对数函数与性质教师版

2.2.2 对数函数及其性质

1．对数函数的概念

(1)定义：一般地，我们把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数的特征：

logax的系数：1??

特征?logax的底数：常数，且是不等于1的正实数

??logax的真数：仅是自变量x

判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y＝log7x是对数函数，而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．

【例1－1】函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝__________． 解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1． 又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1． 答案：1

【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y＝logax(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)； (5)y＝log6x． 解析：

序号 是否 理由 (1) × 真数是x，不是自变量x (2) × 对数式后加2 真数为x＋1，不是x，且系数为8，(3) × 不是1 (4) × 底数是自变量x，不是常数 (5) √ 底数是6，真数是x 答案：(5)

2．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象与性质 (1)图象与性质

a＞1 0＜a＜1 图 象

1

(1)定义域{x|x＞0} (2)值域{y|y?R} (3)当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 性 (4)当x＞1时，y＞0；当(4)当x＞1时，y＜0；质 0＜x＜1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (5)在(0，＋∞)上是增函(5)在(0，＋∞)上是数 减函数 谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．

(2)指数函数与对数函数的性质比较 y＝ax(a＞0，且ay＝logax (a＞0，且a解析式 ≠1) ≠1) 定义R (0，＋∞) 域 值域 (0，＋∞) R 过定性 (0,1) (1,0) 点 质 单调单调性一致，同为增函数或减函数 性 奇偶奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函性 数 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

点技巧 对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎， 若是底数小于1，左上穿点渐右下， 若是底数大于1，左下穿点渐右上， 绕点旋转底变化，顺时方向底变大， 可用直线y＝1来切，自左到右a变大．

【例2】如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从3，，，中取值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为( )

4335110

2

431

3510413B．3，，，

3105431C．，3，，

3510413D．，3，，

3105

A．3，，，

解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数＜C3的底数＜C2

的底数＜C1的底数．故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是3，，，

43351． 10答案：A

点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”，在x轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．

3．反函数

(1)对数函数的反函数

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

(2)互为反函数的两个函数之间的关系

①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (3)求已知函数的反函数，一般步骤如下： ①由y＝f(x)解出x，即用y表示出x； ②把x替换为y，y替换为x；

③根据y＝f(x)的值域，写出其反函数的定义域．

【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )

A．log2x B．

21 x2C．log1x D．2x－2

3

解析：因为函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x． 答案：A

【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为( ) A．(0，＋∞) B．(1,9]

C．(0,1) D．[9，＋∞) 解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9， 即函数f(x)的值域为(1,9]．

故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]． 答案：B

【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点( )

A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)

解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．

答案：A

4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值

对数函数的解析式y＝logax(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．

利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logam＝n，这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式

m＝k(k＞0，且k≠1)，则解得a＝k＞0．还可以直接写出a?m，再利用指数幂的运

算性质化简m．

例如：解方程loga4＝－2，则a－2

1nn1n11?＝4，由于4??，所以．又a＞0，所a????2?2?1?2?1以a?．当然，也可以直接写出a?42，再利用指数幂的运算性质，得

211??122a?4?(2)2?2?1?． 2【例4－1】已知f(ex)＝x，则f(5)＝( ) A．e5 B．5e C．ln 5 D．log5e

解析：(方法一)令t＝ex，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t，即f(x)＝ln x． 所以f(5)＝ln 5．

(方法二)令ex＝5，则x＝ln 5，所以f(5)＝ln 5． 答案：C

4

?【例4－2】已知对数函数f(x)的图象经过点?,2??，试求f(3)的值． 9??1分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出． 解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，

2???∵对数函数f(x)的图象经过点??,2?，∴f???loga?2．∴a＝． 99991111??????1??1?1?∴a＝????????．∴f(x)＝log1x．

3?9??3??3???122121?∴f(3)＝log 13?log1???＝－1．

33?3??1【例4－3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)＝，试求b的值．

解：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则它的反函数为y＝ax(a＞0，且a≠1)，由条件知a2＝9＝32，从而a＝3．于是f(x)＝log3x，则f(b)＝log3b＝，解得b＝

3?3． 1212125．对数型函数的定义域的求解

(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y＝logaf(x)的定义域时，应首先保证f(x)＞0．

(3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零；

②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；

⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 【例5】求下列函数的定义域．

(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)； (3)y?log0.5(4x?3)．

分析：利用对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义求解． 解：(1)要使函数有意义，则1－x＞0，解得x＜1， 所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x＜1}．

5

?5x?4>0,42x?1>0,(2)要使函数有意义，则?解得x＞且x≠1， ?5?2x?1?1,??所以函数y＝log(2x－1)(5x－4)的定义域是??,1??(1，＋∞)． 5??4?4x?3?0,3(3)要使函数有意义，则?解得＜x≤1，

4?log0.5(4x?3)?0,?3?所以函数y?log0.5(4x?3)的定义域是?x

(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．

(2)对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)这两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解．

(3)对于函数y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用换元法，设logax＝t，则函数f(t)(t?R)的值域就是函数f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域．

