??Rn?n??x0?? 2?3?n?n?1???n?x0?

Rn?n?1???? ? （4）

?n?1?!在此推导过程中，?，?1是介于x0与x之间的某个点；?2是介于x0与?1之间的某个点，

?是介于x0与?n之间的点.因而，?介于x0与x之间. 又注意到 Rn?n?1?????f?n?1???? ，

所以（4）式就可以得到（3）式 ，进而推出（2）式. 即定理得证.

在这里定理1和定理2我们都是用分析法来证明的，实际上，我们还可以用递推法或数学归纳法来进行证明，下面的定理3我们就是用数学归纳法来证明的. 2.3带有积分型余项的泰勒公式

定理3[3] 设函数f?x?在点x0的某邻域U?x0?内有n+1阶连续导函数，则

f???x0?f???x0?2nf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?2!n!n?1x?n?1?nftx?tdt ，t?[x0,x]. （5） ?????x0n!证：从已知条件可知f,f?,?,f?n?1?在[x0,x]上是连续的.

那么我们有f?x??f?x0???f??t?dt （6）

x0x在（6）中令u?f??t?,v??(x?t) 则du?f???t?dt,dv?dt.利用分部积分公式 我们就有?f??t?dt?uv|??vdu??f??t??x?t?|??x0xx0x0xx0xxxx0 ?x?t?f???t?dt （7）

xx0结合（6）式和（7）式得到f?x??f?x0??f??x0??x?x0????x?t?f???t?dt

这就是n?1时的情形，符合公式（5）.我们同理可容易看出n?2时也成立. 假设n?1（此时指的是n?2的情形）时仍然可以得到（5）式是成立的， 即是有

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f???x0?f?n?1??x0?2n f?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0?

2!?n?1?!?x1n?1?n? x?tf???t?dt （8）?x0?n?1?!在（8）式中令u?f?n??x?t?dt(x?t)n?n?1?du?ftdt,dv?t,v?? 则. ????n!?n?1?!nxn?1利用推广分部积分公式我们就有

?x?t??x?n?1?!x0n?1f?n??t?dt??f?n??t??x?t?n!??x0x?x?t?n!nx0f?n?1??t?dt

?f?n??x0??x?x0?n!n??x?x?t?n!nx0f?n?1?（9） ?t?dt

将（9）式代入（8）式得到（5）式，即在n的情形下（5）式仍然成立. 故证得此泰勒公式成立.

定理3运用分部积分法的推广公式结合数学归纳法来证明的，但实际上定理3也是可以用分析法来证明的.

经过三个定理的证明我们可以清楚地看到这几种带不同型余项的泰勒公式是可以相互转化的，例如：在定理3中存在??(x0,x)有由推广的积分第一中值定理得到

1x?n?1?1n???x?t?dt=R(x)??ff(n?1)(?)(x?x0)n?1.这就转化成了定理2中的余?n!x0(n?1)!项形式，这就是说带有积分型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式是可以相互转化的，经过实际演算我们还可以很容易地得到其它几种型余项的泰勒公式之间的相互转化.那么也可以说只需要知道其中一种余项的泰勒公式的证明，我们就可以轻松证明出其它型余项的泰勒公式，当然这其中也包括很重要的带有柯西型余项的泰勒公式.

3.泰勒公式的应用

泰勒公式是解决高等数学问题的很重要的工具，但是很多同学仅仅对泰勒公式的展开式比较熟悉，而对泰勒公式的其它应用方法没有深入的了解.实际上，泰勒公式

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在近似计算及误差估计、求极限、研究函数的极值问题等问题的解决过程中也有很重要的应用.下面举几个例子进行阐述. 3.1近似计算及误差估计

例1：应用泰勒公式求330的近似值，并估计误差范围. 解：因为330?327?3，且27?33，所以可以设f(x)?3x， 先求x0?27处f(x)的三阶泰勒公式：

58??1?2210x3 . 因 f??x??x3，f???x???x3，f????x??9273所以得f(27)?3 ， f?(27)?及 f3(4)1210?????f(27)??f(27)? ， ， 371133380?11(x)??4x3 ，故

3x?3?1152(x?27)?(x?27)?(x?27)3?3712333804!?34[27??(x?27)]113(x?27)4.

其中???0,1?， 又x?30， 于是

|R3|??804!?34[27??(x?27)]113(30?27)4

80104?5?3??1.88?10 411124!?3?33115330?3?2?5?9

333 ?3?0.111111?0.004115?0.000254 ?3.10725

计算时，分数化小数取六位小数，合起来误差不超过0.3?10?5,再加上余项误差，总误差不超过2.2?10?5.

用多项式逼近函数进行近似计算是泰勒公式的重要应用，且应用高阶导数可以进一步精确地求出近似值，减小误差.本题用已知函数的泰勒公式的值（其项数可根据实际需要取），作为已知函数的近似值，用来进行近似计算，且用泰勒公式的余项来估计所产生的误差.一般如果对我们已经确定的n，我们先令|f(n?1)(x)|?M，则有估

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f(n?1)(?)M计误差|Rn|?(x?x0)n?1?x?x0(n?1)!(n?1)!3.2求极限

n?1.

11?x2?1?x22例2：求 lim 的极限值.

x22x?0cosx?esinx??解： 在这里由于sinx2~x2，把其它各项分别展开成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，则有1?x2?1?121411x?x?o(x4)，那么分子变为1?x2?1?x2?x4?o(x4)， 2828分子式n?4,则分母中可以将括号里展开成n?2的情形，即有

212x?o(x3) ， ex?1?x2?o(x2) ， 223则有 cosx?ex??x2?o(x2)，所以此求极限的式子可以简化为

2cosx?1?141x?o(x4)1?x2?1?x2182. lim?lim??x22x?0x?0?312?222(cosx?e)sinx?x?o(x)x???2?故所求极限值是?1. 120对于求型的极限问题，常可以用洛必达法则，但对于像此例这种要连求几次导

0数，运算非常麻烦的情形我们可以考虑用带有佩亚诺型余项的泰勒公式加以解决.由此例可以看出泰勒公式是进行无穷小量分析比较的一个非常精细的工具.

