2016人教版八年级上《分式》暑期教案

15.1.1 从分数到分式

一、 温故知新：

1、 什么是整式？ ，整式中如有分母，

分母中 （含、不含）字母

2、 下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？

x?y1a；2x+y ；

22 ；

1a ；

x?2y ；3a ；5 . xsa 、

3、 阅读“引言”， “引言”中出现的式子是整式吗？ 4、 自主探究：完成p127的“思考”，通过探究发现，

Vs、

10020?v、

60与分数一样，

20?v都是 的形式，分数的分子A与分母B都是 ，并且B中都含有 。

5、 归纳：分式的意义： 。

代数式

1a 、

x?2ys、xa 、

Vs、

10020?v、

60都是 。分数有意义的条件

20?v是 。那么分式有意义的条件是 。 二、 学教互动：

例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）5x-7 （2）3x2-1 （3）

b?3m(n?p) （4）

2a?1727 （8）

x2?xy?y2（5）—5 （6）

2x?1例2、p128的“例1”填空：

（7）

4

5b?cx2有意义 （2）当x 时，分式有意义

x?13x1（3）当b 时，分式有意义

5?3b（1）当x 时，分式

（4）当x、y满足关系 时，分式

x?y有意义 x?y例3、x为何值时，下列分式有意义？

xx2?6x?5a2?4（1） （2） （3） 2x?1a?2x?1

1

三、拓展延伸：

例4、x为何值时，下列分式的值为0？

x?1x?1x2?9（1） （2） （3）

x?1x?3x?1四、 课堂小结

P128的“练习”和P11的1、2、3

五、反馈检测：

3x1x2?xy?y2x?y1、下列各式中，（1）（2）2（3）?（4）

3xx?1?x?y0.（7）

（5）

a?b（6）534（x+y）整式是 ，分式是 。（只填序号）

xx2?1

2、当x= 时，分式没有意义。3、当x= 时，分式的值为0 。

x?2x?1x?23a?1的值为正，当x= 时，分式的值为非负数。 x2a2?15、甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲

4、当x= 时，分式

的速度是乙的速度的（ ）倍. Ａ.

a?b b Ｂ.

b a?b Ｃ.

b?a b?a Ｄ.

b?ab?a

6、“循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x名选手报名

参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场 7、使分式

|x|?3没有意义的x的取值是（ ）

x2?x?6A.―3 B.―2 C. 3或―2 D. ±3 五、小结与反思：

15.1.2分式的基本性质（1）

学教目标：1、能类比分数的基本性质，推出分式的基本性质。

2、理解并掌握分式的基本性质，能进行分式的等值变形。 学教重点：分式的基本性质及其应用。

学教难点：利用分式的基本性质，判断分式是否有意义。 学教过程：

2

一、温故知新：

1、 小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？

由分数的基本性质可知，如数c≠0,那么

22c4c4?? ，

33c5c52、 你能通过分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试归纳：分式的基本性质：

用式子表示为 3、 分解因式（1）x2-2x = （2）3x2+3xy= （3）a2-4= (4) a2-4ab+b2= 二、学教互动： 1、例1、p129的“例2” 2、填空：（1）

xy6x(y?z)、 （2）。 ??2aabyy?z3(y?z)3、例2、下列分式的变形是否正确？为什么？

（1）

yxy?2xxa?b(a?b)2?2 、 （2）

a?ba?b2。

32a?b2的分子与分母各项的系数化为整数

4、例3、不改变分式的值，使分式

2a?b3三、 拓展延伸：

四、 例4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：

（1）

a3m?2x、 （2）、 （3）、 ?2b?4n3y?2ax2 （5） （6）—

?3b?2a?4m（4）—

5n四、反馈检测：

1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号： （1）

?2mn= 、（2）—

a?b2= 。

m?12、填空：（1）=

ab(1?m)ab

a2?4a?2ab?ab2ab（2） 、（3） ??23?3b(a?2)3

3、若把分式

xyx?y中的x、y都扩大3倍，那么分式的值是 。

4、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数。 （1）

x?12?x?x?1 （2） （3）。

?2x?1x?1?x2?3

B.

5、 下列各式的变形中，正确的是（ ） A.

b?aab?a?aa2?3a3a? 1?bb?1ab?1b?

ac?1cC. D.

0.5x5x ?y2y6、 下面两位同学做的两种变形,请你判断正误,并说明理由.

x?y(x?y)(x?y)x2?y2甲生：??2x?y(x?y)(x?y)2乙生：

;

x?yx?y?(x?y)2(x?y)(x?y)?(x?y)2x?y22

五、小结与反思：

15.1.2分式的基本性质（2）——（约分）

学教目标：1、进一步理解分式的基本性质，并能用其进行分式的约分。 2、了解最简分式的意义，并能把分式化成最简分式。

3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。

学教重点：分式的约分。

学教难点：利用分式的基本性质把分式化成最简分式。

4

学教过程： 一、温故知新：

1、分式的基本性质是： 用式子表示 。 2、分解因式：（1）x2—y2 、（2）x2+xy 、（3）9a2+6ab+b2 、（4）x2+x-6 。 自主探究：p129的“思考”。

