物理学(马文蔚第五版)6-8章磁场电磁感应习题与解答

第六章 静电场中的导体与电介质

6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）

（A） 升高 （B） 降低 （C） 不会发生变化 （D） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。 6 －2 将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ） （A） N上的负电荷入地 （B）N上的正电荷入地 （C） N上的所有电荷入地 （D）N上所有的感应电荷入地

分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N在哪一端接地无关。因而正确答案为（A）。

6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ） （A）E?0,V?（B）E?q 4πε0dqq,V?

4πε0d24πε0d（C）E?0,V?0

（D）E?qq ,V?4πε0d24πε0R

分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A）。

6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷

（B） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零

（C） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷

（D） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关

分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。因而正确答案为（E）。 6 －5 对于各向同性的均匀电介质，下列概念正确的是（ ） （A） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍

（B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的1/εｒ倍

（C） 在电介质充满整个电场时，电介质中的电场强度一定等于没有电介质时该点电场强度的1/εｒ倍

（D） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的εｒ倍 分析与解 电介质中的电场由自由电荷激发的电场与极化电荷激发的电场迭加而成，由于极化电荷可能会改变电场中导体表面自由电荷的分布，由电介质中的高斯定理，仅当电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，在电介质中任意高斯面S 有

1??1?χE?dS?E?dS?qi ??S?S0ε0i即E ＝E０/εｒ，因而正确答案为（A）。

6 －6 不带电的导体球A 含有两个球形空腔，两空腔中心分别有一点电荷qb 、qc ，导体球外距导体球较远的r 处还有一个点电荷qd （如图所示）。试求点电荷qb 、qc 、qd 各受多大的电场力。

分析与解 根据导体静电平衡时电荷分布的规律，空腔内点电荷的电场线终止于空腔内表面感应电荷；导体球A 外表面的感应电荷近似均匀分布，因而近似可看作均匀带电球对点电荷qd 的作用力。

Fd??qb?qc?qd4πε0r2

点电荷qd 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零，点电 荷qb 、qc处于球形空腔的中心，空腔内表面感应电荷均匀分布，点电荷qb 、qc受到的作用力为零.

6 －7 一真空二极管，其主要构件是一个半径R１ ＝5.0×10m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径R２ ＝4.5×10m 的同轴圆筒形阳极．阳极电

－3

－4

势比阴极电势高300V，阴极与阳极的长度均为L ＝2.5×10

－２

m．假设电子

从阴极射出时的速度为零．求：（１） 该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（２）电子刚从阳极射出时所受的力．

解 （1） 电子到达阳极时，势能的减少量为

ΔEep??eV??4.8?10?17J

由于电子的初始速度为零，故

Eek?ΔEek??ΔEep??4.8?10?17J

因此电子到达阳极的速率为

v?2Eek2eV??1.03?107m?s-1 mmE??λer 2πε0r（2） 两极间的电场强度为

两极间的电势差

V??E?dr??R1R2λλR??eln2 2πε0r2πε0R1负号表示阳极电势高于阴极电势．阴极表面电场强度

E??电子在阴极表面受力

λVer?e

R2r2πε0R1R1lnR1F??eE?4.37?10?14erN

这个力尽管很小，但作用在质量为９.1１ ×10加速度可达重力加速度的5 ×105 倍．

１

－3１

kg 的电子上，电子获得的

6 －8 一导体球半径为R１ ，外罩一半径为R2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V０ ．求此系统的电势和电场的分布． 解 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高

2斯面，由高斯定理E?dS?E?r??4πr?E?r????q/ε0，根据不同半径的

高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为 r ＜R１时， E1?r??0

q

4πε0r2Q?qr＞R2 时， E2?r?? 24πε0rR１＜r＜R2 时，E2?r??由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布． r ＜R１时，