0有些求极限的问题并非型的，我们仍然需要用到泰勒公式去求极限，如下例：

0??1??例3：求lim?x?x2ln?1??? 的极限值.

x???x????1?11?1??1?解：因为ln?1???????o?2?，(x??)，

?x?x2?x??x???1??所以得到lim?x?x2ln?1???x???x?????1??o?2??1?1x?lim?????? x??21?2??x2???2 7

得到极限值是

1. 23.3研究函数的极值问题

在研究函数的极值问题时我们往往也可以应用泰勒公式达到化整为零、快速解题的效果.

例4：设f在x0的某邻域内存在直到n?1阶导数，在x0处n阶可导，且f(k)(x0)?0

(k?1,2,?,n?1)，f(n)(x0)?0，证明:若n为偶数，则x0是f(x)的极值点；若n为奇

数，则f(x)在x0处不取极值.

证:由定理1我们知道f在点x0处的n阶泰勒公式即为

f???x0?f???x0?2nnf?x??f?x0??f??x0??x?x0???x?x0?????x?x0??o?x?x0???

2!n!n??又由题目条件可以看到f?(x0)?f??(x0)???f(n?1)(x0)?0，则上式可以简化成

f(x)?f(x0)?1(n)f(x0)(x?x0)n?o((x?x0)n)，因此有n!?1? f(x)?f(x0)??f(n)(x0)?o(1)?(x?x0)n （10）

n!??又因为f(n)?0，故存在正数????， 当x?U(x0;??)时，

1(n)1f(x0)与fn!n!(n)(x0)?o(1)同号.所以，

若n为偶数，则当f(n)(x0)?0时（10）式取负号，从而对任意x?U(x0;??)有

f(x)?f(x0)，则此时f在x0处取得极大值；同理f(n)(x0)?0时f在x0处取得极小值. 故若n为偶数，x0是f(x)的极值点.

若n为奇数，则任取x1?(x0,x0???)，且(x1?x0)n?0，x2?(x0???,x0)，(x2?x0)n?0 当f(n)(x0)?0时，有f(x1)?f(x0)?f(x2) ，在x0处取不到极值；同理当f(n)(x0)?0时也在x0处取不到极值.故若n为奇数，f(x)在x0处不取极值.

题目中提到了几阶导数的问题，而我们有时感觉到无从下手，此时我们就应该想到应用泰勒公式，常常能达到意料不到的效果，事半功倍. 3.4证明等式或不等式

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证明等式或不等式的方法有很多种，但是在含有一阶以上的导数时一般可运用泰勒公式进行证明.

3.4.1证明等式问题

例5：证明：若f?x?在[a,b]上有n阶导数存在，且

f?a??f?b??f??b??f???b????f?n?1??b??0，则在(a,b)内至少存在一点?，使得f?n?????0.

证：由于f?x?在[a,b]上有n阶导数，故可在x?b处展成n?1阶泰勒公式

????fbf????1?x?bn. f??(b)n?1f(x)?f(b)?f?(b)(x?b)?(x?b)2????x?b????2!(n?1)!n!n?1n其中?1在x与b之间.

又因为f?b??f??b??f???b????f?n?1??b??0,故由上式可得

1?n?nf??1??x?b?. n!1nn当x?a时，有f?a??f??????a?b?,?a???b?.

n!f?x??又f?a??0,?a?b??0,故知在?a,b?内必有一点?,使得f?n?(?)?0.

n3.4.2证明不等式问题

例6：证明：若函数f?x?在[a,b]上存在二阶导数，且f??a??f??b??0，则在?a,b?内存在一点c，使|f???c?|?4?b?a?2|f?b??f?a?|.

?a?b?证：将f??分别在点a和点b展成泰勒公式，并注意f??a??f??b??0，

?2?有

2f????1??b?a?a?b?a?b?; f??fa?,a?????1???2!?2?2?2?2f????2??b?a?a?b?a?b?f???2?b. ??f?b????,22!22????令 |f???c?|?max{|f????1?|,|f????2?|}.

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?a?b??a?b?则 |f?b??f?a?|?f?b??f??f????f?a?

?2??2?22f????2??b?a?f????1??b?a? ??????

2?2?2?2??1??b?a? ???|f????2?|?|f????1?|?? ?2?4 ?|f???c?即|f???c?|?2?b?a?|42

4?b?a?2|f?b??f?a?|.

由例4、例5可以看出用泰勒公式证明问题这类题目中往往涉及函数的高阶导数.应用的关键在于如何选择要展开的函数，在哪一点展开，以及展开的次数（一般比最高阶导数低一阶）等，这些都要根据题设的条件进行具体问题具体分析. 3.5关于界的估计

泰勒公式在有关界的估计方面的应用也是非常巧妙的.

例7：设函数f在(??,??)上有三阶导数，如果f(x)与f???(x)有界，试证f?(x)与f??(x)也有界.

证： 设 |f?x?|?M0, |f????x?|?M3,(???x???)， 其中M0,M3都是常数.

将f在任意一点x处展开成带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式 即有

11f???x??f??????,26

11f?x?1??f?x???f??x??f???x??f??????,26f?x?1??f?x??f??x??其中???x,x?1?,???x?1,x?.

以上两式加减分别得到 f?x?1??f?x?1??2f?x?

1 ?f???x??[f???????f??????],

6

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