11.3每次试验只有两个可能结果的n次独立重复试验模型

11.3 每次试验只有两个可能 结果的n次独立重复试验模型

教学目标:

１． 理解相互独立事件．

２． 掌握概率的乘法定理、伯努利概率模型的计算公式． ３． 理解伯努利概率模型的特点． 教学重点：

概率的乘法定理、伯努利概率模型的计算公式． 教学难点：

对伯努利概率模型的理解及应用． 教学方法：

启发引导式、讲解式． 授课类型：新授课 课时安排：2课时 一、复习提问：

1、 在掷两次硬币的随机试验中，它的样本空间是什么． 2、 事件A的发生会不会影响事件B的发生． （引出课题） 二、新课引入：

给出事件A与事件B独立的定义：

在随机试验中，如果事件A的发生不会影响事件B发生的可能性大小，即在事件A发生的情况下，事件B发生的概率等于事

件B原来的概率，那么称事件A与事件B独立．

在掷硬币的随机试验中事件A与事件B独立，引导学生得出P(AB) 、P(A)、P(B) 之间的关系

P(AB) = P(A)P(B)．

三、探究新课：

（一）概率的乘法定理（幻灯片给出）

定理1（概率的乘法定理） 如果随机试验的样本点只有有限多个，那么事件A与B独立的充分必要条件是P(AB) = P(A)P(B)．

当随机试验的样本点有无穷多个时，如果事件A与事件B满足P(AB) = P(A)P(B)，那么称事件A与事件B独立．

定义 事件A与B独立当且仅当事件B与A独立，这时我们就说：事件A与事件B相互独立．

例1 在掷两次硬币的试验中，“至少有一次出现正面”的事件C与“至少有一次出现反面”的事件D是否独立？

解： C＝（正，正），（反，正?? ），（正，反）D＝（正，反），（反，正?? ），（反，反）?? CD＝C?D＝（正，反），（反，正）3321 于是 P（C）＝， P（D）＝， P（CD）＝＝．

4442 所以 P(C)P(D)?3391???， 44162所以 P(CD)?P(C)P(D)，

从而事件

C与事件D不独立．

例2 掷两次骰子，求下列事件的概率：

（1）“两次都出现6点（即刻有6个点的面向上）”的事件B； （2）“恰有一次出现6点”的事件C；

解 （1）用A1,A2分别表示“第一次掷骰子，出现6点”的事件，“第二次掷骰子，出现6点”的事件，则“两次都出现6点”的事件B＝A1?A2?A1A2 ． 显然，A1的发生不会影响A2发生的可能性大小，因此事件A1,A2独立，所以P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)．

由于掷一次骰子，各个面向上的可能性是一样的，因此

11111P(A1)?,P(A2)?，于是P(B)?P(A1)P(A2)???．

666636即“掷两次骰子，两次都出现6点”的概率是

1． 36（2） “恰有一次出现6点”可能是“第一次掷骰子出现6点，第二次掷骰子出现其他点”或者“第二次掷骰子出现6点，第一次掷骰子出现其他点” ．因此“恰有一次出现6点”的事件C为

C?A1A2?A1A2．

由于A1，A2独立，因此A1的发生也不会影响A2发生的可能性大小，从而A1与A2独立．同理，A1与A2独立．于是

1115P(A1 A2)?P(A1)P(A2)?(1?P(A2))?(1?)?666361115 P(A1A2)?P(A1)P(A2)?(1?P(A1))?(1?)?66636显然 A1A2与 A1A2互不相容，因此

P(C)?P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)555???363618

即“掷两次骰子，恰有一次出现6点的概率为

5． 181?点”的概率为????6?2在例2中，掷两次骰子，“两次都出现6，

“恰有一次出现6点”的概率为2?（． ?1?） 大家能猜出“没有6点出现”的概率是多少吗？

161611125p?1?()2?2??(1?)?．

66636定义 一般地，在随机试验中，如果n个事件A1,A2?，An

满足下述条件A1,A2?，An中任意s个（1 s n）事件同时发生，不会影响它们后面的每个事件发生的可能性大小，那么称事件A1,A2?，An相互独立．

定理 2 如果随机试验的样本点只有有限多个，那么n个事件

A1,A2?，An相互独立的充分必要条件是下列一组等式都成立：

P(AiAj)?P(Ai)P(Aj),1?i?j?n;

P(AiAjAl)?P(Ai)P(Aj)P(Al), 1?i?j?l?n;

????

P(AA?An）?P(A1)P(A2)?P(An) 12当随机试验的样本点有无穷多个时，直接把上式作为n个事件A1,A2?，An相互独立的定义．

掷三次骰子，“恰有一次出现6点”的事件B1的概率是

多少？“恰有两次出现6点”的事件B2的概率是多少？

用Ai表示“第i次掷骰子出现6点”的事件，其中i＝1，2，3.因为A1,A2,A3相互独立，则A1,A2,A3也相互独立．显然，“恰有一次出现6点”的事件B1＝A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3，则 P(B1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?????????15551555111=C3鬃66666666665()2 6“恰有两次出现6点”的事件B2＝A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3，则

P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)11515151115??????????C32?()2?， 66666666666“恰有三次出现6点”的事件B3的概率为

11115P(B3)?P(A1A2A3)????C33()3?()0．

66666“三次都不出现6点”的事件B0的概率为

55553010P(B0)?P(A1A2A3)????C3()?()．

66666 据上述公式，大家能得出“恰有

k次出现6点”的

事件Bk的概率公式吗？那掷n次骰子恰有k次出现6点的概率呢？

掷3次骰子恰有k次出现6点的概率．

掷n次骰子恰有k次出现6点的概率P(Bk)?Cnk????其中k＝0，1，?，n．

?1??5?

?6??6?kn?k

每次试验只有两个可能结果的n次独立重复试验模型，简称为伯努利概率模型．

（1） 它可以看成是在相同条件下重复进行的n次试验，每一次试验只有两个可能的结果：一个叫做“成功”，另一个叫做“失败”，“成功”的概率记做p， “失败” 的概率记做q（显然，q＝1－p）． （2） 事件A1,A2?，An相互独立，其中Ai表示第i次试验“成

功”的事件，i＝1，2，?，n.

具有“成功”概率为p，“失败”概率为q的n次独立重复试验，恰有k次成功的概率为

P(Bk)?CnkPkqn?k，

其中q＝1－p，k＝0，1，2，?，n．

例3 一大批产品，它的次品率为0.1，从这批产品中任意抽取3件来检查，恰有1次取到次品的概率是多少？

由于这批产品的次品率是0.1，所以“取到次品”的概率是0.1，“取得非次品”的概率是1-0.1=0.9,运用公式得，n＝3，k＝1，p＝0.1,q=0.9,则“恰有一次取得次品”得概率是

1P(B1)=C3创0.10.93-1=3创0.10.92=0.243.

例4 保险公司为了估计公司的利润，需要计算各种各样的概率．有一种人寿保险，现有1000人参加，如果一年中参加这种保险的每个人的死亡率为0.002,试求未来一年中，恰有2个人死亡的概率．

每次试验观察其中的1名保险者是否健在，死亡的概率为0.002，从而健在的概率为1-0.002=0.998.运用公式得，

n=1000,k=2,p=0.002,q=0.998,

得出未来一年中恰有2个人死亡的概率为

2 P(B2)=C1000创0.00220.9981000-2

1000?999??0.0022?0.998998?0.27 ．

2!四、小结

1、概率的乘法定理2、伯努利概率模型的特点及计算公式

五、作业 课本207页 A组 1、3、4；B组 2、3．

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