归纳：分式的约分定义：

公因式：所有相同因式的最 次幂的积

最简分式：

二、学教互动： 1、“例3”

通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是什么？ 2、例2、约分： 三、拓展延伸：

m2?5m?6（1）

m2?m?6m2?2m?15、 （2）2

m?4m?21

x2?6x?9x2?y2（3） （4）2x2?9x?2xy?y2四、反馈检测：

?21a3bc5x?2y约分：（1）、 （2）

56a2b10d25x2?20xy?4y2、

a2?16m2?15m?50m2?3m?2（3）2、 （4）2 、（5）

a?8a?16m2?mm?17m?70五、小结与反思：

1、分式的约分定义 公因式，最简分式 分解因式及方法 2、约分的关键

。

15.1.2分式的基本性质（3）——（通分）

学教目标：1、了解分式通分的步骤和依据。 2、掌握分式通分的方法。

3、通过思考、探讨等活动，发展学生实践能力和合作意识。

学教重点：分式的通分。

学教难点：准确找出不同分母的分式的最简公分母。 学教过程

5

一、温故知新：

1、分式的基本性质的内容是 用式子表示 2、计算：

11? ，运算中应用了什么方法？这个方法的依据是什么？ 234、猜想：利用分式的基本性质能对不同分母的分式进行通分吗？ 自主探究：p131的“思考”。

归纳：分式的通分： 二、学教互动： 例1、p7的“例4”。

最简公分母： 通分的关键是准确找出各分式的 例2、分式

x?2(x?1)22

，

2x?3(1?x)33

，

5的最简公分母（ ） x?12

3

A．（x-1） B．（x-1） C．（x-1） D．（x-1）（1-x）例3、求分式

三、拓展延伸：

P132的“练习”的2. 五、 反馈检测：

1a、2a?ba?b2、

b的最简公分母 ，并通分。 a?bxya?161x2,,,,、 （2） 、（3） 2222xx?13x6ab9abca?2a?1a?1a12x2ab,,,2、通分：（1） （2） （3） a?11?a?3ab15a2bc4?x2x?2111,2,23、 分式2的最简公分母是（ ）

a?2a?1a?1a?2a?11、通分：（1）Ａ.(a2?1)2

Ｂ.(a2?1)(a2?1)

Ｃ.(a2?1) Ｄ.(a?1)4

五、小结与反思；

15.2.1分式的乘除（一）

学教目标

1.理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行简单的分式乘除运算； 2.经历探索分式的乘除法运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性。 3培养学生的观察、类比、归纳能力和与同伴合作交流的情感 学教重点：掌握分式的乘除运算

6

学教难点：正确运用分式的基本性质约分 学教过程： 一、温故知新： 阅读课本P135—137 与同伴交流，猜一猜 观察上面运算，可知：

分数的乘法法则：________________________________________________________ 分数的除法法则：________________________________________________________

你能用类比的方法的出分式的乘除法法则吗？

分式的乘法法则：_________________________________________________________ 分式的除法法则：_________________________________________________________ 用式子表示为：即c，d不为

二、 学教互动 ：

例1、计算：{分式乘法运算,进行约分化简,其结果通常要化成最简分式或整式}

bdbd×＝ ÷＝ a、c不为 acacbdbcbd×＝ ÷＝×＝ 这里字母a，b，c，d都是整式，但a，acacadx?2x2?6x?94xya?21（1）· （2）· （3） ?a?2a2?2a3y2x3x?3x2?4

例2 计算：（分式除法运算,先把除法变乘法）

xxy6y2a2?1a?1（1）3xy÷ （2）2 （3）2÷2 ?2xa?4a?4a?4xy?yx?x2

2

三、课堂小测 1．计算：

2b?4a2?（1）

a4bc2

?4y3? （2）6xy????3x??

??24x2?1x?1ab（3）÷2 （4）·2

ybay 7

（5）（a2－a）÷2．代数式

a a?1x?3x?2有意义的x的值是（ ） ?x?3x?4A．x≠3且x≠?2 B．x≠3且x≠4

C．x≠3且x≠?3 D．x≠?2且x≠3且x≠4

3．甲队在n天内挖水渠a米，乙队在m天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要挖x米，需要

多少天才能完成？(用代数式表示)

xx24．若将分式2化简得，则x应满足的条件是（ ）

x?1x?xA. x〉0 B. x<0 C.x?0 D. x??1

m2?4m?4m2?2m?5．若m等于它的倒数，则分式的值为

m?2m2?42x?2y10ab2a2?1a2?aa?2a2?46．计算(1) 2 (2). (3) ??2?222a?2a?1a?1a?3a?6a?95abx?y

五.小结与反思：

15.2.1 分式的乘除（二）

学教目标：

1．能应用分式的乘除法法则进行乘除混合运算。

2．能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算。

3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。 学教重点：掌握分式乘除法法则及其应用

8

学教难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算 学教过程： 一、温故知新：

阅读课本P12-13

1．分式的约分：__________________________________________ 最简分式：__________________________________________

下列各分式中，最简分式是（ ）

34?x?y?y2?x2A． B．

85?x?y?x?y2x2?y2 C．2xy?xy2 D．

x2?y2?x?y?2

2．分解因式：xy?2xy2?y3? a3?a?