V1??E?dl??E1?dl??E2?dl??E3?dl?rrR1R2?R1R2?qQ ?4πε0R14πε0R2R１＜r＜R2 时，

V2??E?dl??E2?dl??E3?dl?rrR2?R2?qQ ?4πε0r4πε0R2r＞R2 时，

V3??E3?dl?r?q?Q 4πε0r也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（r ＜R１）

V1?qQ ?4πε0R14πε0R2qQ? 4πε0r4πε0R2在导体球和球壳之间（R１＜r＜R2 ）

V2?在球壳外（r＞R2）

Rq??dq???q

r6 －14 地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球－电离层系统的电容．设地球与电离层之间为真空．解 由于地球半径R1 ＝6.37×10 m；电离层半径R2 ＝1.00×10 m ＋R1 ＝6.47 ×10 m，根据球形电容器的电容公式，可得

6

5

6

C?4πε0R1R2?4.58?10?2R2?R1F

6 －15 两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.50 m，导线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略．求输电线单位长度的电容． 解 由教材第六章6 －4 节例3 可知两输电线的电势差

U?因此，输电线单位长度的电容

λd?R lnπε0Rλd?Rd?πε0/ln?πε0/ln URR代入数据 C?5.52?10?12F

C?6 －16 电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底 板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm ，两金属片之间的距离是0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？

2

解 按下按键时电容的变化量为

?11?ΔC?ε0S???

?dd0?按键按下的最小距离为

2ΔCd0minΔdmin?d0?d??0.152mm

d0ΔC?ε0S6 －17 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示，一半径为R1 的长直导线作为一个电极，半径为R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率εｒ ≈1 的气体．当电离粒子通过气体时，能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流，从而可测出电离粒子的数量．如以E1 表示半径为R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极间电势差的关系式；（2） 若E1 ＝2.0 ×10 V· m ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm，两极间的电势差为多少？

6

－1

解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得E?2πrL?电场强度

1λL，则两极间的ε0E?λ 2πε0r导线表面（r ＝R1 ）的电场强度

E1?两极间的电势差

λ

2πε0R1λRdr?R1E1ln2 2πε0rR1U??E?dr??R1R2R2R1（2） 当E1?2.0?106V?m?1 ，R1 ＝0.30 mm，R2 ＝20.0 mm 时，

U?2.52?103V

6 －18 一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm ，厚度为0.10 mm．把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时，极板上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？ （3） 求电容器内的电场强度．

解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容

2

C?εrε0S?1.53?10?9F d（2） 电容器加上U ＝12 V 的电压时，极板上的电荷

Q?CU?1.84?10?8C

极板上自由电荷面密度为

ζ0?晶片表面极化电荷密度

Q?1.84?10?8C?m-2 S?1????1??ζ0?1.83?10?4C?m-2 ζ0?εr?（3） 晶片内的电场强度为

E?U?1.2?105V?m-1 d－８

6 －19 如图所示，半径R ＝0.10 m 的导体球带有电荷Q ＝1.0 ×10C，

导体外有两层均匀介质，一层介质的εr＝5.0，厚度d ＝0.10 m，另一层介质为空气，充满其余空间．求：（1） 离球心为r ＝5cm、15 cm、25 cm 处的D 和E；（2） 离球心为r ＝5 cm、15 cm、25 cm 处的V；（3） 极化

电荷面密度ζ′．

解 （1） 取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得 r ＜R D1?4πr?0

2D1?0；E1?0

2R ＜r ＜R ＋d D2?4πr?Q

D2?QQ； E?24πr24πε0εrr2QQ； E?3224πr4πε0εrrr ＞R ＋d D3?4πr2?Q

D3?将不同的r 值代入上述关系式，可得r ＝5 cm、15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外． r1 ＝5 cm，该点在导体球内，则

Dr1?0；Er1?0

r2 ＝15 cm，该点在介质层内，ε

ｒ

＝5.0，则

Dr2?QQ?8?2；?3.5?10C?mE??8.0?102V?m?1 r2224πr24πε0εrr2QQ?8?22?1； ?1.3?10C?mE??1.4?10V?mr2234πr34πε0r2r3 ＝25 cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0 ，则

Dr3?（2） 取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得 r3 ＝25 cm，

V3??E3?dr?r1?Q?360V 4πε0rE3?drr2 ＝15 cm，

V2???R?dr2E2?dr???R?dQQQ??

