概率统计题库（学生用）昆明理工大学

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B

(2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。 p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

kCn?mkCn5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。答案：1?6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组A?{a1,a2,a3,a4,a5};.

“至少有两只B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则C表示：

4配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有C5. 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中

i4?i选4-i只，且编号不同，其可能选法为C5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

4C531?C5C222?C5C34C10134?C5C4?C55??1?P(C)?1?P(C)?1?5?45?4?2??3?5?4?51322?

10?9?8?721?4?3?2?17在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过

11的概率。 答案： 558在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。 样本空间,0?x?a,0?y?a,构成三角形,须0?x?y?a，且 a?x?y??2?x?y?a?x?y?a???x?y?a?x?y,??x?2???y?x?a?x?y,?y?a?2?aa2a P?1 4a2 ax

1的概率。 49在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于

11?1(1?4x)dx11P(xy?)?4?(x?lnx)11414411111?1??ln4;P(xy?)??ln4444441 xy?14 14 1 x

10设A,B,为二事件，设P(A)?0.9,P(AB)?0.36,求P(AB).

1

解：0.9?P(A)?PA(B?B)?P(AB)?P(AB)?0.36?P(AB).故P(AB)?0.54. 11设A,B,为二事件，设P(B)?0.7,P(AB)?0.3,求P(A?B). 解： P(B)?0.7,P(AB)?0.3,?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4.

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6.

12 设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7.（1）若AB互不相容,求P(B). 若AB互不相容,则P(A?B)?P(A)?P(B).P(B)?P(A?B)?P(A)?0.3 （2）若AB相互独立,求P(B).

若A与B相互独立，则P(B)?P(A?B)?P(A)?P(A)?P(B)?0,7?0.4?0.4P(B),P(B)?0.5

13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。 解 0.94

14某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。

解：A:订日报,B:订晚报. 0.85?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.65?P(AB)，

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?1.15?0.85?0.3.

15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。

解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：p?10909???0.0909 10099995,求P(A?B). 816 设随机事件A,B,C两两独立,P(AB)?0,已知P(B)?2P(C)?0,且P(B?C)?P(B)?2P(C)351解:?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)8224P2(B)?12P(B)?5?0,?P(B)?12?641?P(B)?1221,2

0?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)?0.5,P(A)?0,P(A?B)?P(A)?P(B)?0?17 设A是小概率事件，即P(A)??是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A总会发生（以概率1发生）。

当试验不断地重复进行下去，事件A发生的概率为：

1?limPn(A)?1?lim[1?P(A)]n?1?lim(1??)n?1?0?1

n??n??n??18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,,111,求此秘密被译出的概率。

534解：以A,B,C分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D：表示密码被译出，则

2

P(D)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?4233? 534520 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障的概率。 解：P?1?0.9?0.8?0.7?1?0.504?0.496. 21设A,B,为二事件，设P(A)?0.7,P(B)?0.6,P(BA)?0.4,求P(A?B).

解：P(AB)?P(A)P(B/A)?0.4?0.6?0.123,P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.12?0.48,

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.7?0.48?0.82..

22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？

解：X:表动物寿命,P{X?25/X?20}?P{X?20，X?25}0.4??0.5

P{X?20}0.823某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过

去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。 X:发生特大洪水的时刻。

P{30?X?40}?X?30P{X?30,30?X?40}0.85?0.80.05???0.25

P{X?30}0.20.224 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙设甲袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，

再从乙袋中任意取一球。

（1）问取道白球的概率是多少？ （2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？

解：解：A: “首先从甲袋中取到白球” B:收到信号“然后从乙袋中取到白球.”; 由题设:P(A)?,13221P(BA)?,P(A)?,P(B/A)?于是:

33212215???? 3332912?P(A)P(B/A)332由贝叶斯公式有:P(A/B)???;

5P(B)59P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)?25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。 解：A,B分别表示第一次、第二次取得的是次品，则 P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)?211022221??????. 1211121112112626一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h以上的概率。

解：A1,A2,A3分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。B:抽出的一个能工作500h以上

P(B)??P(Ai)P(B/Ai)?i?139590480170???0.894

10010010010010010027 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85， （1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。

（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。

3

（1）A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽出的一个是次品 P(B)??P(Ai)P(B/Ai)?100100?100100?100100?0.035

i?13255354402（1）

255P(A1)P(B/A1)100100??0.362 由贝叶斯公式有:P(A1/B)?P(B)0.04528用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌

症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。

解：A1:“患癌症.” A2:“未患癌症”; B:“检查结果为阳性”; B:“结果是阴性” 由题设:P(A,1)?0.0005P(BA1)?0.95,P(A2)?0.9995,P(B/A2)?0.1于是:

P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?0.0005?0.95?0.9995?0.1?0.100425由贝叶斯公式

有:P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)0.000475??0.47299;

P(B)0.100425 29 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二

人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。

解：用Ai,表示第i人击中，i?1,2,3，则用Bi,表示恰有i人击中，i?0,1,2,3；

P(B0)?0.6?0.4?0.3?0.082,P(B1)?1?P(B0)?P(B2)?P(B3)?0.304;P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?0.6?0.6?0.7?0.4?0.4?0.7?0.4?0.6?0.3?0.446, P(B3)?0.4?0.6?0.7?0.168B:表示敌机被击落，则

3P(B)??P(Bi)P(B/Bi)?0.304?0.2?0.446?0.6?0.168?1?0.4962P(B3/B)?0.4962?0.338

i?00.16830 某厂产品有70％不需调试即可出厂，另30％需经调试，调试后有80％，能出厂，求： （1）该厂产品能出厂的概率。（2）任取一出厂产品未经调试的概率。