3x2?12? a2b2?0.01?

1? x2?4y2?x?2y? 235155255? （2）??? 3. 计算 （1）??26431222x2?2x?4．分数乘除法混合运算顺序是什么？ 分式的乘除法混合运算与分数的乘除法混合运算类似

你能猜想出分式的乘除法混合运算顺序吗？ 二、学教互动 ：

例1．计算（先把除法变乘法，把分子、分母分解因式约分，然后从左往右依次计算）

注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式。

三、随堂练习 1．计算

a?2a2?4a2?b22

（1） （2）（ab－b）÷ ?a?ba?3a2?6a?9

3?b2??b??ab??????2.已知3a?b?1??3a?b??0．求????的值

2?a?b??a?b??a?b????2 9

四.反馈检测： 1．已知：x?11?3，则x2?2?_________xx

?x2??y??y?2．计算?????????的结果是（ ）

y???x??x?xxx2x2 A． B．? C． D．?

yyyy3． 计算

16?m2m?4m?22x2y5m2n5xym????（1） （2） 2223mn4xy3n16?8m?m2m?8m?2

4．先化简，再求值：

x2?2x?8?x?2x?4?4????．其中x?? 32x?2x?x?xx?1?5

五.小结与反思：

15.2.1 分式的乘除（三）

学教目标：

1.能应用分式的乘除法，乘方进行混合运算。

2．能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除乘方混合运算。

3．在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣。 学教重点：掌握分式乘除法法则及其应用

10

学教难点：掌握分子分母是多项式的分式的乘除法混合运算 学教过程： 一、温故知新：

阅读课本P14-15

1．分式的乘除法法则：___________________________________________

2．观察下列运算：

则

分式的乘方法则：公式： 文字叙述： 请同学们叙述分数乘方乘除混合运算顺序： 分式乘方乘除混合运算法则顺序： 二、学教互动 ：

?2a2b??x2?例1．计算 （1） ??? （2） ??3c???y?

32?y2??y???????? ?x??x?34?x3y??b???b??3b?例2．计算（1） ?????????? （2） ?2a???a??4a??z?

三、拓展延伸

1．下列分式运算，结果正确的是（ ）

232?x?z?y?z?????2? ?y??x?3acadm4n4m??A.5?3? B bdbcnnmC .

4a2?2a????2a?ba?b2??2 D

?3x?3x3??4y???4y3??3

11

12．已知：x?x1ax2?6x?9x?3?2，求的值.

x?3x?6x?91a23.已知a2+3a+1=0,求 （1）a+

4．已知a,b,x,y是有理数，且

; （2）a2+

;

x?a??y?b??0，

2a2?ay?bx?b2a2?ax?by?b2求式子?x?ya?b

四.课堂检测：

的值.

x2?x?x的结果为 1．化简2x?2x?12．若分式

x?1x?3?有意义，则x的取值范围是 x?2x?4x2?2x?1x?13．有这样一道题：“计算 ?2?x的值，其中x?2004”甲同学把“x?2004”

x2?1x?x错抄成“x?2040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？

2?m??n?4????mn4.计算 -???????n??m?54??

五.小结与反思：

15.2.2 分式的加减（一）

学教目标：

1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理 2、 会进行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归能力 3、不断与分数情形类比以加深对新知识的理解

12

学教重点：同分母分数的加减法 学教难点：通分后对分式的化简 学教关键点：找最简公分母 学教过程：

一、温故知新：阅读课本P139—141 1.计算并回答下列问题

①12345?5?5?5? ②43?23?13? 2、同分母分数如何加减？ 3、猜一猜，同分母的分式应该如何加减？(与同分母分数加减进行类比)

4、把你猜想的结论用数学符号表示出来 二、学教互动 例1.计算：

（1）a2b2?2ab3xx?ya?b+a?b （2）2x?y－2x?y

例2. 计算：（1）．2y3y?1y6xx?1-1?x－x?1 (2)5x?7?3x?87?5x??x?67?5x

三、拓宽延伸 1、填空题 (1)

3x?7x?4x= ； (2) 5a4b2a?3b??3b?2a= ； 2、在下面的计算中，正确的是（ ） A.

