三角函数教学教案资料

三角函数

一、周期性

周期函数：函数f(x)，在x?R上，f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数。 T为周期

最小正周期：T大于0的最小正数。

例1：若f(x)是R上周期是5的奇函数，且满足f(x)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)= -1

例2：已知函数f(x)定义域R，f(x)为奇函数且满足f(-x)=f(2+x)，则方程f(x)=0在区间[-4，4]上的解最少有几个？ T=4，5个

二、角的推广

1. 角的定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。 2. 正角：按逆时针方向旋转所形成的角； 负角：按顺时针方向旋转所形成的角；

零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3. 象限角：角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。

第一象限角的集合为：?k?360????k?360??90?,k?? 第二象限角的集合为： 第三象限角的集合为：

1

??

第四象限角的集合为：

4. 轴上角：角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。

终边在x轴正半轴上的角的集合为： 终边在x轴负半轴上的角的集合为： 终边在x轴上的角的集合为：???k?180?,k??

终边在y轴正半轴上的角的集合为： 终边在y轴负半轴上的角的集合为： 终边在y轴上的角的集合为： 终边在坐标轴上的角的集合为：

例1：如图，终边落在OA位置时的角的集合是__ ； 终边落在OB位置，且在

内的角的集合是_ ；

??终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_ 。

例2：若?是第二象限角，则2?，

?分别是第几象限的角？ 2三、弧度制

1. 角?的弧度数的绝对值 ??l（l为弧长，r为半径）； r2. 若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，

11S?lr??r2。

222

例1：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的圆心角是1弧度，求该扇形的面积？ 2

例2：一扇形的周长为20，当扇形的圆心角为多少弧度时，扇形的面积最大？并求出此面积？ 2，25

例3： 在扇形AOB中，∠AOB=900，弧AB长为l，求此2扇形内切圆的面积？

r?

2(2?1)?l，r?12?82?l2

例4：圆周上点A按逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在1分钟转过θ（0<θ

45?或? 77例5：在时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，求分针所转过的弧度？

24? 11四、三角函数

1. 在直角坐标系中，设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是rr?x2?y2?0，则：

sin??yxy，cos??，tan???x?0?． rrx3

??

2. 在单位圆中（半径为1的圆），三角函数线：正弦线sin????，余弦线cos????，正切线tan????。

3. 三角函数各象限的符号： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sinx cosx tanx 4. 特殊角的三角函数值：

300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600 Sinx Cosx tanx 例1：已知角α的终边经过点P(2,?3)，求α的三角函数值？

例2：已知角α的终边过点(a,2a)(a?0)，求α的三角函数值？ a>0时：

a<0时：

例3：sin(-116?)+cos125??sin3?

12 4

例4：求下列函数的定义域：

1. y=lgsin2x+9-x2 2. y=lg(3-4sin2x)

例5：已知θ终边上一点p（x，3）（x≠0），且cosθ=

10x，求sinθ? 10

?例6：已知x?(0,)，试比较sinx，x和tanx的大小？ sinx

2

五、诱导公式

?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．

????????????，．，5sin???cos?cos???sin?6sin???cos?cos????????????????sin?

?2??2??2??2?利用已知角和未知角之间的关系：（关注互余，互补角）

?5?2???)，sin(??)？ -m，m 例1：已知cos(??)?m，求cos(663

例2：函数f(x)=asin(?x??)+bcos(?x??)，已知f(2011)=1，求f(2012)? （a,b,α,θ为非零常数） -1

5

??3例3：已知f(x?)?sin2x，则f()= 先求f(x)， ?622

例4：f(x)=asinx+bx+c（a，b?R，c?Z），选取a,b,c一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的结果一定不可能的是（ ） D A. 4和6 B. 3和1 C. 2和4 D. 1和2

例5：在ΔABC中，sinA?B?CA2=sin-B?C2，判断ΔABC的形状？

公式：sin(n???)?(?1)nsin?；cos(n???)?(?1)ncos?(n?Z) 例6：设k?Z，化简sin(k???)?cos[(k?1)???]sin[(k?1)???]?cos(k???)

