参数模型功率谱估计

14.1 平稳随机信号的参数模型

经典功率谱估计方法的方差性能较差，分辨率较低。 方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中 的求均值和极限的运算。 分辨率低的原因，对周期图法是假定了数据窗以外的 数据全为零，对自相关法是假定了在延迟窗以外的自 相关函数全为零。

思路： (1)假定所研究的过程x(n)是由一个输入序列 u(n)激励一个线性系统H(z)的输出。

(2)由已知的x(n),或其自相关函数rx(m)来估 计H(z)的参数 (3)由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱

对图1所示系统， u(n)和 x(n)总有如下关系：p q

x(n) ak x n k bk u n k ——(1.1)及k 1 k 0

x n h k u n k ——(1.2)k 0

对上面两式两边分别取Z变换，并令b0=1,则有B z H z ——(1.3) A z

其中，

A z 1 ak z kk 1 q

p

B z 1 bk z kk 1

H z h k z kk 0

为了保证H(z)是一个稳定的且是最小相位系统， A(z)、B(z)的零点都应在单位圆内。

图1所示系统中，设u(n)是一个方差为σ2的白 噪声序列，可知输出序列x(n)的功率谱为：Px e j

2 B e j B* e j A e* j

A e j

2 | B e j |2| A ej

|

2

——(1.5)

对(1)式分三种情况讨论： Case1:b1,b2, bq全为零，则(1.1)式、 (1.3)式及(1.5)式分别变为x(n) ak x n k u n , (1.6)k 1 p

此三式给出的模型即 为自回归(autoregressive)模型， 简称AR模型，是一个 全极点的模型。 “自回归”含义：该 模型现在的输出是现 在的输入和过去p个输 出的加权和。

1 H (z) A(z) Px (e j )

1 1 ak z kk 1 p

, 1.7

2| 1 ak e j k |2k 1 p

, 1.8

Case2:a1,a2, ap全为零，则(1.1)式、 (1.3)式及(1.5)式分别变为x(n) bk u (n k) u(n) bk u (n k), b0 1k 0 k 1 q q

H (z) B(z) 1 bk z kk 1 q

q

Px (e j ) 2 |1 bk e j k |2k 1

此三式给出的模型称为移动平均(movingaverage)模型，简称MA模型，它是一个全零 点的模型。

Case3:若a1,a2, ap;b1,b2, bq不全为零， 则(1.1)式给出的模型称为自回归移动平均 模型，简称ARMA模型。显然，ARMA模型是一个 既有极点，又有零点的模型。 功率谱大致可以分为三种，一种“平滑”,即 白噪声的谱；另一种是“线谱”,这是由一个 或多个纯正弦所组成的信号的功率谱，这两种 是极端的情况；介于二者之间的

是既有峰点又 有谷点的谱，这种谱称为ARMA谱。显然，由于 ARMA模型是一个极零模型。易于反映功率谱中 的峰值和谷值。AR模型易于反映谱中的峰值， MA模型易于反映谱中的谷值。

14.2

AR模型的正则方程与参数计算

将(1.6)式两边同乘以x(n+m),并求均值，得 p rx m E x n x n m E ak x n m k u n m x n k 1 rx m ak E x n m k x n E u n m x n k 1 p

于是

rx m ak rx m k rxu m , 2.1 k 1

p

由于u(n)是方差为σ2的白噪声，由(1.2)式， 有 rxu m E u n m x n

E u n m h k u n k k 0

2

h k m k h m 2 k 0

即

E u n x n m

0, m 0 h 0 , m 0, 2.2 2

H z h 0 ,在(1.7)式中， 由Z变换的定义, lim z 当 z 时，h(0)=1。结合(2.1)式及 (2.2)式，有

ak rx m k , m 1

p

rx(m)=

k 1

ak rx k 2 , m 0k 1

p

(2.3)

应用了自相关函数的偶对称性， 即rx(m)=rx(-m)

把上式写成矩阵形式rx 1 rx 0 rx p 1 2 1 rx p a 0 1 ——(2.4) rx p 1 0 a p rx 0

rx 0 rx 1 r p x

上述两式即为AR模型的正则方程，又称YuleWalker方程。

14.3 AR模型参数估计的典型算法

1.自相关法 自相关法是AR模型参数求解中最简单的一种方 法。L-D递推算法是在满足前向预测均方误差 最小的前提下,先求得观测数据的自相关函数, 然后利用YuleWalker 方程的递推性质求得模 型参数,进而求得功率谱的估值。它是模型阶 次逐次加大的一种算法,即先计算阶次m=1时的 预测系数am(k)=a1(1)和σ12,再计算m=2时的 a2(1),a2(2)和σ22,按此依次计算到阶次m=p时 的ap(1),ap(2) , , ap(p)及σp2,当σp2满足 精度要求时即可停止递推。

自相关法递推公式

2.Burg算法： 用Burg算法进行功率谱估计时令前后向预测 误差功率之和最小,即对前向序列误差和后向 序列误差前后都不加窗,使用LevinsonDurbin 递推可快速的求解AR系数。Burg算法与自相 关法不同,它是使序列x(n)的前后向预测误差 功率之和:

最小，在上式中,当阶次由1至p时, epf(n)和epb(n) 有以下

的递推关系:

可知pbfb仅为km的函数，令

,得

再利用Levinson2Durbin递推算法可得AR模 型系数:

Burg算法是建立在数据基础之上的,避免了 先计算自相关函数从而提高计算速度;是较 为通用的方法,计算不太复杂,且分辨率优 于自相关法,但对于白噪声加正弦信号有时 会出现谱线分裂现象

3.改进协方差算法： 同Burg算法一样,改进协方差(修正协方差) 算法进行功率谱估计时令前后向预测误差 功率之和最小,即对前后向预测误差都不加 窗,但得到的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵, 因此正则方程不能用Levinson递推算法求 解。Marple于1980年提出了实现协方差方 程求解的快速算法,大大提高了谱估计的性 能。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zprj.html