111b2a+2b =2(a?b) B.

a＋

b2bc=ac

C.

cc?1111a－

a=a D.

a?b＋b?a=0 3、 计算：

（1）25 （2）2x?1x?x2x?1＋1?x

?3?.a2a?b?a?b

13

点拨： 如果结果不是最简分式，怎么办？

4．.老师出了一道题“化简：

x?32?x?2” x?2x?4；

(x?3)(x?2)x?2x2?x?6?x?2x2?8?2??2小明的做法是：原式?22x?4x?4x?4x?4小亮的做法是：原式?(x?3)(x?2)?(2?x)?x2?x?6?2?x?x2?4；

小芳的做法是：原式?x?3x?2x?31x?3?1?????1． x?2(x?2)(x?2)x?2x?2x?2C．小芳

D．没有正确的

其中正确的是（ ）

A．小明

四、反馈检测：

B．小亮

1、化简

x2y2的结果是( ) ?y?xy?x (A)

?x?y (B) y?x (C) x?y (D) x?y

2、甲、乙2港分别位于长江的上、下游，相距s km，一艘游轮往返其间，如果游轮在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，那么该游轮往返2港的时间差是多少？

3、 计算： （1)

5a?6b3b?4aa?3b?? 223abc3bac3cba2x3?x2?x?1 （2）

x?1

五.小结与反思：

15.2.2分式的加减（二）

学教目标：

1、分式的加减法法则的应用。

2、经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理

3、结合已有的数学经验解决新问题，获得成就感。

14

学教重点：异分母分式的加减混合运算及其应用。 学教难点：化异分母分式为同分母分式的过程； 学教过程： 一、温故知新：

阅读课本P161——142

1、对比计算并回答下列问题 计算 ①

21111??? ②??

342342．①、异分母的分数如何加减？②、类比分数，猜想异分母分式如何加减？

你能归纳出异分母分式加减法的法则吗？ 3．什么是最简公分母？ 4.下列分式

x?2(x?1)22

，

2x?3(1?x)33

，

5的最简公分母为（ ） x?12

A．（x-1） B．（x-1） C．（x-1） D．（x-1）（1-x） 5.议一议

有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.

小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同。

313?4aa12aa13a13????2?2?2? a4aa?4a4a?a4a4a4a4a313?4112?113????小亮：?

a4aa?44a4a4a小明：

你对这两种做法有何评判？与同伴交流。

发现： 异分母的分式 转化 同分母的分式 的加减 通分 的加减

通分的关键是找最简公分母

二、 学教互动 ：

例1计算：注意：分子相加减时，如果被减式分子是一个多项式，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误：分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。 （1）

3a?152a1? （2）+ （3） 2a5aa?4a?2324?2x?4x?16

三、拓展延伸

15

xy315??_______（2）式子??2x?yy?x4x2y6x2mm?n?2、计算 的结果是( )

2m?nn?2m1、填空 （1）

的最简公分母 m?nn?2mm?nn?2m3m?nn?2m3m?nn?2mA B C D

3．阅读下面题目的运算过程

x?32x?32(x?1)???x2?11?x(x?1)(x?1)(x?1)(x?1) ?x?3?2(x?1)?x?3?2x?2??x?1（1） 错误的 原因_________. （2） 本题正确的结论_____________.

① ② ③ ④ 上述计算过程，从哪一步出现错误，写出该步代号___________.

注意：1“减式”是多项式时要添括号！2、结果不是最简分式的应通过约分化为最简分式或者整式。 4、观察下列等式：1?112233?1?，2??2?，3??3?，?? 223344（1）猜想并写出第n个等式； （2）证明你写出的等式的正确性;

四、反馈检测：1、下列各式中正确的是( )

(A)

3515??2xxx；(B)

bab?a2114x4y??????4(D) 2；(C) ababx?1x?1x?1x?yy?x(2)21?（3

a2?aa?111?x6??2 x?36?2xx?9b2c?2、计算(1)4a2a(4)1x ?222xy4y五.小结与反思：

15.2.2 分式的加减（三）

学教目标：

1.灵活应用分式的加减法法则。

16

2会进行比较简单的分式加减乘除混合运算。

3．结合已有的数学经验解决新问题，获得成就感和克服困难的方法和勇气。 学教重点：分式的加减乘除混合运算及其应用。 学教难点：分式加减乘除混合运算。 学教过程： 一、温故知新： 阅读课本P

1．同分母的分式相加减：

异分母的分式相加减：先 ，化为 分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

分式加减的结果要化为

2．分数的混合运算顺序是：

你能猜想出分式的混合运算顺序吗？试一试

分式的混合运算顺序是： 二、 学教互动 ： 例1 (1)

113x??26x?4y6x?4y4y?9x2

(2)

1?12a?1?2 a?1a?a?2例２

(x?2x?14?x?)?

xx2?2xx2?4x?4分式的混合运算： 关键是要正确的使用相应的运算法则和运算顺序；正确的使用运算律。 尽量简化运算过程； 结果必须化为最简分式

混合运算的特点： 三、拓展延伸 1.计算

是整式运算、因式分解、3x3x2ya?2a?3a分式运算的综合运用，?? (2)? (1) 1????22y2y3x?4 ?a?2a?2?a综合性强。

17

(3)

2(a?1)a358?2? (4)2 ?a?3a?2a?2a?1a?2ax?ayby?bx 2．若

3．．已知：a?b?c

四、反馈检测 1、分式

ABx?3=+，求A、B的值.

(x?1)(x?1)x?1x?1111111?0，求a(?)?b(?)?c(?)?3的值

bccaab11?的计算结果是（ ） a?1a(a?1)D．

1a1 B． C． a?1a?1a111nm?的值． ??2．已知．求mnmnm?nA． 3．填空

(1)

五.小结与反思：

a?1a

16?a?39?a2= ； (2)

24?= 。

x2?2xx2?415.2.2分式的混合运算（四）

学教目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 学教重点：熟练地进行分式的混合运算. 学教难点：熟练地进行分式的混合运算.