解：A1: “任取一产品，.不需调试即可出厂” A2:“任取一产品，调试后能出厂”; B1:“任取一产品，能出厂.”; B2:“任取一产品，不能出厂” 由题设:P(A1)?0.7,P(B1A1)?1,P(A2)?0.3,P(B1/A2)?0.8于是:

P(B1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?0.7?1?0.3?0.8?0.94

由贝叶斯公式有:P(A1/B1)?P(A1)P(B1/A1)0.770; ??P(B1)0.949431 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是p,求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。

解：X:表示试验成功2次时的试验次数，

X=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。

4

1323

P?[C1p(1?p)]p?4p(1?p).432 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n次才取出k(1?k?n)次红球的概率。

1k?19n?k1k?1k?19n?r1kCn?1()()?Cn() ?1()101010101033灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。 记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}

X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X～b(3,0.8)

01P(X?1)?C30.80?0.23?C30.8?0.22?0.23?3?0.23?4?13?0.23?0.104

34某人有两盒火柴，每盒中各有n根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，

1n试求另一盒还有r根的概率。 C2n?r2n?r

2注：可看作2n?r重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为了第二盒中一根火柴的概率也为

1，取21，设所求事件为B，则B相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n21n1n?r1nn根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了n?r根火柴，”的事件，故P(B)?C2()()?Cn?r2n?r2n?r

222

习题二 38页

1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。

解：样本空间??{tt?0},用X表示灯泡的寿命（h）X?X(t)?t是随机变量。

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100}, X?10010?666?X?666 0.15153 若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??,其中x1?x2,求P{x1?X?x2} 解：P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}?1????,

?0,X?0131?4 设随机变量X的分布函数F(x)??x2,0?x?1，试求（1）P{X?}(2)P{?1?X?},(3)P{X?}

242?1,x?1?111(1)P{X?}?F()?224339113(2)P{?1?X?}?F()?F(?1)?;,(3)P{X?}?1?P{X?}?

44162245 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，

求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。

解：X表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X的可能取值为0.1，2。

P{X?0}?30C3C23C521C3C26611???0.6, ???0.1,P{X?1}?35?45?41010C522 5

P{X?2}?12C3C23C5?33??0.3, 5?41026某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布律。

i?1解：P{X?i}?0.10.9;i?1,2,3,4;P{X?5}?1?P{X?4} 即

P{X?1}?0.9,P{X?2}?0.09;P{X?3}?0.009,P{X?4}?0.0009,P{X?5}?0.0001.

7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的分布律。 解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.

12111012111098从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,?,10的概率与i成正比，即

P{X?i}?ki,i?1,2,?,10,求k.

解：由归一性：1?i?1?10P{X?i}??ki?ki?11011?10?11?55k,k?.

5529 已知随机变量X服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件P{X?N}?0.01的自然数N. 解：0.99?P{X?N?1}?e?1N?11111?(1??k!e2?6)?N?4.

k?010 某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。

发生交通事故数X服从参数为λ的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},

20?2??2,P{X?0}?e?e?2,一周内发生交通事故的次数记为Y

0!则Y服从二项分布B(7,1?e?2)，故一周内没有发生交通事故的概率为

0P{Y?0}?C7(1?e?2)0e?14?e?14

11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。 p?0.001，（每个工作时内发生故障的概率）

X：100作时内发生故障的次数，X～b(100,0.001)

P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}?C00.999100?C10.99999?0.001?C20.99998?0.0012100100100 ??np?0.1e?0.10.10.12?0.1?0.1??e?e?0.999840!1!2!12设X～U[2,5],现对X进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。 解:P{X?3}?

5?322?.Y表示对X进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y～b(3,)， 5?2336

48202221323 P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3()?C3()???3339272713 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为律。 P{X?k}?C50()()k2,求在50头已感染的羊群中发病头数的分布32k150?k,(k?0,1,2,?,50)

331??2x,0?x?1,14设随机变量X的概率密度为f(x)??，Y表示对X的三次重复观察中事件?X??出现的次?0,2???1392123数，则P{Y?2}?C3 ()?3??4416464?ax2e??x,x?0, 15已知X的概率密度为f(x)??试求（1）未知系数a,(2)X的分布函数F(x);(3)X落在区间

x?0.?0,1(0,)内取值的概率。

?解：（1）1?????f(x)dx?a???2??xa??2??xxedx??xde0?0????a2??x??2a????xxe??xed(??x) 0?20 ??2a???xe??x022a????x2a??x??2a?3?ed(x)??e?;?a?. 020332?????e??x225?（2）F(x)??1?2(?x?2?x?2),x?0,(3)1?

2e?x?0.?0,16 设随机变量X在[1，6]内服从均匀分布，求方程x2?Xx?1?0有实根的概率。 解：方程x2?Xx?1?0有实根，等价于：??X2?4?0?X?2,or方程x2?Xx?1?0有实根的概率为P?X??2,

4. 517 已知随机变量X服从正态分布N(a,a2),且Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），求a,b.

解：由37页例3知Y?aX?b服从正态分布N(a?a?b,a2?a2)?N(a2?b,a4)，又已知 Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），故a=1,b=-1.

18已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ

???e??x,x?0,?1??e??x,x?0,X服从参数为λ的指数分布，则f(x)?? F(x)??0,x?0.0,x?0.??g(?)?P{1?X?2)?(1?e?2?)?(1?e??)?e???e?2? g?(?)??e???2e?2??e??(2e???1)?0,???ln2.

19设随机变量 X～N(1,4);求P(0?X?1.6),P(X?1).

