线性代数第二章矩阵及其运算(续)

第2.5节 2.5节 矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵的初等变换 初等矩阵

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1. 矩阵的初等变换 一.引例 二.定义初等变换 三.定义等价变换行阶梯形矩阵 本节主要概念： 初等变换

四.行阶梯形矩阵标准形 等价

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求解线性方程组

一.引例

2x1 x2 x3 + x4 = 2 x + x 2x + x = 4 1 2 3 4 L (1) L 4x1 6x2 + 2x3 2x4 = 4 3x1 + 6x2 9x3 + 7x4 = 9

x1 + x2 2x3 + x4 = 4 L1 1 2 L2 2x1 x2 x3 + x4 = 2 解 (1) → L (B) L 1 L3 3 ÷2 2x 3x2 + x3 x4 = 2 1 3x + 6x 9x + 7x = 9L 4 2 3 4 12 3 3 2 1 4 3 1

→

x1 + x2 2x3 + x4 = 4 L1 2x2 2x3 + 2x4 = 0 L 2 L (B2) L 5x2 + 5x3 3x4 = 6L 3 天津商学院 2002/3 3x2 3x3 + 4x4 = 3L 4

2 3 3 2 1

4 3 1

→

接上页 x1 + x2 2x3 + x4 = 4 L1 2x2 2x3 + 2x4 = 0 L 2 L (B2) L 5x2 + 5x3 3x4 = 6L 3 3x2 3x3 + 4x4 = 3L 4

3 +5 2 4 3 2

→

2 ×

1 2

x1 + x2 2x3 + x4 = 4L 1 x2 x3 + x4 = 0L 2 L ( 3 L B) 2x4 = 6L 3 x4 = 3L 4 x1 + x2 2x3 + x4 = 4L 1 x2 x3 + x4 = 0L 2 L ( 4) L B x4 = 3L 3 0=0 L 4 2002/3 天津商学院

3 4

4 2 3

→

3 4

4 2 3

→

x1 + x2 2x3 + x4 = 4L 1 x2 x3 + x4 = 0L 2 LL B4) ( x4 = 3L 3 0=0 L 4

接上页

x1 = x3 + 4 回代并求解得 x2 = x3 + 3, (其中x3可以任意取值) x = 3 4若令x3 = c(c为任意常数),则方程组的解可以记作 x1 c + 4 x2 c + 3 X = = , x c 3 x 3 4 2002/3

1 4 1 3 即X = c + . 1 0 0 3 天津商学院

返回5

定义2.5.1 初等变换在上述消元过程中用到 三种变换： 在上述消元过程中用到 (1)交换方程次序； 三种变换均可逆，所以 (2)以不等于0的常数 变换前后的方程是同解 乘以某一个方程； 的，从而可以求得方程 (3)一个方程加上另 组的全部解. 一个方程的k倍. 这三种变换是方程组 的同解变换. 思考：上述过程中各个 未知量参与计算吗？ 一.初等行变换– 1.对调两行；

记作(ri rj )

– 2.以非零数k乘某行的 所有元素； 记作(r × k)i

– 3.把某一行的所有元 素的k倍加到另一行 对应的元素上去.

记作(ri + krj )2002/3 天津商学院 6

定义2.5.1 初等变换说明： 1. 将上述定义中的“行”改为“列” 即为初等列变换的定义. 一.初等行变换 2. 矩阵的初等行变换和初等列变换 – 1.对调两行；

统称初等变换. 记作(ri rj ) 3.初等变换均可逆，其逆变换均为 初等矩阵。即 – 2.以非零数k乘某行的 所有元素； 记作(r × k)

(ri rj )逆变换为(ri rj )

i

1 (ri × k)逆变换为 ri × k

(ri + krj )逆变换为ri + ( k )rj .

– 3.把某一行的所有元 素的k倍加到另一行 对应的元素上去.

记作(ri + krj )天津商学院 7

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其逆变换各是什么？

例题(ri rj )

1 2 3 r r 0 0 6 1 3 A = 0 4 5 ~ 0 4 5 0 0 6 1 2 3 1 2 3 r ×2 1 2 3 1 A = 0 4 5 ~ 0 8 10 0 0 6 0 0 6

(ri × k)

(ri + krj )

1 2 3 r1 +( 1 )r3 1 2 0 2 A = 0 4 5 ~ 0 4 5 0 0 6 0 0 6 2002/3 天津商学院 8

定义2.5.2 等价矩阵 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵A、B等价. 矩阵等价关系满足以下性质：– 1.反身性，A→A; – 2.对称性，若A→B则B→A; – 3.传递性，若A→B,B→C则A→C.

满足以上三个性质的关系称为等价. 两个线性方程组同解则称它们等价.

