2019年中考数学第8讲 一元一次不等式（组）

2019年中考数学第8讲 一元一次不等式(组)

命题点1 一元一次不等式(组)的解法

??2x－3>0，

1．(2012·河北T4·2分)下列各数中，为不等式组? 的解的是(C)

?x－4<0?

A．－1 B．0 C．2 D．4

2．(2013·河北T21·9分)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊕5＝2(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.

(1)求(－2)⊕3的值；

(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．

解：(1)(－2)⊕3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11. (2)∵3⊕x<13，∴3(3－x)＋1<13. ∴x>－1.

在数轴上表示如图所示． 命题点2 一元一次不等式的应用

3．(2011·河北T22·8分)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．

(1)问乙单独整理多少分钟完工？

(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 解：(1)设乙单独整理x分钟完工，根据题意，得

2020＋20＋＝1.解得x＝80. 40x

经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙单独整理80分钟完工． (2)设甲整理y分钟，根据题意，得 30y

＋≥1.解得y≥25. 8040

答：甲至少整理25分钟才能完工.

重难点1 一元一次不等式(组)的解法

?3x－5≤1，①

?

(2018·自贡)解不等式组?13－x并在数轴上表示其解集．

<4x，②??3

【自主解答】解：解不等式①，得x≤2.

解不等式②，得x＞1.

∴不等式组的解集为1＜x≤2. 将其表示在数轴上，如图所示．

5x－1

【变式训练1】(2018·桂林)解不等式

3

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解：去分母，得5x－1＜3x＋3. 移项，得5x－3x＜3＋1. 合并同类项，得2x＜4. 系数化为1，得x＜2.

将不等式的解集表示在数轴上如下：

1??2（x＋1）≤2，①

【变式训练2】(2018·黄石)解不等式组?并求出不等式组的整数解之和．

x＋2x＋3??2≥3，②

解：解不等式①，得x≤3.

解不等式②，得x≥0.

则不等式组的解集为0≤x≤3.

所以不等式组的整数解之和为0＋1＋2＋3＝6.

方法指导先解出不等式组中的各个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”写出不等式组的解集． 易错提示

1.去分母时，不等式两边同乘一个适当的数，不要忘记将多项式分子作为一个整体加上括号，也不要漏乘不含分母的整数项．

2.在数轴上表示解集时，注意实心圆点与空心圆圈的区别． 重难点2 一元一次不等式的实际应用

(2018·郴州)郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元． (1)A、B两种奖品每件各多少元？

(2)现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？

【思路点拨】 (1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，列方程组求解可得；(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100－a)件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过900元列不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．

【自主解答】 解：(1)设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意，得

???20x＋15y＝380，?x＝16，?解得? ?15x＋10y＝280.?y＝4.??

答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．

(2)设A种奖品购买a件，则B种奖品购买(100－a)件，根据题意，得 125

16a＋4(100－a)≤900.解得a≤. 3

∵a为整数，∴a≤41.

答：A种奖品最多购买41件．

【变式训练3】 一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问售货员至多打几折出售此商品？

解：设应打x折，根据题意，得

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750×0.1x－500≥500×5%.解得x≥7. 答：售货员至多打7折出售此商品． 方法指导

1．求实际问题中的“至多”“至少”这类问题，常采用不等式锁定范围，即先根据题目的问题，直接设出未知数，列出不等式，求出相应的范围，再根据题目要求，求出相应的整数解或正整数解． 2．解决不等式实际应用问题时，常用关键词与不等号的对比表：

常用关键词 大于、多于、超过、高于 小于、少于、不足、低于 至少、不低于、不小于 至多、不超过、不高于、不大于 符号 ＞ ＜ ≥ ≤

1．(2018·宿迁)若a＜b，则下列结论不一定成立的是(D)

A．a－1＜b－1

B．2a＜2b

abC.< 33

D．a

2

2

2．(2018·保定莲池区模拟)不等式2x≥x－1的解集在数轴上表示正确的是(B)

??x＋3>2，

3．(2018·保定竞秀区模拟)下列各数是不等式组?的解是(D)

?1－2x<－3?

A．0 B．－1 C．2 D．3

4．(2018·孝感)下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是(B)

??x－1<3A.? ?x＋1<3?

??x－1<3

B.? ?x＋1>3???x－1>3

C.? ?x＋1>3???x－1>3

D.? ?x＋1<3?