7

解：由35页（5）式有：P{0?X?1.6}??(1.6?10?1)??() 221?11P{X?1}??()??(0)?0.5. .??(0.3)??(?)?0.6179?(1?0.6915)?0.30942220 设电源电压（单位：V）X服从N(220,252)，在X?200,200?X?240,X?240三种情况下电子

元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率α 解：由35页（5）式有：P{X?200}??(200?220)??(?0.8)?1?0.7881?0.2119 25240?220200?220P{200?X?240}??()??()?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0..57622525P{X?240}?1?P{X?200}?P{200?X?240}?1?0.2119?0.5762?0.2119

??0.2119?0.1?0..5762?0.001?0.2119?0.2?0.063

(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。 ??21随机变量X的分布律为： X Pk -2 2 50.5762?0.001?0.009

0.0631 2 5-1 1 60 1 53 1 30求Y?X2的分布律。

解：Y的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有：

Y?X2 4 -2 2 51 -1 1 60 0 1 51 1 2 59 3 1 30 X Pk 得Y?X2的分布律为

Y?X2 Pk 0 2 51 7 304 1 59 1 3022 设随机变量X服从参数为0.7的0—1分布，求X2及X2?2X的分布律。 解：X2参数为0.7的0—1分布。

P{X2?2X?0}?P{X?0}?0.3,P{X2?2X??1}?P{X?1}?0.7

23 设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?解：对任意的Y.

1?(1?x)y2,求Y?2X内的概率密度函数fY(y).

1ydx， FY(y)?P{Y?y}?P{2X?y}?P{X?}??2fX(x)dx??22????2?(1?x)y 8

?(y)?所以：fY(y).?FY2?(4?y)2.

24设随机变量X服从U[0,2],求随机变量Y?X2在[0，4]内的概率密度函数fY(y).

2解：当0?Y?4时：FY(y)?P{Y?y}?P{y?X?y}??f(x)dx ?yXy??0?y0dx??y10?1,0?y?4,??(y)??4y dx，所以：fY(y).?FY2?0,其它.??e?x,x?0,25 设随机变量X的概率密度函数为fX(x)??,求Y?eX的概率密度函数fY(y).

?0,x?0,X解：当Y?1时：FY(y)?P{Y?y}?P{e?y}?P{X?lny}?0,

当Y?1时：FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}????10dx??lny?xedx, 1?1?,y?1,?(y)??y2所以：fY(y).?FY

?0,y?1.?补充：设X～N(0,1),(1)求Y?ex的概率密度，（2）求Y?2X2?1的概率密度， (1)Y?g(x)?ex在（??，??）上恒有g?(x)?ex?0,且g(x)有反函数，x?h(y)?lny, 1h?(y)?,??min{e??,e??}?0,??max{e??,e??}???y?(lny)2??12,y?0e故Y的概率密度fY(y)?? y2??y?0,?0,(2)因

Y?2X2?1?1则

Fy(y)?0,(y?1)y?12，

2当

y?12Y?1x22时，

Fy(y)?P{2X2?1?y}?P{??1?fY(y)??2?(y?1)?y?1?0,y?1?e4,y?1?X?2y?1}?y?12??12?e?x2dx?20?012?e?dx2

y?1,

习题三

1.离散随机变量概率.

9

X与Y11相互独立同分布，P{X??1}?P{Y??1}?,P{X?1}?P{Y?1}?.求P{X?Y}的

221 P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立)?..即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布,

2X与Y一般不会以概率1相等.

2设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表：

X Y 0 1 0 1 2 0.06 b 0.15 0.35 0.09 0.21 (1) 求b,(2)随机变量X,Y是否相互独立？（3）求P{X?1,Y?1} 解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y的边缘分布如下表： X 0 Y 0 1 P{X=i} 0.06 0.14 0.2 1 2 P{Y=j} 0.15 0.35 0.5 0.09 0.21 0.3 0.3 0.7 1 P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j};i?0,1,2;j?0,1;故X,Y相互独立；

（3）P{X?1,Y?1}?0.06?0.15?0.14?0.35?0.7.

11补充题：设X和Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?1}?P{Y?1}?,P{X?2}?P{Y?2}?;求

22Z?X?Y的概率分布. P{X?Y?2}?111,P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?,P{X?Y?4}?, 42411（2）由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;

223 设P(A)?111?1,A发生,?1,B发生,,P(AB)?,P(BA)?,令X??求X,Y的联合概率分布。 Y??0,A不发生,0,B不发生,433??解：由P(A)?1131P(AB)11211,P(AB)?,?P(A)?,P(AB)?,P(B)???,P(AB)? 43412P(AB)13461P(AB)6212P(BA)???,P(BA)??P(BA)?

3933P(A)4111121P?P{X?1,Y?1}?P(A)P(B/A)??.P?P{X?1,Y?0}?P(A)P(B/A)??. 111243124363218P21?P{X?0,Y?1}?P(A)P(B/A)??.P22?P{X?0,Y?0}?1?p11?p12?p21?.

4912124设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表： X Y 1 2 P{Y=j} 10

1 2 P{X=i} 0 1 21 21 31 61 21 32 31 （1）求X,Y的边缘分布律。 解：见上表。

（2）求Y=1的条件下X的条件分布律及X=2的条件下Y的条件分布律。 略。

5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X, Y如下：

?0,若第一次取出的是正品?0,若第二次取出的是正品X??, Y??;

1，若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是次品??试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．并问随机变量X和Y是否相互独立？

（1）放回时，P{X?0,Y?0}?25551,P{X?0,Y?1}?,P{X?1,Y?0}?,P{X?1,Y?1}?, 363636364510101,P{X?0,Y?1}?,P{X?1,Y?0}?,P{X?1,Y?1}?, 66666666（2）不放回抽样，P{X?0,Y?0}? 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立．

6.随机变量(X,Y)在矩形域a?x?b,c?y?d上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否独立？

1?,a?x?b,c?y?d,?解 按题意(X,Y)具有联合概率密度f(x,y)??(b?a)(c?d)

?否则.?0,?1?1??,a?x?b,c?y?dfX(x)??b?a, fY(y)??c?d,X及Y是独立的.

