二维随机变量函数的分布

第三节 二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式

Z?g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.

在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y;

(ii) Z?max{X,Y}和Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.

注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.

内容分布图示

★ 引言

★ 离散型随机向量的函数的分布

★ 例1 ★ 例2

★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 正态随机变量的线性组合

★ 例8 ★ 例9 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 最大、最小分布 ★ 例13 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3

★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例12 ★ 例14

内容要点：

一、 离散型随机变量的函数的分布

设(X,Y)是二维离散型随机变量, g(x,y)是一个二元函数, 则g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随机变量, 如果(X,Y)的概率分布为

P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?)

设Z?g(X,Y)的所有可能取值为zk,k?1,2,?, 则Z的概率分布为

P{Z?zk}?P{g(X,Y)?zk}?g(xi,yj)?zk?P{X?x,Y?y}, k?1,2,?,

ij

二、 连续型随机变量的函数的分布

设(X,Y)是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为f(x,y), 令g(x,y)为一个二元函数, 则g(X,Y)是(X,Y)的函数.

可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z?g(X,Y)的分布.

a) 求分布函数FZ(z),

FZ(z)?P{Z?z}?P{g(X,Y)?z}?P{(X,Y)?DZ}???f(x,y)dxdy.

DZ其中, DZ?{(x,y)|g(x,y)?z}.

b) 求其概率密度函数fZ(z), 对几乎所有的z, 有

?(z). fZ(z)?FZ定理1 设(X1,X2)是具有密度函数f(x1,x2)的连续型随机向量.

(1) 设y1?g1(x1,x2),y2?g2(x1,x2)是R2到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换:

x1?h1(y1,y2),x2?h2(y1,y2);

(2) 假设变换和它的逆都是连续的;

?h(3) 假设偏导数i(i?1,2,j?1,2)存在且连续;

?yi(4) 假设逆变换的雅可比行列式

?h1?yJ(y1,y2)?1?h2?y1?h1?y2?0, ?h2?y2即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的. 则Y1,Y2具有联合密度

w(y1,y2)?|J|f(h1(y1,y2),h2(y1,y2)).

22定理2 设X,Y相互独立，且X~N(?1,?1). 则Z?X?Y仍然服从正态), Y~N(?2,?2分布，且

22Z~N(?1??2,?1??2).

更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,

即有

定理3 若Xi~N(?i,?i2)(i?1,2,?,n),且它们相互独立，则对任意不全为零的常数a1,a2,?,an，有

n?n2?? ?aiXi~N?a?,a???ii?ii?.

i?1i?1?i?1?n

三、 M?max(X,Y)及N?min(X,Y)的分布

设随机变量X,Y相互独立,其分布函数分别为FX(x)和FY(y), 由于M?max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z, 故有

FM(z)?P{M?z}?P{X?z,Y?z}

?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z);类似地, 可得N?min(X,Y)的分布函数

FN(z)?P{N?z}?1?P{N?z}?1?P{X?z,Y?z}

?1?P{X?z}P{Y?z}?1?[1?FX(z)][1?FY(z)].

例题选讲：

离散型随机变量的函数的分布

例1 (讲义例1) 设随机变量(X,Y)的概率分布如下表

Y 0 1 ?1 X 0.2 0.15 0.1 ?1 2 0.1 0 0.1 (2)Z?XY. 求二维随机变量的函数Z的分布: (1)Z?X?Y;解 由(X,Y)的概率分布可得

2 0.3 0.05 pij (X,Y) Z?X?Y Z?XY 0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 (2,0) 2 0 0.1 (2,1) 3 2 0.05 （2,2） 4 4 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,-1) -2 1 -1 0 0 -1 1 -2 1 -2 与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把Z值相同项对应的概率值合并可得: (1)Z?X?Y的概率分布为

Z -2 -1 0 1 2 3 4 0.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05 pi (2)Z?XY的概率分布为 Z -2 0.4 -1 0.1 0 0.15 1 0.2 2 0.1 4 0.05 pi . 例2 设X和Y相互独立, X~b(n1,p),Y~b(n2,p), 求Z?X?Y的分布. 解

这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之. 若X~b(n1,p), 则X是在n1次

独立重复试验中事件A出现的次数, 每次试验中A出现的概率都为p.

