〈常微分方程》应用题及答案

〈常微分方程》应用题及答案

应 用 题(每题10分)

1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有

()()()f x y f x f y +=，求()f x 。

２、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件

()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=

（１）求()F x 所满足的一阶微分方程；

(２）求出()F x 的表达式。

3、已知连续函数()f x 满足条件320()3x x t f x f dt e ??=+ ???

?,求()f x 。

4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞

>=，且满足110()lim ()h x h f x hx e f x →??+ ?= ? ???

,求()f x 。 ５、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2

f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 111()()()xt

x t

f u du t f u du x f u du =+???,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足

10()()sin f tx dt f x x x =+??。 7、已知可微函数()f t 满足31()()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。

8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21()01

x x x ??。试求在(,)-∞∞内的连续函

数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。

9、设位于第一象限的曲线()y f x =

过点122?? ? ???

，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的

交点为Q,且线段PQ 被x 轴平分。

（1）求曲线()y f x =的方程；

（2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。

10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。

11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点Ｍ处的切线与y 轴总相交，交点记为

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A ，已知||||MA OA =,且L 过点33,22?? ???

，求Ｌ的方程。 12、设曲线L 的极坐标方程为(),(,)r r M r θθ=为Ｌ上任一点,0(2,0)M 为Ｌ上一定点,若极径0,OM OM 与曲线Ｌ所围成的曲边扇形面积值等于L 上0,M M 两点间弧长值的一半,求曲线L 的方程。

13、设1y x =和2ln y x x =是二阶齐次线性方程 "()'()0y p x y q x y ++= 的两个解，求(),()p x q x 以及该方程的通解。

14、设对任意0x >,曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()x f t dt x

?,求()f x 的一般表达式。

15、设函数(),()f x g x 满足'()(),'()2()x f x g x g x e f x ==-,且(0)0,(0)2f g ==，求20()()1(1)g x f x dx x x π

??-??++??

?。

16、设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0y ≠，()x x y = 是()y y x =的反

函数。（1)试将()x x y =满足的微分方程 322(sin )0d x dx y x dy dy ??++= ???

,变换为()y y x =所满足的微分方程；

（2）求变换后的微分方程满足初始条件3(0)0,

'(0)2y y ==的解。 17、已知连续函数f x ()满足f tx dt x f x x f t dt x ()()()0120

1??=+-，求f x ()． 解:设u=tx ,则原式化为11020

x f u du x f x x f t dt x x ()()()=+-?? 即203f t dt x xf x x

()()?=+ 由f (x)连续知上式右端可导 即f （ｘ)可导 对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程f x x

f x x '()()-=-13 所求函数为f x e

xe dx c cx x dx x dx ()()=?-?+=-?1133x 2 c 为任意常数

18、．对于任意简单闭曲线L ，恒有20224xyf x dx f x x dy L

()[()]+-=?

其中 f （x)在（）-∞+∞,有连续的导数,且f （０)=２.求f x ().

19、设ｆ (ｘ)满足)(x f '=f (1－ｘ)，求f x ()

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2０、设??()()()x e x u u du x x

=--?0,其中?(x ）为连续函数，求?(x ) 21、人工繁殖细菌,其增长速度和当时的细菌数成正比。

(１）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍,那么经过12小时应有多少？

（2）如在3小时的时候，有细菌数410个，在5小时的时候有4

410?个,那么在开始时有多少个细菌？ 应 用 题 答 案

１、解： 首先从导数定义出发,证明()f x 处处可微，并求出()f x 与()f x '满足的关系,最后定出()f x 。

由于()f x 不恒为零,设0(0)0f x +≠,因而 000()(0)()(0)f x f x f x f =+=得到 (0)1f =

又由'(0)f 存在，对任意x 有

00()()()()()'()lim lim x x f x x f x f x f x f x f x x x

?→?→+?-?-==?? 0()[()1]lim ()(0)x f x f x f x f x

?→?-'==?? 由此可见()f x 处处可微且满足 '()()'(0)f x f x f = 即 (0)df f dx f

'= 解得 '(0)()f x f x ce =

又由 (0)1f = 所以 '(0)()f x f x e =。

２、解:（1）22()()()()()()()F x f x g x f x g x g x f x '''=+=+

222[()()]2()()(2)2()f x g x f x g x e F x =+-=-

于是()F x 满足一阶线性微分方程 224x y y e '+=

(2）按一阶线性微分方程的通解公式,

{}{}

2222422()44dx dx x x x x x F x e e e dx C e e dx C e Ce ---??=?+=+=+?? 由 (0)(0)(0)0F f g == 得 1C =-，

于是 22()x x

F x e e -=-.

3、解:方程两端同时对x 求导，得到 2()3()2x f x f x e '=+

由题设知道 0(0)01f e =+=。

故令 ()f x y = 即得 20

321x x y y e y ='?-=??=?? 332332222dx dx x x x x x y e C e e dx e C e dx Ce e --??????=+?=+=-??????

?? 由 01x y == 得到 3C =

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于是 32()32x x f x e

e =-.

4、解:设1()()h f x hx y f x ??+= ???