??x?by?d?0,x?a?0,y?c事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布，则只有当D为矩形区域：a?x?b,c?y?d时，X与Y分别服从

[a,b],[c,d]上的均匀分布，且X与Y独立，反之亦然.

7 随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=

xy(B?arctan)(C?arctan). 223?1求：（1）(X,Y)的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X与Y是否独立？

解 由分布函数的性质有F(x,??)=0F(??,y)?0,F(??,??)=1 从而对任意的x,y；有

?x?1?y?C? ，于是，有，(B?arctan)(C?)?0(B?)(C?arctan)?0,B?222223?2?2623f(x,y)?2f(x)?f(y)?， 独立。 XY?(4?x2)(9?y2)?(4?x2)?(9?y2)1

8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X与Y相互独立，且都服从。N(0,1)分布，规定点A落在区域

D1?{(x,y)x2?y2?1}得2分，点A落在区域D2?{(x,y)1?x2?y2?4}得1分，点A落在区域D3?{(x,y)x2?y2?1}得0分，以Z记打靶的得分，写出X,Y的联合概率密度，并求Z的分布律。

11

x2?y21?2解：f(x,y)?e,???x???,???y???,

2?P{z?2}?x?y?1??22极坐标12?f(x,y)dxdy?d?2?0??r2r2?1?12erdr??e200?1?e?12.

P{z?1}?1?x2?y2?4??r2?2f(x,y)dxdy????e21?e?12?e?2.

P{z?0}?2x?y2?4??f(x,y)dxdy???r2????e22?e?2.

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,9 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为f(x,y)??（1）求常数A,(2)X,Y的

其它,?0,边缘概率密度。（3）P{0?X?1,0?Y?2}

?????(3x?4y)A????f(x,y)dxdy?Aedxdy?(e?3x0)(e?4y0)得A?12 解：（1）由1?????0012????????????12e?(3x?4y),x?0,y?0,??12e?3xe?4ydy?3e?3x,x?0（2）f(x,y)?? fX(x)??0其它,??0,x?0,?0,?????12e?3xe?4ydx?4e?4y,y?0 fY(y)??0?y?0,?0,1212（3）P{0?X?1,0?Y?2}?12e?3xdxe?4ydy?(e?3x)(e?4y)?(e?3?1)(e?8?1).

0000???cxy2,0?x?1,0?y?1,10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：f(x,y)??（1）求c,(2)问X与Y是否相

其它,?0,互独立？

1121110?x?1cxdxydy?1?c?)dx?1,c?6解：（画图）?；当时，fX(x)??6xy2dy?2x. ?000231??6?xy2dx?3y2,0?y?1,?2x,0?x?1,故fX(x)??.fY(y)??0.

0,其它,??其它,?0,（2）独立。 11 平面区域D由曲线y?1及直线y=0,x=1,x?e2所围成，二维随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布，求（X,Y）x关于X的边缘密度在x=2处的值。

?11122ee11?xdy?1,1?x?2,e解：SD??f(2)?. dxxdy?dx?lnx1?2,fX(x)??02X2x101x4?2?????0其它, 12

12略

13设随机变量X,Y相互独立，均服从同一分布，试证：P{X?Y}?证：P{X?Y}?P{Y?X},

1. 2P{X?Y}?P{Y?X}?P{(X?Y)?(Y?X)}?P{?}?1故P{X?Y}?7,求常数a 91. 214.设随机变量X,Y相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件A?{X?a}.B?{Y?a},且P(A?B)?(a?1)(a?3)7a?13?aa?13?a ?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)????1?922224a2?4a?3a2?4a?325?1?,???;9a2?36a?35?0,(3a?5)(3a?7)?0,a?4493ora?7 31115（1）X和Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?1}?P{Y?1}?,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的

22概率分布. P{X?Y?2}?111,P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}?P{X?2,Y?1}?,P{X?Y?4}?, 424（2）求2X的分布。

11注意：由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;

22例 （习题16） 设(X,Y)的概率分布如下表3—5： 表3—5 Y X -1 -2 -1 0 1 23 1 122 122 121 121 120 3 120 2 12求1)X+Y的概率分布，（2）X-Y的概率分布. 解：由上表3-5 表3—6

(X,Y) (?1,?2) (?1,?1) (?1,0) 111(,?2)(,?1) (,0) 222 (3,?2) (3?1) (3,0) X?Y -3 X?Y 1 -2 0 -1 -1 3 12?3 2?1 25 2P 1 121 122 123 21 1213

1 21 20 1 5 2 4 0 3 3 2 122 12从而易得X+Y和X-Y的概率分布.

17 设X和Y是相互独立的随机变量，X～B(n1,p); Y～B(n2,p);证明Z=X+Y X～B(n1?n2,p); 证明：P{Z?k}?i?0?P{X?i}P{Y?k?i}

k?ik?in2?(k?i)Cnpq2ik?ikn1?n2?k?(?CnCn)pq12i?0kkki?Cn1i?0

?kpqin1?i

kkn1?n2?k?Cnpq1?n2ik?ik(其中用到组合公式?CmCn?Cm?n)i?018略

19 设随机变量X1～N(1,2);X2～N(0,3),X3～N(2,1),且X1,X2,X3相互独立，求

P{0?2X1?3X2?X3?6},(已知?(1)?0.8413).