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利用初等变换解线性方程组

回到引例：

2x1 x2 x3 + x4 = 2 x + x 2x + x = 4 1 2 3 4 LL(1) 4x1 6x2 + 2x3 2x4 = 4 3x1 + 6x2 9x3 + 7x4 = 9

2 1 1 1 2 1 1 2 1 r r 1 1 2 1 4 1 2 2 1 1 1 解 ( AMb) = 4 6 2 2 4 → 2 3 1 1 1 r3×2 3 6 9 7 9 3 6 9 7 1 1 2 1 3 r2 +( 1) r3 r3 +( 2)r1 0 2 2 2 0 ( →r 0 5 5 3 6 = B2) r4 +( 3) 1 0 3 3 4 3 2002/3 天津商学院

4 2 ( = B1) 2 9

3 1 1 2 1 0 0 2 2 2 = (B2) 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3

接上页

1 0 → 0 r +5r2 3 r4 3r2 0 1 r2 × 2

1 1 0 0

2 1 0 0

1 1 2 1

4 0 ( ) = B3 6 3

1 1 r r4 3 0 1 → 0 0 r +5r2 3 r4 +( 2) r 3 02002/30

2 1 0 0

1 1 1 0

4 0 ( ) = B4 3 0 天津商学院

1 r r4 3 0 → 0 r +5r2 3 r4 +( 2) r 3 0

1 1 0 0

2 1 0 00 1 0 0

1 1 1 0

4 0 ( ) = B4 3 0 4 3 = (B5 ) 3 0

接上页

1 r r2 1 0 由 B4 )回代： 4 ) → ( (B r2 r3 0 0

1 0 1 0 0 1 0 0

x1 = x3 + 4 还原为 x2 = x3 + 3, (其中x3为自由未知量) x = 3 4

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4 1 0 1 0 r r2 1 3 0 1 1 0 (B4 ) → 0 0

= (B5 ) 0 1 3 r2 r 3 0 0 0 0 0 x1 = x3 + 4 还 为 x2 = x3 + 3, (其 x3为 由 知 ) 原 中 自 未 量 x = 3 4

接上页

c 任 常 ) 则 若 x3 = c( 为 意 数 ， 有 令 x1 c + 4 x2 c + 3 X = = , x c 3 x 3 4 1 4 1 3 即 = c + X . 1 0 0 3

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定义2.5.3 行阶梯形矩阵 1 0 0 0 A

1 2 1 1 1 0 0m 1 n 0 .0 0

1

4 0 ( = B4) 3 r 0

Er F = O 一 般 地

O O m×n0 0 ( = . F) 0 0 14

1 0 0 0

4 1 1 0 3 = (B5 ) 0 0 1 0. 3 0 0 0 0 2002/3

0 1 0

0

1 0 0 0

0 11 0 0

0

0

0 0 0. 1 0 0 0

2.初等矩阵定义2.5.4 定义2.5.4 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为 初等矩阵(初等方阵 初等方阵). 初等矩阵 初等方阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵。 (1)互换E的i、j两行(或i、j两列),得 1 O 0L L L 1 M 1 M = M O M 1 M M 1 0 L L L O 1 2002/3 天津商学院

E(i, j )

(ri rj )

返回15

(2)E的第i行(或第i列)乘以不等于零的数k,得 1 O 1 k )] = k 1 O 1

E[i(

(k × ri )

(3)把E的第j行的k倍加到第i行上(或第i列的k倍加到 第j列上),得 1 O L 1 k OM k )] = 1 O 1 2002/3

E[ ( ij

(ri + krj )

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二.有关性质、定理 初等矩阵具有以下性质： (1)初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵。 (2)初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍是可逆矩阵。且

E(i, j ) = E(i, j ) E[i(k )] 1 E[ij (k )] = E[ij ( k )] 1

1

= E[i(k )] 1

矩阵的初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系。 定理2.5.3 设A是m行n列矩阵，则 定理 (1)对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用 同种m阶初等矩阵左乘A。 (2)对A施以一次初等列变换所得到的矩阵，等于用 同种n阶初等矩阵右乘A。2002/3 天津商学院 17

例题

3 求A = 3 3 2 1 2

2 1 2

1 5 的逆矩阵 3 2 0 1 0 0 2

2 1 P 3 2 1 4 → 0 0 0 2 3 0 0 P , P 1 0 0 P ,P 3 4 5 6 → 0 1 0 → 0 1 0 0 0 1 0 0 1 P P P P P PA = E 6 5 4 3 2 1

3 A = 3 3

1 P 3 1 5 → 0 0 3

P P P P P P AA 1 = EA 1 6 5 4 3 2 1 P P P P P P AA 1 = EA 1 6 5 4 3 2 1 A 1 = P P P P P P E 6 5 4 3 2 12002/3 天津商学院 18

更一般的情况是： 在前面有结论：如果矩阵

Am×n

的秩为r,则对

A施以若干次的初等变换，可以把A化为等价标准形 1 O 1 0 O 0

利用定理4,这个结论可以叙述为

设矩阵 初等矩阵 使得

A = (aij )m×n

的秩为r,则存在m阶

P , P ,L, P 和n阶初等矩阵 Q1,Q2 ,L, Qt , 1 2 s

Or×(n r ) Er P LP P AQ1Q2 LQt = s 2 1 O O(m r )×(n r ) (m r )×r2002/3 天津商学院 19

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