注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．

(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围． 【例6－1】求下列函数的值域：

(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log1(3＋2x－x2)．

2解：(1)∵x＋4≥4，∴log2(x＋4)≥log24＝2． ∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．

(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4． 又y＝log1u在(0，＋∞)上为减函数，∴log1u≥－2．

2222

∴函数y＝log1(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．

2【例6－2】已知f(x)＝2＋log3x，x?[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．

分析：先确定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．

解：∵f(x)＝2＋log3x，x?[1,3]，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]． 令t＝log3x(x?[1,3])．

6

∵t＝log3x在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t≤1．

从而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数，

∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13．

综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为13． 7．对数函数的图象变换及定点问题

(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)过定点(1,0)，即对任意的a＞0，且a≠1都有loga1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．

对于函数y＝b＋klogaf(x)(k，b均为常数，且k≠0)，令f(x)＝1，解方程得x＝m，则该函数恒过定点(m，b)．方程f(x)＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．

(2)对数函数的图象变换的问题

向左(b>0)或向右(b<0)

①函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――----------------→函数y＝loga(x＋b)(a平移|b|个单位长度＞0，且a≠1)

向上(b>0)或向下(b<0)

②函数y＝logax(a＞0，且a≠1)――---------------→函数y＝logax＋b(a＞0，平移|b|个单位长度且a≠1)

当x>0时，两函数图象相同

③函数y＝logax(a＞0，且a≠1)当x<0时，将―----------------―→y轴对称函数y＝x>0时的图象关于loga|x|(a＞0，且a≠1)

保留x轴上方的图象

④函数y＝logax(a＞0，且a≠1)同时将――----------------------------------------→函x轴下方的图象作关于x轴的对称变换数y＝|logax|(a＞0，且a≠1) 【例7－1】若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为__________．

解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，

∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)，得2＝loga(3＋b)＋c． 又∵当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立， ∴c＝2．∴loga(3＋b)＝0． ∴b＝－2． 答案：－2,2

【例7－2】作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象． 解：(第一步)作函数y＝log2x的图象，如图①；

(第二步)将函数y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象，如图②；

(第三步)将函数y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函

7

数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③；

(第四步)将函数y＝|log2(x＋1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．

8．利用对数函数的单调性比较大小

两个对数式的大小比较有以下几种情况： (1)底数相同，真数不同．

比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．

要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．

(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．

(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．

(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．

注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论． 【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．

(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.141．

分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．

解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数， 所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32． (2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，

8

所以log23＞log0.32．

(3)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数， 则有logaπ＞loga3.141；

当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数， 则有logaπ＜loga3.141．

综上所得，当a＞1时，logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.141．

【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较loga，logb，logba，logab的大小． 分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断． 解：∵b＞a＞1，∴0＜＜1．

∴loga＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，即0＜logba＜1．

a2bbb由于1＜＜b，∴0＜logb＜1．由logba－logb＝logb，

baaaa22

∵a＞b＞1，∴＞1．

ba2b∴logb＞0，即logba＞logb．

baba∴logab＞logba＞logb＞loga． ababababba9．利用对数函数的单调性解对数不等式

(1)根据对数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有

①logaf(x)＝logag(x)?f(x)＝g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；

②当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)?f(x)＞g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)； ③当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)?f(x)＜g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)． (2)常见的对数不等式有三种类型：

①形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．

②形如logaf(x)＞b的不等式，应将b化为以a为对数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解．

③形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．

④形如f(logax)＞0的不等式，可用换元法(令t＝logax)，先解f(t)＞0，得到t的取值范围．然后再解x的范围． 【例9－1】解下列不等式：(1)log1x?log1(4?x)；

77(2)logx(2x＋1)＞logx(3－x)．

9

?x>0,解：(1)由已知，得??4?x>0,解得0＜x＜2．

?x<4?x,?所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

?2x?1>3?x,(2)当x＞1时，有??2x?1>0,解得1＜x＜3；

?3?x>0,??2x?1<3?x,2?当0＜x＜1时，有?2x?1>0,解得0＜x＜．

3?3?x>0,?所以原不等式的解集是?x0

??2?【例9－2】若?log?a?＜1，求a的取值范围． 3??2?23?2122?解：∵?＜1，∴－1＜＜1，即loglog?log?logaa． logaaa?a?3a33??2(1)∵当a＞1时，y＝logax为增函数， ∴??a．∴a＞，结合a＞1，可知a＞． (2)∵当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，∴>>a． ∴a＜，结合0＜a＜1，知0＜a＜． ∴a的取值范围是?a0?． ??233?2?23231a231a23323210．对数型函数单调性的讨论

(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．

(2)关于形如y＝logaf(x)一类函数的单调性，有以下结论： 函数y＝logaf(x)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)＞0)的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1时相反．

例如：求函数y＝log2(3－2x)的单调区间．

分析：首先确定函数的定义域，函数y＝log2(3－2x)是由对数函数y＝log2u和一次函数u＝3－2x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u＝3－2x的单调性、值域入手，并结合函数y＝log2u的单调性考虑．

?3?

解：由3－2x＞0，解得函数y＝log2(3－2x)的定义域是?－∞，?．

2??

10

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