解：由62页2X1?3X2?X3～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36),故由34页有

P{0?2X1?3X2?X3?6}??(6?00?0)??(),(已知?(1)?0.8413).??(1)??(0)?0.3413 66?0,t?0??t20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为f(t)??te,t?0，设各周的需要量是相互独立的，

试求两周需要量的概率密度.

Xi表第i周的需求量，各Xi相互独立。设两周的需求量为Z?X1?X2，则 fZ(z)??????f(x1,z?x1)dx1???x?0, fX1(x1)fX2(z?x1)dx1,要fX1(x1)fX2(z?x1)?0,??1???z?x1??而fX1(x1)fX2(z?x1)?x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)?x1(z?x1)e?z, 故fZ(z)??0z32x1zx1?z?zx1(z?x1)edx1?(?)e23z0?z3e?zz?z??e,(z?0),故fZ(z)??3!,z?0 6?z?0?0,221 设随机变量(X,Y)的概率密度为：

?1?(x?y)e?(x?y),x?0,y?0,f(x,y)??2（1）X与Y是否相互独立，（2）求Z=X+Y的概率密度。

?其它,?0,解：（1）fX(x)?e??1?x??1(x?y)e?ydy??e?x(x?y)de?y

0202?????y11111??????e?x(x?y)e?y0?e?xed(x?y)(注x:常量)?xe?x?e?x(?e?y0)?e?x(x?1),022222

1fY(y)?e?y(y?1),f(x,y)?fX(x)fY(x),不独立.2???z1z11(2)当z?0时,fZ(z)?f(x,z?x)dx?(x?z?x)e?(x?z?x)dx?ze?zdx?z2e?z.

??02022???22.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.

14

设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,202)i?1,2,3,4.令Y?min{X1,X2,X3,X4}则

P{Y?180}?[P{X1?180}]4，而P{X1?180}?1??(1)?0.1587 因此P{Y?180}?0.000634

23 设随机变量X1,X2,X3相互独立，且Xi服从参数为?i(?i?0)的指数分布，求

P{min{X1,X2,X3}?X2}.

????e??1x1??2x2??3x3,x,x,x?0123解：X1,X2,X3的联合密度为f(x1,x2,x3)??123

其它,?0,P{min{X1,X2,X3}?X2}?P{X2?X1,X2?X3}?(?1?2?3e??1x1e??2x2e??3x3)dx1dx3dx20x2x2????????????0???2e??2x2dt2?x2?1e????1x1dx1?x2?3e????3x3???(???2??3)x2dx3??2e1dx20?2?.?1??2??3

习 题 四

补充;设随机变量X1,X2,X3独立，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则D(Y)?D(X1)?4D(X2)?9D(X3)?3?4?4?9?3?46 1 设X服从如下表的概率分布： X 概率 -1 0 1 2 12 1 61 31 61 121 4求(1)E(X),(2)E(?X?1),(3)E(X2) 解：E(X)?(?1)?11111112?0????1??2??;E(?X?1)? 36261243311111135E(X2)?(?1)2??02????1??4??;

364612424?e?x,0?x??,2 设X的概率密度为f(x)??求(1)E(X),(2)E(X2)

其它,?0,解：E(X)??0??xe?xdx???xde?x??xe?x00?????????x??edx??e?x00?1

E(X2)????2?x??2?x???x??xedx??xde??x2e?x0?2xedx?2 000???e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1,3 设随机变量X,Y相互独立，其概率率密度分别为：fX(x)??fY(y)??0,其它.y?5.??0,求E(XY).

解： E(XY).?E(X)E(Y)?(独立?02x12dx)?(???5ye?(y?5)dy)

15

?????(y?5)2x3122?(y?5)?(y?5)???()(?yde)?[?ye?edy]?(5?1)?4 5553033??4 验证f(x)?1?(1?x)2,(???x???)是某个随机变量X的概率密度，但具有这概率密度的随机变量X的数学期望不存在。 证明：（1）

?????f(x)dx??001???(1?x2)dx??????10?(1?x)x22dx?1

（2）

?????xf(x)dx??xdx?x???(1?x2)dx??00?(1?x)dx

而

????(1?x2)01?ln(1?x2)????；所以??。

??x?1e4,x?0,5．一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为f(x)??4工厂规定，出售

?0,x?0.?的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300

元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

A:售出设备一年内调换，Y:表示调换费用。则：P(A)?14?04e11?x1?4dx?1?e4,

E(100?Y)??(100?yk)pk=100ek??200(1?e?14)?33.64（元）

6某车间生产的圆盘直径在期间(a,b)上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

?1?,a?x?b,解 直径X～f(x)??b?a记圆盘面积S,则

?其它,?0,x2?b21?1x3b?22E(S)?E(??)?xdx????(a?ab?b).

44ab?a4b?a3a12?7．设X,Y的分布律如下表: X Y -1 0 1 P{X?xi}

1 0.2 0.1 0.1 0.4 2 0.1 0.0 0.1 0.2 16

3 0.0 0.3 0.1 0.4 P{Y?yj} 0.3 0.4 0.3 1 （1）求E(X),E(Y)，（2）设Z?Y，求E(Z);（3）设Z?(X?Y)2,求E(Z). X（1）X,Y的边缘分布见上表，故：EX?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2,EY??1?0.3?1?0.3?0 （2）EZ???XiPij?ijYj?1?1?1110.2?0.1?0?????0.1??,（3）EZ?123315??(xi?yj)2Pij???5

ij8X,Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?0}?P{X?1}?望。

解：记M?max{X,Y},1,求max{X,Y}和min{X,Y}的数学期2m?min{X,Y}则：

P{M?0}?P{X?0}P{Y?0}?13，P{M?1}?1?P{M?0}? 4413P{m?1}?P{X?1}P{Y?1}?，P{m?0}?1?P{M?1}?

