初三圆的综合复习教案
更新时间:2024-03-03 21:21:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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圆综合复习
一、本章知识框架
二、本章重点 1.圆的定义:
2.判定一个点P是否在⊙O上. 3.与圆有关的角 (1)圆心角 (2)圆周角 圆周角的性质:
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. (3)弦切角: 4.圆的性质:
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在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.
轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论:
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等.
5.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: 7.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.
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8.直线和圆的位置关系: 9.圆和圆的位置关系: 10.两圆的性质:
(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点. 11.圆中有关计算: 圆的面积公式:
,周长C=2πR.
圆心角为n°、半径为R的弧长.
圆心角为n°,半径为R,弧长为l的扇形的面积弓形的面积 圆锥的侧面积 三、相关定理: 1.相交弦定理
.
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。(经过圆内一点引两条线,各弦被这点所分成的两段的积相等) 2.切割线定理
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明:几何语言:若AB是直径,CD垂直AB于点P,则PC^2=PA·PB
例1: 已知PT切⊙O于T,PBA为割线,交OC于D,CT为直径,若OC=BD=4cm,AD=3cm,求PB长。 解:
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四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线
1).作半径,利用同圆或等圆的半径相等.
2).作弦心距,利用垂径定理进行证明或计算,或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.
3).作半径和弦心距,构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算. 4).作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角. 6).遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角. 7).遇到切线,作过切点的半径,构造直角.
8).欲证直线为圆的切线时,分两种情况:(1)若知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直;(2)不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径.
9).遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10).遇到三角形的内心,常作:(1)内心到三边的垂线;(2)连结内心和三角形的顶点. 11).遇相交两圆,常作:(1)公共弦;(2)连心线. 12).遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线.
13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一条直角边.
2、圆中较特殊的辅助线
1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线.
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2).将割线、相交弦补充完整. 3).作辅助圆. 【中考热点】
近年来,在中考中圆的应用方面考查较多,与一元二次方程、函数、三角函数、实际问题、作图等是中考中的热点,也是难点. 例2 已知
相交于A、B两点,
的半径是10,
的半径是17,公共弦
AB=16,求两圆的圆心距. 解:分两种情况讨论:
例3 如果圆柱的底面半径为4cm,母线长为5cm,那么侧面积等于( ) A.
例4 如图23-12,在半径为4的⊙O中,AB、CD是两条直径, M为OB的中点,延长CM交⊙O于E,且EM>MC,连结OE、DE,
.
(1)求EM的长. (2)求sin∠EOB的值.
B.
C.
D.
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练习1、如图23-13,AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程
(其中m为实数)的两根.
(1)求证:BE=BD; (2)若
,求∠A的度数.
练习2、如图6,BE是⊙O的直径,点A在EB的延长线上,弦PD⊥BE,垂足为C,连结OD,且∠AOD=∠APC.
(1) 求证:AP是⊙O的切线;
(2) 若OC:CB=1:2,且AB=9,求⊙O
PAE的半径及sinA的值.
BCDO
练习3、如图,已知⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA = EC。
⑴ 求证:AC 2 = AE·AB;
⑵ 延长EC到点P,连结PB,若PB = PE,试判断PB与⊙O的位置关系,并说明理由。
B P C F E A · O D
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