-1 6

六、正弦、余弦、正切函数

函数 定义域 值域 单调区间 对称中心 对称轴 y=sinx R[?1,1] y=cosx R[?1,1] y=tanx {?|???2?k?,k?Z}R 三角函数作图方法：五点作图法 求三角函数定义域

例1：求函数y?sinx?25?x2的定义域？

求三角函数值域

例2：求函数y?sin2x?sinx?1的值域？

例3：求函数y?sinx?2sinx?1的值域？

例4：求函数y?2sinx?2cosx?3的值域？

含参数的三角函数问题：

例5：已知函数y??sin2x?sinx?a，x?R。

（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围？ （2）若1?f(x)?174，求a的取值范围？

奇偶性 [0,32]

[-14,2]

[3,4]

7

53?3例6：是否存在实数a，使得y?sin2x?acosx?a?在[0,]上的最大值是1？

822

单调性：

例7：画出y?2sin(2x??3)的函数图像，求函数的单调增区间？

例8：已知函数f(x)?log?22sin(2x?3)。

（1）求函数的定义域？ （2）求满足f(x)=0的x取值范围？ （3）求函数的单调递减区间？

对称性问题：

例：求函数y?sin(2x??3)的对称轴和对称中心？

2 （k???6,k??23?）

x?k??724?或x?k??1324?

[k??5?12,k??23?] x?k2???12，（k?2??6,0）

8

七、三角函数公式

1. 同角三角函数公式：

?1?sin2??cos2??1；

?2?sin??tan?。 cos?例：（1）已知sin??

12，并且?是第二象限角，求cos?,tan?,cot?？ 134（2）已知cos???，求sin?,tan?？

5

（3）sinα+cosα, sinα-cosα, sinα?cosα三者之间的关系：

1例1：已知sinα+cosα=，α?(0,?)，求：sinα-cosα，sinα?cosα？

5

例2：化简1-2sin4?cos4

（4）齐次式弦化切：

当分子，分母都含有关于sinα,cosα的n次方相同的式子，分子、分母此时同时除以cosα的n次方，从而得到关于tanα的式子：

asinn??bcosn?atann??b= （c，d不同时为0）

csinn??dcosn?ctann??d例1：已知tanα=2,求：

12sin2??3cos2?224sin??3sin??cos??5cos? （1） （2） （3）22sin??cos?4sin??9cos?

9

例2：已知f(tan?)?

1，求f(x)？

sin2??cos2?2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan?tan??tan? ⑹tan??????

1?tan?tan?1?tan?tan?1 2例1：求sin163o?sin223o?sin253o?sin313o的值？

例2：已知α、β都是锐角，sinα=

113，cos（α+β）=，则cosβ= 222辅助角公式（重点）：asinx+bcosx=a2?b2sin(x??)。 对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx?a2?b2(sinx·aa2?b2ba2?b2aa?b22?cosx·ba?b22)，由于上式中的

aa?b22与

ba?b22的平方和

为1，故可记

=cosθ，

=sinθ，则y?a2?b2(sinxcos??cosxsin?)?a2?b2sin(x??)。

由此我们得到结论：asinx+bcosx=a2?b2sin(x??)，其中θ由

12aa?b22?cos?,ba?b22?sin?来确定。

例1：已知函数y?cos2?3sinxcosx?1,x?R。该函数的图象可由y?sinx(x?R)的图象经过怎样的平2移和伸缩变换得到？

1?5sin2(x?)? 26410

例2：已知函数f(x)=?3sin2x+sinxcosx。设α∈（0，π），f(3?1)=?，求sinα的值。 242f(x)=sin(2x?)?

例3：已知函数f(x)?3sinxx?cos。 22?331?35， 28（1）求f(x)的对称中心、对称轴、最小正周期、递增区间？

（2）当x?[0,?]时，求f(x)的值域？ [1,2]

3. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin2??2sin?cos?；

⑵cos2??cos⑶tan2??2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；

2tan?． 21?tan?sin235o?12 ?1

2sin20o例1：化简

例2：已知θ是第二象限角，化简1?sin??1?sin?？

?]上的最大值为6。 2（1）求m? 3

?（2）作f(x)关于y轴对称函数f1(x)，再把f1(x)向右平移个单位得到f2(x)，求f2(x)的递减区间？

4?7[k??,k???]

1212例3；若函数f(x)?3sin2x?2cos2x?m在区间[0，

11

例2：已知函数f(x)=?3sin2x+sinxcosx。设α∈（0，π），f(3?1)=?，求sinα的值。 242f(x)=sin(2x?)?

例3：已知函数f(x)?3sinxx?cos。 22?331?35， 28（1）求f(x)的对称中心、对称轴、最小正周期、递增区间？

（2）当x?[0,?]时，求f(x)的值域？ [1,2]

3. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin2??2sin?cos?；

⑵cos2??cos⑶tan2??2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；

2tan?． 21?tan?sin235o?12 ?1

2sin20o例1：化简

例2：已知θ是第二象限角，化简1?sin??1?sin?？

?]上的最大值为6。 2（1）求m? 3

?（2）作f(x)关于y轴对称函数f1(x)，再把f1(x)向右平移个单位得到f2(x)，求f2(x)的递减区间？

4?7[k??,k???]

1212例3；若函数f(x)?3sin2x?2cos2x?m在区间[0，

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