44故E[max{X,Y}]?31,E[min{X,Y}]? 44?12y2,0?y?x?1,9 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??求：E(X),E(Y),E(XY),E(X2?Y2).

其它,?0,x?112y2dx?12y2(1?y),y?(0,1)?23??12ydy?4x,x?(0,1)fY(y)???y fX(x)???0??其它,其它,?0,?0,111143E(X)??xfX(x)dx??4x4dx?.E(Y)??yfY(y)dy??12y3(1?y)dy?.

0000551x1112216E(XY)???xy?12y2dydx?.E(X2?Y2)??x2fX(x)dx??y2fY(y)dy?????

00002351510 设系统I由元件A,B并联而成，X,Y分别表示A,B的寿命（以h记）并设A,B相互独立，且服从同一分

??e??x,x?0,布，其概率密度函数为f(x)??求系统I的寿命Z的数学期望。

x?0?0,?1?e??x,x?0,解：分布函数为F(x)??而Z?Max{X,Y}，由63页

x?0?0,?(1?e??z)2,z?0,?2?(1?e??z)e??z,z?0 FZ(z)???fZ(z)??0,z?00,z?0,??E(Z)??22?0??ze??zd(??z)??ze?2?zd(?2?z)??2ze??z00?????2?????zedz?0ze?2?z0???????2?zedz013???.?2?2?

11 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的期望与方差。。

17

解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.

1211101211109E(X)?0?0.75?1?0.2045?2?0.0409?3?0.0045?0.301

E(X2)?0?0.75?1?0.2045?4?0.0409?9?0.0045?0.2045?0.1636?0.0405?0.4086

D(X)?E(X2)?E2(X)?0.4086?0.09?0.318

12．随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1是常数.求E(X),D(X).

E(X)?k?1?kqk?1?pk?1????q1??. (q?1?p)=p(q?q2?q3??)=p??1?q?p??1?p?p(kqk)? =p[q(qk)?]??p[q()?]?

1?qk?1k?1 E(X)?2?k?2k?1q?????q=p??(1?q)2??2???p(1?q)?2(1?q)q?1?q 其中“′”表示对q的形式导数. D(X)?(1?q)4p2??qp2,，

13．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},求E(X),?2,D(X)?2. 14

设X为随机变量，c

是常数，若c?E(X),证明:D(X)?E{(X?c)2}.（由于

D(X)?E{[X?E(X)]2},上式表明E{(X?c)2}当c?E(X).时取到最小值。

证明：因为E{(X?c)2}?D(X)?E(X2.)?2cE(X)?c2?{E(X2)?[E(X)]2}

?c2?2cE(X)?[E(X)]2?[c?E(X)]2?0. 所以：??。

?x2??2?x15设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)??2e2?,x?0,其中??0,是常数.求E(X),D(X).

???x?0.?0,E(X)?

?2??0??x2?2e2e2?dx???x2?0??22??xde2???xe2?0??x2?x2?0???x22e2?dx?0???(x2?)2，

d(x22?2x2?)?2??4??x2?2??x22?2??0???x22?2E(X2)??0??x3???2?x2?22??e2?0?2edx??2???22xde2?0?x2??x2e??0edx2?d(?x? DX?(2?)?2

22?2)??2?2e2?2??0?2?216设随机变量X～N(0,4),随机变量Y服从（0，4）上的均匀分布，并且X与Y相互独立，求

18

D(X?Y),D(2X?3Y),E(X?2Y)2.，

(4?0)24解：由已知及75页4 76页 7有D(X)?4,D(Y)??,；又X与Y相互独立，再由73页知：

123D(X?Y)?D(X)?D(Y)?16. D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28. 3E(X?2Y)2?E(X2)?4E(X)E(Y)?4E(Y2)?D(X)?[E(X)]2?4E(X)E(Y)?4{D(Y)?[E(Y)]2} 4112?4?0?4?0?2?4(?2)?25(参考答案29).33317 5

家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以㎏记）分别为

X1,X2,X3,X4,X5,已知X1服从N(200,225),X2服从N(240,240),X3服从N(180,225),X4服从N(260,265),X5服从N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5,相互独立，

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？ 解：（1）记X?i?1?Xi,?E(X)?200?240?180?260?320?1200.

5D(X)?225?240?225?265?270?1225.

（2）X?i?1?Xi,～N(1200,1225)即N(1200,352).

T?1200?2.33 355查表X?1200T?1200P34(5)T?1200P(X?T)?P(?)??()?0.99??(2.33),353535T?35?2.33?1200?1282(kg)18 设随机变量X服从某一期间上的均匀分布，且E(X)?3,D(X)?（1）求X的概率密度。（2）求P{X?2}；（3）求P{1?X?3}.

1. 3?b?a?3,??b?a?6,?2?a?4,?a?2,??解：（1）???b?2,or?b?4,故 22(b?a)1(b?a)?4????,??3?12?12311?,2?x?4,f(x)??2dx?. （2）P{X?2}?0;（3）P{1?X?3}??0dx??1222?0,其它,?19 重复掷一均匀硬币n次，记X为正面出现的次数，X与YY为反面出现的次数，求X与Y的相关系数。

19

解Y?n?X,?XY?E{[X?E(X)][n?X?E(n?X)]}D(X)D(n?X)?{E[X?E(X)]}2?D(X)????1

D(X)D(X)20设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，求D(2X?Y),D(X?2Y).