18

学教过程

一、温故知新： （1）说出有理数混合运算的顺序.

（2）分式的混合运算与有理数的混合运算顺序相同

x?3?1?1?y??y?计算：（1）? （2） ??2??????2??x?1x?1?x?1?2x??4x?乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

22

分析：这两道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再

x2?x?1 ⑷ （3）探究此题怎样计算：

x?1

二、学教互动：计算 （1）(2?x?1? 1?????x?1?x?12x?2x?14?x?)?

xx2?2xx2?4x?4[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边).

2xyx4yx2（2）???x?yx?yx4?y4x2?y2

三、拓展延伸：计算：

1ab?2a? （3）???? ??b?a?bb42[分析] 这道题先做乘除，再做减法。 [分析]先乘方再乘除，然后加减。

⑴

1x1a2???a?1 ⑵ 22x?6x?99?x2x?6a?1

19

四、反馈检测

⑴ 2a?3b2ba2?9a?3?? ⑵

2a?bb?a

）x?yx2?y2（3x?y?x2?y2

五小结与反思

学教目标：

4?a2a?4 （4）a?2?4a?2；

15.2.3负整数指数幂（一）

20

1．知道负整数指数幂a?n=

1an（a≠0，n是正整数）.

2．掌握负整数指数幂的运算性质. 学教重点：掌握整数指数幂的运算性质. 学教难点：灵活运用负整数指数幂的运算性质 学教过程： 一、温故知新：

1、正整数指数幂的运算性质是什么?

（1）同底数的幂的乘法： （2）幂的乘方： （3）积的乘方： （4）同底数的幂的除法： （5）商的乘方： （6）0指数幂，即当a≠0时，a2、探索新知： 在am0?1.

?an中，当m=n时，产生0次幂，即当a≠0时，a0?1。那么当m＜n时，会出现怎

2样的情况呢？如计算：535?5?5?252?5?5?3

5215?5?5?35525 由此得出：5?3?153

11?2a 由此得到 =（a≠0）。

a2a21?n因此规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，a=n（a≠0）.

a1 如1纳米=10米，即1纳米=米 910a当a≠0时，?a=a3?5a3=a a?a=5a35a3=3a?a2=

-9

填空：

4?2=

?1?????2??2= ，

3?1???0= ，

??4??2?1= ，

若x=12，则xm?2m=

?2ab?= ?a?1?3bc2?=

?3??1??1?10?1??计算：?= ?3?2?2006= ????2??2???二、学教互动：（1）将

0?3x2yz?1???2x?1y?2?23的结果写成只含有正整数指数幂的形式 （分析：应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式）.

21

（2）用小数表示下列各数

01?1?⑴ 3.5?10 （2）2?3??2????? 4?2??5?1

三、拓展延伸：

?20?1??1?选择：1、若a??0.3，b??3 ，c????，d?????3??3?A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜ c C．a＜d＜c＜ b D．c＜a＜d＜b

2?2

2、。已知a?2?2，b??3?1?，c???1?，则a b c的大小关系是（ ）

03c B．b＞a＞ c C．c＞a ＞b D． b ＞c＞a

A．a ＞b＞ 四、反馈检测：

?1?31、计算：（1）8??????2? 2、已知

五、小结与反思：

?2?3?1?0 （2）

2?2??1?18???4?6?0

?3x?8???5y?2?0?3有意义，求x、y的取值范围。

15.2.3科学记数法（二）

学教目标：会用科学计数法表示小于1的数

22

学教重点、难点：会用科学计数法表示小于1的数. 学教过程： 一、温故知新：

1、用科学计数法表示下列各数：我们已经学习了用科学记数法表示一些绝对值较大的数即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表式成a?10的形式，其中n是正整数，1≤如用科学记数法表示下列各数：

⑴989 ⑵ －135200 （3）864000

?na?10同样，也可以利用10的负整数次幂用科学计数法表示一些绝对值较小的数，将他们表示成

na＜10。

的形式。其中n是正整数，1≤

a＜10。

如用科学记数法表示下列各数：

⑴ 0.00002； ⑵ －0.000034 ⑶ 0.0234

注：对于绝对值较小的数，用科学记数法表示时，

a只能是整数位为1，2，?，9的数，10?na＜10，n为整数），n有什么规律呢？

中的n就是原数中第一个不为0的数字前面所有0的个数，包括小数点前面的零在内。 2、探究：用科学记数法把一个数表式成a?10（其中1≤

n30000=

3?10??， 3000=

3?10???， 300=

3?10????， 30= 3?10，

??3= 3?10， 0.3= 3?10???， 0.03= 3?10， 0.003= 3?10??。

观察以上结果，请用简要的文字叙述你的发现 二、学教互动：

1、用科学记数法表示下列各数：

（1）0.00003 （2）-0.0000064 （3）0.00314 （4）2013000

2 用小数表示下列各数 (1)?4.28?10?4= (2)3.57?10?6= 三、随堂练习：

(1)近似数0.230万精确到 位，有 个有效数字，用科学技术法表示该数为 (2)把0.00000000120用科学计数法表示为（ ） A．1.2?10

?9 B．1.20?10?9 C．1.2?1023

?8 D．1.2?10?10

(3)200粒大米重约4克，如果每人每天浪费一粒米，那末约458万人口的漳州市每天浪费大米（用科学计数法表示）

A．91600克 B．91.6?10克 C．9.16?10克 D．0.916?10 (4)一枚一角的硬币直径约为0.022 A．2.2?10?3345m，用科学技术法表示为