4πε0εrr24πε0εr?R?d?4πε0?R?d??480Vr1 ＝5 cm，

V1???R?dRE2?dr???R?dE3?drQQQ ??4πε0εrR4πε0εr?R?d?4πε0?R?d??540V（3） 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε ＝ε0 ，极化电荷可忽略．故在介质外表面；

Pn??εr?1?ε0En?ζ?Pn?在介质内表面：

?εr?1?Q24πεr?R?d??εr?1?Q

24πεr?R?d??1.6?10?8C?m?2

Pn??εr?1?ε0En?ζ???Pn?4πεrR2?εr?1?Q

4πεrR2?εr?1?Q??6.4?10?8C?m?2

介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总

量还是等量异号．

6 －20 人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×109 m，两表面所带面电荷密度为±5.2 ×10 C／m ，内表面为正电

－

－3

2

荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度E?ζ方向指向细胞外． ?9.8?106V/m；

ε0εr（2） 细胞壁两表面间的电势差U?Ed?5.1?10?2V．

--2

6 －21 一平板电容器，充电后极板上电荷面密度为σ0 ＝4.5×105 C· m．现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为εｒ ＝2.0 的电介质插入两极板之间．此时电介质中的D、E 和P 各为多少？

解 由分析可知，介质中的电位移矢量的大小

D?Q?ζ0?4.5?10?5C?m?2 ΔS介质中的电场强度和极化强度的大小分别为

E?D?2.5?106V?m?1 ε0εrP?D?ε0E?2.3?10?5C?m?1

D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）． 6 －22 在一半径为R1 的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2 ，相对电容率为εｒ ．设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ．试求介质层内的D、E 和P．

解 由介质中的高斯定理，有

?D?dS?D?2πrL?λL

得

D?在均匀各向同性介质中

λer 2πrE?Dλ?er ε0εr2πε0εr?1?λP?D-ε0E???1-ε??2πrer

?r?6 －23 如图所示，球形电极浮在相对电容率为εr ＝3.0 的油槽中.球的一半浸没在油中，另一半在空气中.已知电极所带净电荷Q0 ＝2.0 ×10 C.问球的上、下部分各有多少电荷？

－6

解 将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上半球在空气中，电容为

C1?2πε0R

下半球在油中，电容为

C2?2πε0εrR

由分析中式（1）和式（2）可解得

C11Q0?Q0?0.5?10?6C

C1?C2εr?1C2εQ2?Q0?rQ0?1.5?10?6C

C1?C2εr?1Q1?由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变．可以证明，此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足E?E0的关εr系．事实上，只有当电介质均匀充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足E?E0 ． εr6 －24 有两块相距为0.50 的薄金属板A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A、B 分别相距0.25 mm，金属板面积为30 mm ×40 mm。求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？

解 （1） 由等效电路图可知

C2?C3?C1

C2?C3由于电容器可以视作平板电容器，且d1?2d2?2d3，故C2?C3?2C1 ，

C?C23?C1?因此A、B 间的总电容

（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于C2 （或者C3 ）极板短接，其电容为零，则总电容

C?2C1C?3C1

6 －25 在A 点和B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示．（1） 求A、B 两点之间的等效电容；（2） 若A、B 之间的电势差为12 V，求UAC 、UCD 和UDB ．

解 （1） 由电容器的串、并联，有

CAC?C1?C2?12μF CCD?C3?C4?8μF 1111 ???CABCACCCDC5求得等效电容CAB ＝4 μF．

（2） 由于QAC?QCD?QDB?QAB，得

UAC?UCDUDBCABUAB?4V CACC?ABUAB?6V CCDC?ABUAB?2V CDB6 －26 有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E．

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