D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)解：由77页：

?4D(X)?D(Y)?4?XYD(X)D(Y)?116?4?0.4?5?4?148.D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)

?D(X)?4D(Y)?4?XYD(X)D(Y)?25?64?4?0.4?5?4?5721 设A,B是试验E的两个随机事件，且P(A)?0,P(B)?0,定义随机变量X,Y如下：

?1,A发生,?1,B发生, X??Y??0,A不发生,0,B不发生,??证明：若?XY?0,则X和Y必定是相互独立的。

P78证明：?XY?0,?Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1} ?P(AB)?P(A)P(B)?0,由16页定理2?A,B;A,B,A,B相互独立,?,故X和Y相互独立.22设随机变量(X,Y) 的概率密度为f(x,y)???1,y?x,0?x?1,求：E(X),E(Y),Cov(X,Y),

其它,?0,x?11dy?1?y,?1?y?1,????1dy?2x,0?x?1,f(x)???y解：f(x)???x故

??其它,其它,?0,?0,(奇)12E(X)??2xdx?,E(Y)??(1?y)ydy?0

0?1312E(XY)?xdx?0??x1x(奇)ydy?0?Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.

23 在圆心在原点的单位圆周上任取一点，记θ为该圆心角，(X,Y)为该点的坐标，证明： X与Y不相关，但X与Y不相互独立。

?12?12?1?,0???2?,?X?cos?,E(XY)?cos?sin?d??0,E(X)?cos?d??0, 解：f(?)??2??2002?Y?sin?,4??0,其它,????E(Y)??02?12?sin?d??0,??XY?0,但X2?Y2?1

24设随机变量(X,Y)服从区域D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}上的均匀分布，求相关系数?XY. 答案：0 25设随机变量X服从N(?,?2),Y服从N(?,?2),且X,Y相互独立，试求Z1??X??Y和Z2??X??Y的

20

当y?0时，FY(y)?P{(X?1)2?y}?P{1?y?X?1?y}?FX(1?y)?FX(1?y) ?(y)?fY(y)?FY12y12?y?y2.

[fX(1?y)?fX(1?y)]?ey??1??e2,y?0 fY(y)??2?y??y?0?0,五设X服从参数为??1的指数分布，随机变量 Xk??判断X1与X2的独立性，

?1,X?kk?1,2,（1）求X1与X2的联合分布律，（2）

0,X?k。???1?e?x,x?0;(X1,X2)有四可能值:(0,0),(0,1);(1,0);(1,1) 解（1）：X的分布函数F(x)???x?0?0,P{X1?0,X2?0}?P{X?1,X?2}?P{X?1}?1?e?1,P{X1?0,X2?1}?P{X?1,X?2}?0,P{X1?1,X2?0}?P{X?1,X?2}?P{1?X?2}?e?1?e?2,P{X1?1,X2?1}?P{X?1,X?2}?P{X?2}?e?2,X1与X2的联合分布律如下表：

X2 X1 0 1 0 0 1 1?e?1 e?1?e?2 e?2 （2）P{X1?0}?P{X?1}?1?e?1,P{X2?0}?P{X?2}?1?e?2,P{X1?1,X2?0}?P{X1?0}P{X2?0}

X1与X2不独立

六设0.5，1.25，0.80，2.00是来自总体X的样本，已知Y?lnX服从N(?,1),，试求（1）?的矩估计，（2）?的置信水平为0.95的置信区间（(u0.025?z0.025?1.96)

??y?解：矩估计：?111(y1?y2?y3?y4)?(ln0.5?ln0.25?ln0.8?ln2.00)?ln1?0.?的置信水平为444u?u?20.95的置信区间是(y?,y?2)?(?0.98,0.98) nn?20,10?X?12，求

?5,其它,?七 设流水线上生产的某零件内径X～N(11,1)，已知销售利润T与内径X有如下关系：T??). 销售一个零件的平均利润E(T),(?(1)?0.8413解：E(T)?20P(10?X?12}?5P{X?12}?5P{X?10}

?20P(?1?X?11?1}?5P{X?11?1}?5P{X?11??1}?20[?(1)??(?1)]?5[1??(1)]?5?(?1)?25[2?(1)?1]?5?12.065.46

相关系数（其中?,?是不为零的常数）。 解：E(Z1)?(???)?,E(Z2)?(???)?,E(Z1Z2)?E(?2X2??2Y2)

因为D(X)?E(X2)?[E(X)]2?E(X2)?D(X)?[E(X)]2??2??2. 同理E(Y2)??2??2.故E(Z1Z2)?(?2??2)(?2??2). 因X,Y独立，故D(Z1)??2D(X)??2D(Y)?(?2??2)?2. 同理D(Z2)?(?2??2)?2.故：

?Z1Z2?E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)D(Z1)D(Z2)?(?2??2)(?2??2)?(?2??2)?2(???)?222??2??2???22.

26 对于随机变量V,W;若E(V2),E(W2)存在，证明（Cauchy-Schwarz）不等式：

[E(VW)]2?E(V2)E(W2)

证明：对任意的t?R,有E(V?tW)2?0.?t2E(W2)?2tE(W)?E(V2)?0.

故??[2E(VW)]2?4E(W2)E(V2)?4[E2(VW)?E(W2)E(V2)]?0.即[E(VW)]2?E(V2)E(W2)。 27已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均数是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。

解：由83页知：P{5200?X?9400}?1?{P(X?5200)?P(X?9400)}

P83 ?1?P(X?5200?X?9400}?1?P(X?7300?2100)?1?700221002?1?18?. 9928 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机的取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总合大于1920小时的概率。

??e??x,x?0,解：75页5：Xi(i?1,2,?,16)～f(x)??70页3：

0,x?0,?E(X)????0?xe??x????x1已知??x??dx??xe?edx??100(1)

00??E(X2)????0?x3e??xdx??x2e??x1由(1)????x2???2xedx?00?2?