m B．2.2?10?2m C．22?10?3m D．2.2?10?1m

31（5)下列用科学计数法表示的算式：①2374.5=2.3745?10 ②8.792=8.792?10 ③0.00101=1.01?10?2 ④－0.0000043=?4.3?10?7中不正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

五、小结与反思：

15.3分式方程(1)

学教目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是

24

原方程的增根.

学教重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学教难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学教过程： 一、温故知新：

1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。

（3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

如解方程：

2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，

x?22x?3??1 4610060?得到方程：

20?v20?v.

像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？

解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。

如解方程：

10060= ???????? ①

20?v20?v去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v）（20-v），得 100（20-v）=60（20+v）????????② 解得 v=5

观察方程①、②中的v的取值范围相同吗？

① 由于是分式方程v≠±20,而②是整式方程v可取任何实数。

这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。

25

如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0.如果为0即为增根。

如解方程：

110=2。 x?5x?25分析：为去分母，在方程两边同乘最简公分母得整式方程 x?5?10

解得 x将x?x?5??x?5?，

?5

?5代入原方程的最简公分母检验，发现这时分母x?5和x2?25的值都是0，相应

的分式无意义。因此，x?5虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个方程无解。

二、学教互动 解方程：

5312 ??x?2xx?x?2?验根

[分析]找对最简公分母x(x-2),方程两边同乘x(x-2),把分式方程转化为整式方整式方程的解必须总结：解分式方程的一般步骤是：

1.在方程两边同乘以最简公分母，化成 方程； 2.解这个 方程；

3.检验：把 方程的根代入 。如果值 ，就是原方程的根；如果值 ，就是增根，应当 。

三、拓展延伸： 解方程 （1）

（3）

五、小结与反思：

5315?x?? （2） 1? xx?2x?4x?432463??2??0 （4） x?1x?1x?1x?4x?115.3分式方程(2)

学教目标：1．进一步了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

26

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不

是原方程的根.

学教重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根. 学教难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根. 学教过程： 一、温故知新：

1、前面我们已经学习了哪些方程 2、整式方程与分式方程的区别在哪里？ 3、解分式方程的步骤是什么？ 4、解分式方程 ⑴

二、学教互动： 1、解方程

11xx?2?? ⑵ x?12x?2x?6x?3x?14x3?2?1 2、 ?1?x?1x?1x?1?x?1??x?2? [分析]找对最简公分母,去分母时别忘漏乘1

x2?3xx2?4x?42、当x= 时代数式2与的值互为倒数。 2x?4x?9

三、随堂练习： ⑴

（3）

3x3x?1x?1?2???2 （2）x?2x?236127536??2?? （4） x?1x?1x?1x?1x?11?x227

四、反馈检测

23?的解是 ， x?3x?22a3??7的解，则a的值为 （2）若x=2是关于x的分式方程

x2x（1）方程

（3）下列分式方程中，一定有解的是（ ）

A．

1x12232?0 B．?? D． ???1 C．2x?3x?1x?1x?1x?1x?1x?1⑷解方程 ① ③

5、小结与反思：

2372x5????1 ②x?322x?62x?55x?2x311?2??2 ④ 2 x?33?xx?5x?6x?x?615.3分式方程(3)

28

学教目标：1．能进行简单的公式变形

2．熟练解分式方程

学教重点：解分式方程 学教难点：进行公式变形 学教过程：

一、 温故知新：填空：

21??0的解是 x?1x4?2xx?5⒉当x= 时，的值与的值相等

4?xx?4x?1?1的解。则a= ⒊已知x=3是方程

a?2x?7m??7有增根，则增根为 ，m的值为 。 ⒋如果关于x的方程

x?66?xx?1143?xx1?5 ②??x?1 ④?⒌下列关于x的方程① ③中是分式方程3xx?43ab?1⒈方程

的是 （填序号）。（ ）

41??3的解是 （ ） x?22?xA．x=－2 B．x=2 C．x=1 D．x=－1

6分式方程

x2?43?2?7将方程去分母化简后得到的方程是

x?1x?1A．x2?2x?3?0 B．x2?2x?5?0 C．x2?3?0 D．x2?5?0

8分式方程

x29出现增根，那么增根一定是 ??x?3xx?x?3?A．0 B．3 C．0或3 D．1

x32?2?有以下几种说法：①最简公分母为?x?3?；②转化为整式方x?3x?3程x?2?3，解得x?5；③原方程的解为x?3；④原方程无解，其中正确的说法的个数为（ ）