5．(2018·唐山乐亭县七年级期末)若x＋a>ax＋1的解集为x>1，则a的取值范围为(A)

A．a<1 B．a>1 C．a>0 D．a<0

?x－a<－1，6．(2018·河北模拟)已知不等式组?1－x

≤1??3

?

的解集如图所示(原点没标出)，则a的值为(D)

A．－1 B．0 C．1 D．2

7．(2018·张家口一模)已知a<0

??x>－aA.? ?x<－b?

??x>－b

B.? ?x<－a?

??x>a

C.? ?x<－b?

??x>－a

D.? ?x

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8．(2018·山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为55cm.

1＋x2x＋1

9．(2018·唐山丰润区一模)小明解不等式－≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并

23写出正确的解答过程．

解：去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.① 去括号，得3＋3x－4x＋1≤1.② 移项，得3x－4x≤1－3－1.③ 合并同类项，得－x≤－3.④ 两边都除以－1，得x≤3.⑤ 解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下： 去分母，得3(1＋x)－2(2x＋1)≤6. 去括号，得3＋3x－4x－2≤6. 移项，得3x－4x≤6－3＋2. 合并同类项，得－x≤5. 两边都除以－1，得x≥－5.

?2x－3≥x＋1，①

?

10．解不等式组?并在数轴上表示出它的解集． 1

x－2＞（x＋1），②?2?

解：解不等式①，得x≥4.

解不等式②，得x>5.

∴原不等式组的解集为x>5. 不等式组的解集在数轴上表示：

11．(2018·唐山乐亭县三中三模)已知有理数－3，1.

(1)在如图所示的数轴上，分别用A，B表示出－3，1这两个点；

(2)若|m|＝2，数轴上表示m的点介于点A，B之间，在点A右侧且到点B距离为5的点表示的数为n.解关于x的不等式mx＋4

解：(1)如图所示．

(2)由题意，得m＝－2，n＝6. －2x＋4<6. －2x<6－4. －2x<2. x>－1.

表示在数轴上如图．

12．如图的宣传单为莱克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并

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印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？

解：设妮娜需印x张卡片，根据题意，得

1

15x－1 000－5x＞0.2(1 000＋5x)，解得x＞133.

3

∵x为整数，∴x≥134.

答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．

13．(2018·荆门)已知关于x的不等式3x－m＋1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是(A)

A．4≤m<7 B．4

14．(2018·石家庄二模)若a－<5

2

A．43 11

提示：5＜a＜. 2

B．42

C．33

D．32

?x－m＜0，?

15．(2017·恩施)已知关于x的不等式组?无解，那么m的取值范围为(A)

?3x－1＞2（x－1）?

A．m≤－1

C．－1＜m≤0 B．m＜－1 D．－1≤m＜0

??x>a，

16．(2018·保定二模)如果不等式组?恰有3个整数解，则a的取值范围是(C)

?x<2?

A．a≤－1

C．－2≤a<－1 B．a<－1

D．－2

x＋k≤5－2x，??

17．(2018·邢台二模)已知关于x，y的不等式组? 3

4（x－）≥x－1.?4?

2

(1)若该不等式组的解为≤x≤3，求k的值；

3

(2)若该不等式组的解中整数只有1和2，求k的取值范围．

?x＋k≤5－2x，①

?

解：(1)? 3

4（x－）≥x－1，②?4?

5－k2

由①，得x≤，由②，得x≥. 33

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2

∵不等式组的解集为≤x≤3，

3∴

5－k

＝3，解得k＝－4. 3

5－k

(2)由题意2≤<3，解得－4

3

18．(2018·河北中考预测)如图，在数轴上有A，B，C，D四点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，点D对应的数为t，若CD＝4，且在数轴上移动．

(1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧，求a的取值范围，并把解集表示在数轴上； (2)当t为何值，且是整数时，点B落在C，D两点之间．

解：(1)∵AB＝3－a，2AB表示的数始终位于点A的左侧， ∴2(3－a)2. ∵a<3，

∴a的取值范围为2

(2)∵CD＝4，且当点B落在C，D两点之间，

??t>3，∴?解得3

∵t是整数，

∴t可以取4，5或6.

?x>－5，?

19．(2018·河北中考预测)已知x＝－2是不等式组?的一个解，则a的取值范围为a<5．

?x<－a＋3?

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