同样, Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数, 每次试验中A出现的概率为p,故Z?X?Y是在n1?n2次独立重复试验中事件A出现的次数, 每次试验中A出现的概率为

p, 于是Z是以(n1?n2,p)为参数的二项随机变量, 即Z~b(n1?n2,p).

例3 (讲义例2) 若X和Y相互独立, 它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布, 证明

Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布.

jie??2?2e??1?1i?0,1,?;P{Y?j}?j?0,1,? 解 P{X?i}?i!j!由离散型卷积公式得 P{Z?r}??P{X?i,Y?r?i}

i?0rr??i?0e??1i?1i!?e??2e?(?1??2)?(r?i)!r!?i?r2?i?0rr!ir?i?1?2

i!(r?i)!e?(?1??2)?(?1??2)r,r?0,1,?

r!即Z服从参数为?1??2的泊松分布.

连续型随机变量的函数的分布

例4 (讲义例3) 设随机变量X与Y相互独立, 且同服从[0,1]上的均匀分布, 试求Z?|X?Y|的分布函数与密度函数.

解

先求Z的分布函数

FZ(x)?P{|X?Y|?z}

0,z?0????P{?z?X?Y?z},0?z?1 ?1,z?1?0,z?0????1?(1?z)2,0?z?1, ?1,z?1?于是Z?|X?Y|的概率密度为

?2(1?z),0?x?1?(z)??fZ(z)?FZ.

0,其它?

例5 设(X1,X2)的密度函数为f(x1,x2). 令

Y1?X1?X2,Y2?X1?X2

试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.

和的分布：设X和Y的联合密度为f(x,y), 求Z?X?Y的密度.

卷积公式: 当X和Y独立时, 设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y), 则上述两式化为

fZ(z)??fX(z?y)fY(y)dy????

fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx??以上两个公式称为卷积公式.

解

令y1?x1?x2,y2?x1?x2, 则逆变换为x1?J(y1,y2)?1/21/2y1?y2y?y2,x2?1, 22??1/2?0,

1?y1?y2y1?y2?f?,?. 2?22?1/2?1/2故由定理1知, Y1和Y2的联合密度函数为w(y1,y2)?

例6 设X和Y是两个相互独立的随机变量. 它们都服从N(0,1)分布, 其概率密度为

fX(x)?fY(y)?求Z?X?Y的概率密度.

12?12?e?xe2/2,???x??,?y2/2

,???y??.解 由卷积公式得

fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx

x2???e2??(z?x)2??e2?12??dx?12?z2?e4??z?????x???2?2??edx

z21?4t?x?z/2e2?z2?????e?t21?41?4dt?e??e, 即Z~N(0,2).

2?2?z2

例7 (讲义例5) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为

?x??xe,当x?0时, f(x)???0,其它.?如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.

解 分别用X和Y表示第一、二周的需求量 则

?xe?x,x?0?ye?y,y?0fX(x)??, fY(y)??,

其它其它?0,?0,从而两周需求量Z?X?Y, 利用卷积公式计算.

当z?0时, 若x?0, 则z?x?0,fY(z?x)?0; 若x?0, 则fX(x)?0, 从而fZ(z)?0; 当z?0时, 若x?0, 则fX(x)?0; 若z?x?0, 即z?x, 则fY(z?x)?0, 故

??????z3?z3z?fX(x)fY(z?x)dx?xe?x(z?x)e?(z?x)dx?e?z, 从而fZ(z)??6e,z?0.

06?其它?0,?z

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