9对于分式方程

A．4个 B．3个 C．2个D．1个

10下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A．

1x?2??1 解：x?1??x?1??x?2??1 x?1x?1 29

x5??1 解：x?5?2x?5

2x?55?2xx?2x?2x2?2?C． 解：?x?2??x?2?x?x?2? x?2x?4x?221?D． 解：2?x?1??x?3 x?3x?1B．

二、学教互动： （1）在公式

（2）在公式

三、随堂练习： ⑴已知R? ⑶已知S

（5）若分式

111??RR1R2PP1?2V2V1中，R?R1,求出表示R2的公式

中，P2?0，求出表示V2的公式

rm?a?S (S?R)，求n；⑵已知e?nm?a（e??1），求a；

?RV(R?S?0),求VU?V（4）在公式V1?V0?gt中，已知V0、V1、g?0求t

3x?2的值为1，则x等于

5x?4四、反馈检测 解方程： （1）

（3）已知S

5、小结与反思：

63536??0 （2）??x?4x?1x?1x?11?x2

?RVx?3(R?S?0),求u （4）已知y?，试用含y的代数式表示x=

U?Vx?1 30

15.3分式方程应用(4)

学教目标：

1．理解分式方程意义．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法．了解分式方程解的检验方法． 2.熟练掌握解分式方程的技巧．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程， 3.渗透数学的转化思想． 学教重点：

(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 学教难点：检验分式方程解的原因 学教过程：

一、温故知新：P29-30

1、前面我们学习了什么方程？如何求解？写出求解的一般步骤。 2、判断下列各式哪个是分式方程．

1x1422?xx?4??2?2??2??0xx?2x?1x?1x?135（1） (2) (3) (4) x?22x?31?x1??1??262?x 3、解分式方程：x?2 4

4、解方程

小亮同学的解法如下： 解：方程两边同乘以x-2,得 1-x=-1-2(x-2) 解这个方程，得x=2 小亮同学的解法对吗？为什么？ 二、学教互动

例、一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，

31

与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（ ）千米/时， 逆流航行的速度为（ ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为（ ）小时， 逆流航行60千米所用的时间为（ ）小时。 三、随堂练习：

1、某梨园 m 平方米产梨n千克,则平均每平方米产梨_____千克.

2、为体验中秋时节浓浓的气息，我校小记者骑自行车前往距学校6千米的新世纪商场采访，10分钟后，小记者李琪坐公交车前往,公交车的速度是自行车的2倍，结果两人同时到达。求两车的速度各是多少？

自学提示：1）、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？ 2）、怎样设未知数，根据哪个关系？

3）、填表

自行车

公交车 路程（千米） 速度（千米／时） 时间（时） 4）、怎样列方程，根据哪个关系？

3、某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。

（1） 你能找出这一情境中的等量关系吗？ 2、根据这一情境你能提出哪些问题？ 你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？ 四、反馈检测：

1、某工厂原计划a天完成b件产品，若现在要提前x天完成，则现在每天要比原来多生产产品_____件

2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？

3、小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1。2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？ 五、小结与反思：

32

15.3分式方程应用(5)

学教目标：

1．会分析题意找出等量关系.

2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.

3．在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。

学教重点：利用分式方程组解决实际问题.

学教难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系. 学教过程：

一、温故知新：P29-30

1、分式方程的解法步骤是什么？完成 P36 第4题。

2、解决应用问题的一般步骤是什么？

3、解分式方程

二、学教互动：（自主探究） P29例3

分析：这是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程。

基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作

的时间单位为“月”.

等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 认真审题，然后回答下列问题： 1、怎样设未知数，根据哪个关系？

13?x?2x 33

2、题中有哪些相等关系？怎样列方程？ 三、随堂练习：

1.为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？

2. 学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；

又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.

3.课本P31 练习 第2题

4.课本P32习题 第3、5题 四、反馈检测：

1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？

2．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？

五、小结与反思：

34

15.3分式方程应用(6)

学教目标：

1、能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结。

2、通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决

问题的能力,和思维水平。

3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值。

学教重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析。

学教难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示, 并进行归纳总结 学教过程： 一、温故知新 1.解方程

3x?15x?24x?2??2?2362.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？

（1） ；（2） （3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案。 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？

4、轮船在顺水中航行20千米与逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度。

5. 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.

二、学教互动：（自主探究） P30例4

分析：这是一道行程问题的应用题，本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的

35

路程为s千米，基本关系是：速度=路程/时间。等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间。设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，正确地理解问题情境，分析其中的等量关系是设未知数、列方程的基础. 可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.

认真审题，然后回答下列问题：

1、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？

2、怎样设未知数，根据哪个关系？

3、题中有哪些相等关系？怎样列方程？

三、拓展延伸：

1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快1/5，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。

2、选择题

某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（ ）.

240240240240?5??5?x?4 （B）xx?4（A）x240240?5?x?4（C）x四、反馈检测：

1、联系实际问题，编写出关于分式方程的应用题，并解除应用题的答案。

（D）

240240?5?xx?4

2、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?