, 则 1()ln ln ()f x hx y h f x +=. 因为 0001()[ln ()ln ()]limln lim ln lim [ln ()]()h h h f x hx x f x hx f x y x f x h f x hx

→→→++-'===， 故 1[ln ()]0()lim ()h

x f x h f x hx e f x '→??+= ???． 由已知条件得 1[ln ()]x f x x e e '

=,因此 1[ln ()]x f x x '=,即 21[ln ()]f x x '=. 解之得 1

()x f x Ce

-= 。 由lim ()1x f x →+∞=，得 1C =。故 1()x

f x e -=。

5、解：由题意可知,等式的每一项都是x 的可导函数，于是等式两边对x 求导,得

1

()()()t

tf xt tf x f u du =+? (1） 在(1)式中令1x =，由5(1)2f =，得 15()()2

t tf t t f u du =+?, （２) 则()f t 是(0,)+∞内的可导函数,（2)式两边对t 求导，得 5()'()()2

f t tf t f t +=+， 即 5'()2f t t

=。 上式两边求积分，得 5()ln 2

f t t C =+ 由5(1)2f =，得52C =。于是 5()(ln 1)2f t t =+。

6、解：令,u tx du xdt ==,原方程变为

01()()sin x f u du f x x x x

=+? 即 20()()sin x f u du xf x x x =+?.

两边求导数，得到 2()()()2sin cos f x f x xf x x x x x '=+++

'()2sin cos f x x x x =-- 积分得 ()2cos sin 2cos sin cos f x x xd x x x x x C =-=-++?

cos sin x x x C =-+．

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７、解:首先从题设可求得 (1)1f =， 方程两边求导得

3()'()()f x f x x f x x =+. 记 ()y f x = ，得 3'y y x y x

=+ 考虑 ()x x y =,方程可化为伯努利方程31dx x x dy y

-= 且 11x y == 令 232u x du x dx --==-

22du u dy y +=- 22322122233dy dy y y C u e C e dy C y y y y -??????=+-?=-=-?????

?????? 变量还原得 22123

C y x y =- 或者 23()2()3f x f x C x +=． 又因为(1)1f =，代入上式可得C ＝53

。 即 23()25().33

f x f x x +=

8、解：当1x <时， 22y y '-=

22222111221dx

dx x x x y e C e dx e C e dx C e --??????=+=+=-??????

?? 1x < 由 (0)0y = 代入得 11C = 所以 21

(1)x y e x =-< 当 1x > 时 20y y '-= 通解为 2222(1)dx x y C e C e x ?==>

由 1x = 处()y x 是连续的 2222221010

lim lim (1)1x

x x x C e

C e e e →+→-==-=-． 所以 2221C e e =- 221C e =-. 于是若补充函数值 2

11x y e ==- ,则得到(,)-∞∞上连续函数是所求的函数 22211()(1)1

x x e x y x e e

x -?-≤=?->? 是所求的函数。

9、解:(１)曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为 1()Y y X x y -=-

-',其中(,)X Y 为法线上任意一点的坐标,令0X =,则 '

x Y y y =+,

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故Ｑ点坐标为0,'x y y ?

?+ ???

。由题设知 0'x y y y ++=, 即 20ydy xdx +=。 积分得 222x y C +=(C 为任意常数)。

由

12

x y = 知 1C = ，故曲线()y f x =的方程为

2221(0,0)x y x y +=≥≥。 （2）曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为

2l =?.

曲线 ()y f x = 的参数方程为

cos ,022

x y θπθθ=??≤≤?=??, 故其弧长为

()2s t πθ===-?令

==

124=?

=. １０、解:原方程可以改写为一阶线性方程 21dy y dx x

-=-, 应用其通解公式得 222221dx dx x x y e C e dx x C dx Cx x x -??????=+-=-=+ ? ?????

?? 由2,1,2,0y Cx x x x y =+===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体

体积为 2222131157()()5

23V C x Cx dx C C ππ??=+=++ ???? 由 6217'()052V C C π??=+= ???

解得驻点075124C =-，由于62''()05V C π=>,故075124C =-是唯一的极小值点，因而也是最小值点，于是得所求曲线为275124y x x =-。 11、解:设点M 的坐标为由切线MA 的方程为 ()Y y y X x '-=- 令 0X =,则'Y y xy =-,故点Ａ的坐标为 (0,')y xy -

由 ||||MA OA =,有

|'|y xy -=

化简后得 212'yy y x x

-=-。

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令 2z y =，得 dz z x dx x

-=-。 解得 11()dx dx x x z e xe dx C x x C -????=-+=-+ ???

?。 即 22y x Cx =-+ 。

由于所求曲线在第一象限内,故

y =

再以条件 3322y ??

??= ? ?????

代入得 3C =。于是曲线方程为

(03)y x =<<.

12、解:由已知条件得

200

1122r d θθθθ=??, 两边对θ求导得

2r =， 即

'r =±，

从而

d θ=±。

因为

1arcsin C r =-+, 所以 1arcsin C r θ+=± 由条件(0)2r =，知6C π=，故所求曲线Ｌ的方程为 sin 16r πθ??= ???