五、小结与反思：

36

15 分式复习（1）

学教目标：

1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。 2、经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程

3、发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。 学教重难点： 能将实际问题中的等量关系用分式方程表示、分式方程概念 学教过程： 一、 知识回顾：

2、分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以(或除以)___________ .分式的值________. 用式子表示: __________

3、通分关键是找____________________,约分与通分的依据都是:______________________ 4、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量。

1)你能找出这一问题中的等量关系吗？

（1）第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量 （2）第一块试验田的面积=第二块试验田的面积 总产量 （3）每公顷的产量=

土地面积

2)如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么第二块试验田每公顷的产量是 （

）kg。第一块试验田的面积为（ ），第二块试验田的面积为（ ）。 3)根据题意，可得方程：（ ） 二、知识应用

1、当x＝________时，分式

1没有意义． x－32、一种病菌的直径为0.0000036m，用科学记数法表示为 .

?4m2n211,?3axbx3. 分式的最简公分母为 . 4. 化简2m . )1(?2xy2xy5. 在括号内填入适当的单项式,使等式成立:

37

?20?1????6. 计算?2?1??????2005??= .

7、某班a名同学参加植树活动，其中男生b名(b

由女生完成，则每人需植树 棵． 8、已知a－6a+9与|b－1|互为相反数,则(9、若非零实数a，b满足4a+b=4ab，则

2

2

2

ab?ba)÷(a+b)=______。

ba=_____。

14xx2?y215x2, ,?x, 10、下列各式：?1?x?, 5??32xx

其中分式共有（ ）个。

A、2 B、3 C、4 D、5

11、使分式

55x?2从左至右变形成立的条件是（ ） x?3x?3xA、x<0 B、x>0 C、x≠0 D、x≠0且x≠3 12、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）

A．

13、计算

122 B． C．

x2?2x2?1x2 D．

1 x?24a1?a1m＋n1?⑴(＋)÷ ⑵ 2 ⑶

nmna?11?ax2?2x1?(1?)

x?1x1a2?114、先化简，再求值： 请你先化简，再选取一个你喜欢的数代入并求值: a?(1?a)?

2a?1

15、解下列方程

x?11?2xx?5 1）

x?216x?2?2?x?4x?2 2）x?216、 某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年1月份的水费是36元，已知小明家今年1月份的用水量比去年12月份的用水量多6m.求该市今年居民用水的单价。

17、某人第一次在商店买若干件物品花去5元,第二次再去买该物品时,发现每一打(12件)降价0.8元,他这一次购买该物品的数量是第一次的2倍,第二次共花去2元,问他第一次买的物品是多少件? 小结与反思

38

3

15 分式复习（2）

学教目标：

1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想。

2、理解分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根

的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系与区别。

3、经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解

决问题的能力，培养学生的应用意识。

学教重难点： 能将实际问题中的等量关系用分式方程表示、分式方程概念 学教过程：

xx1、 当x 时，分式2x?3无意义. 2、当x?_________时，分式的值为0

x?113、已知实数x满足4x-4x+l=O，则代数式2x+的值为________．

2x2

4、若分式

1

的值为整数，则整数x= 3-x

0.1x?0.5y5、 把分式x?1.5y的分子和分母中各项系数都化为整数为

.

.

?3?2?13(a)(bc)= . （结果只含有正整数指数形式）＝ 6、 化简

124816,?2,3,?4,5,??xxxx7、 观察给定的分式：x，猜想并探索规律，第10个分式是 ，

第n个分式是 .

8、 某工厂原计划a天完成b件产品，由于情况发生变化,要求提前x天完成任务，则现在每天要比原计划每天多生产 件产品.

9、 写一个分式 ，并举出一个生活中的实例解释 10、.已知两个分式：A?411B??，，其中x??2，则A与B 的关系是（ 2x?4x?22?x ）

A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A大于B 11、下列各式是最简分式的是（ ）

4A.8a

a2bB.a

1Ｃ.x?y

b?a22 D.b?a

0???3?1；②a2?a2?a；③12、李刚同学在黑板上做了四个简单的分式题：①

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??a????a?53?a2；④

4m?2?14m2.其中做对的题的个数有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

13、若3x?2y?0，则

x2?1y等于（ ）A.33 B.255 C.3 D.-3

14、甲班与乙班同学到离校15千米的公园秋游，两班同时出发，甲班的速度是乙班同学速度的1.2倍，结果比乙班同学早到半小时，求两个班同学的速度各是多少？若设乙班同学的速度是x千米／时，则根据题意列方程，得（ ）

1515115151????x2 B. 1.2xx2A.1.2x15、计算题

2?1

15151515??30??30xx C. 1.2x D. 1.2x

?1??4?30????2004??1?????3???3?

16、解方程：(1)

x24x?2?)? （

x?22?xx315x?33???1? (2) 23x?16x?2x?22?xx2?2x?1x?1?2?x?1。试说明不论x为何值，y的值不变。 17、已知y?2x?1x?x

18、 甲商品每件价格比乙商品贵6元，用90元买得甲商品的件数与用60元买得乙商品的件数相等，求甲、乙两种商品每件价格各是多少元？

19、为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁——昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？

小结与反思：

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