。 13、解:由 112211,0,ln 1,y y y x y x

''''''===+=;分别代入方程得到 ()()0(1)1()(ln 1)()ln 0(2)p x xq x p x x q x x x x

+=???+++=??

(1)ln (2)x ?- 得 1()p x x -= 即 1()p x x

-= 把 1()p x x -= 代入(１）式得 21()q x x

= 所以原方程为 2110y y y x x

'''-+= 又由于12/ln y y x =不为常数，12,y y 是齐次方程的基本解组

原方程的通解为 12ln y c x c x x =+。

14、解:曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为过 ()'()()Y f x f x X x -=-

令 0X =,得截距 ()'()Y f x xf x =-。

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由题意，知 01()()'()x f t dt f x xf x x =-?， 即 0()[()'()]x f t dt x f x xf x =-?,

上式对x 求导,化简得 "()'()0xf x f x +=， 即 ('())0d xf x dx

=。 积分得 1'()xf x C =， 因此 12()ln f x C x C =+(其中12,C C 为任意常数)。

15、解：（解法一)由是'()()f x g x = 得 "()'()2()x f x g x e f x ==-,于是有

"()()2,(0)0,

'(0)2,x f x f x e f f ?+=?=??=?

解之得 ()sin cos x f x x x e =-+。 又 2200()()()(1)()1(1)(1)g x f x g x x f x dx dx x x x π

π??+--=??+++??

?? 200'()(1)()()(1)1f x x f x f x dx x x

ππ+-==++?? 0()()1(0)111x

f x f e f x ππππ

+==-=+++ (解法二)同解法，得 ()sin cos x f x x x e =-+

又 2000()()()1()1(1)11g x f x g x dx dx f x d x x x x π

ππ??-=+??++++??

??? 000()1'()()111g x f x dx f x dx x x x

π

ππ=+?-+++?? 00()()()(0)11111x

f g x g x f dx dx x x e πππππ=-+-++++=+??

16、解:（1)由反函数的求导公式 1'dx dy y = 得 '1dx y dy

=。 两端关于x 求导,得 222()0dx d x y y dy dy

'''+= 由此得到 2223

()()dx y d x y dy dy y y ''''=-=-''。 代入原微分方程得 sin y y x ''-=。 (*）

（2)方程 0y y ''-= 的通解为 12x x Y C e C e -=+。

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设方程（*)的特解为 cos sin y A x B x =+,

代入方程(＊）求得10,2A B ==-

,故 1sin 2

y x =-， 从而方程(＊）的通解是 121sin 2

x x y C e C e x -=+-。 由 3(0)0,(0)2

y y '== 得 121,1C C ==-。故所求值问题的解为 1sin 2x x y e e x -=--。 17、解:设u=tx ,则原式化为11020x f u du x f x x

f t dt x x ()()()=+-?? 即203f t dt x xf x x ()()?=+ 由ｆ (x)连续知上式右端可导 即f (x ）可导 对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程1()()3f x f x x x '-

=- 所求函数为11()(3)3dx dx x x f x e xe dx c cx -??=-+=-?ｘ２ c 为任意常数

18、解:根据积分与路径无关的充要条件有

[][]

????y 2224xyf x x

f x x ()()=- 即2242223xf x f x x x x ()()]=-?? 或??f x x

f x x ()()22222-= 设ｘ2=t ()()2df t f t t dt -= 由

一阶线性方程的求解公式有f t e te dt c dt dt ()[]=??+-?12 =e te e c t t t []--+--22

∴ｆ(x ）=22(1)x ce x -+

由 f (0)=2得 ２=c －2

∴c=4

∴ｆ(x ）=4212e x x -+()

１9、解：由()(1)f x f x '=-知()f x 有二阶导数 在方程两端x 对求导得

()(1)[1(1)]()f x f x f x f x '''=--=---=- 故有()()0f x f x ''+=。 从而有ｆ(x)=ｃ1cos ｘ+c ２s ｉn x

代入方程，且比较系数有c c c c c c 1122

121111=-=+???sin cos cos sin

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有∴原方程的通解为f(ｘ）=0

20、解:所给为???()()()x e x

u du u u du x x x =-+??00 (１) 由上式知?(ｘ）可导，在两端求导得 ????'()()()()x e x x u du x x x x =--+?0 即??'()()x e u du x x =-?0

(２） 再对上式两端求导，得()()x

x x e ??''+= 此方程的通解为 ?(x ）=c １ｃos x ＋c 2s ｉn x +(１/2）ｅx 由 (1) 知?(0)=1，故c １＋(1/2)=1 ，c １=1／2 由 （2) 知(0)1?'=,故c 2＋(1/２)=１ ,c ２=1／２ ∴?(x )=1/2（cos x ＋sin x ＋e x ) ２1、解:设ｔ时,细菌数为x(t ），由题设有dx kx dt =，0kt

x x e =。

（1)由

4002(4)k x x x e ==得142k e =，140(2)t x x =，112400(12)(2)8x x x ==。 (2）由

43450010(3),410(5)k k x x e x x e ==?==解得02,1250

k e x ==。

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