D(X)?E(X2)?[E(X)]2??2?1002, 21

由87页定理6：记X?k?1?Xk,则P{?Xi?1920}?1?P{i?1i?11616?Xi?1600?1616?100?1??(0.8)?1?0.7881?0.2119.1920?1600

}40029．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.

第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k?1,2,?,100),则Xk独立同分布,且??E(Xk)?2,?2?1.69,命中的总次

100100数X??Xk,k?1k?1?Xk?n?n?(近似)～N(0,1),P{180?X?220}??(2020)??(?)?0.8759 1313

30 一部件包括10部分，每部份的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望是2㎜，均方差是0.05，规定总长度为20?0.1(mm)时产品合格，试求产品合格的概率。

解：由87页定理6P(20?0.1?10i?1?Xi?20?0.1)?

10P{20?0.1?2010?0.05?Xi?20?i?1查表20?0.1?2010?}?2?()?1?2?(0.632456)?1?2?0.7357?1?0.4714.

510?0.0510?0.0531 设Xi(i?1,2,?,100)是相互独立同分布的随机变量，若E(Xi)?1,D(Xi)?2.4,100(i?0,1,2,?,100),，

用中心极限定理求P{Xi?90}的近似值。

i?1100i?1P{X?90}?1?P{X?90}?1?P{??ii解：

i?1100100i?1??Xi?100?11002.4?90?100?1}

1002.4?1??(?12.4)??(12.4)??(0.65)?0.742232．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率．

,p?0.017，公司亏本当且仅当 2000X?40?10000,即X?200，于是， 设老人死亡数为X,n?10000X?N(np,npq)，亏本的概率：

P{X?200}?1??(200?npnp(1?P))?1??(2.321)?0.01017．

33 （1）一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，必须至少有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。

（2）一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80％以上的部件正常工作才能使整个系统正常工作。问n至少多大才能使系统的可靠性不低于0.95。 解：(1)由88页定理7 X表示损坏数，则X～b(100,0.1)

22

P{X?15}?P{X?10100?0.1?0.9?5}??()?0.9525

3100?0.1?0.915?10(2)同理：X表示损坏数，则X～b(n,0.1),N为0.2n取整。

P{X?N}?P{X?0.1n0.3n?N?0.1n0.3n}??(N?0.1n0.3n)?0.05，可得n至少为25。

34 随机的选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的PH值，每个人测量的结果是随机变量，它们相互独立且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均

（1）求{4.9?X?5.1}.（2）求{?0.1?X?Y?0.1}. 解：（1）由87页定理6P{4.9?X?5.1}?P(4.9?80?80i?1?Xi?5.1?80)?

8248080?0.380?0.380?0.324查表8?2?()?1?2?(1.633)?1?2?0.9484?1?0.8968.24（2）E(Xi?Yi)?0;D(Xi?Yi)?2?0.3?0.680P{?8?i?1?Xi?80?0.5?8}??(8)??(?)

P{?880?0.6?i?1?(Xi?Yi)80?0.6?880?0.6查表222}??()??(?)?2?()?1?2?(1.55)?1?2?0.8749?1?0.7498.333

35．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望?(未知），方差?2?400.为了估计?，随机地取n只这种器1件，在时刻t?0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命为X1,X2,?,Xn,以X?n?Xk作为?k?1n的估计.为了使P{X???1}?0.95,问n至少为多少？

n P{X???1}?0.95,?P{i?1?Xi?n?n??n?1?n}?0.95

P{i?1?Xi?n?n??nnn?}?0.95??(n?)??(?n?)?0.95n?1.962?202?1536.64,?n?1537

2?(?)?1.95,??(查nn)?0.975??（1.96）;?1.96,2020

23

习题五

1 设从总体X抽样得到一个大小为10的样本，其值为： 4.5， 2.0， 1.0， 1.5， 3.4，4.5， 6.6， 5.0，3.5， 4.0。分别计算样本均值X与样本方差S2.

2110110110222x?3.6s?(x?x)?(x?10x)?2.95. 解：x??i?i?i10i?19i?19i?12 设总体X服从正态分布N(72,100),为使样本均值大于70的概率不少于90％，其样本容量至少应取多少？

解：由104页（3.3）因为X服从N(72,100),?P{X?70}?1?P{X?70}，从而 n查表X?7270?72教材P34(5)n?(1.29)?0.90?P{X?70}?1?P{X?70}?1?P{?}??(),?(x)单增.

510n10n故:1.29?n,n?6.452?41.6025,取n?42. 53 设总体X～N(?,?2),?,?2均未知，已知样本容量n?16,样本均值

X?12.5,样本方差s2?5.333,求P{X???0.4}.

解： s?P{X???0.4}?1?PX???0.4?P{X????0.4}. 5.333?2.312由104页定理4，

???????X??t(15)??X??t(15)?P{X???0.4}?1?P???0.692??P??0.692?

?????2.312/4??2.312/4?t分布的对称性???X??t(15)?查表P{X???0.4}?1?2P??0.692??1?2?0.25?0.5.

2.312/4????4在正态总体N(20,3)中抽取2个独立样本，样本均值分别为X,Y，又样本容量分别为10，15，则

P{X?Y?0.3}?0.6774

注：X～N(20,33133?? ，E(X?Y)?0,D(X?Y)?DX?DY?),Y～N(20,),X,Y独立。

101510152故P{X?Y?0.3}?P{X?Y12X?Y12?0.32}?P{X?Y12??0.32}

?2[1?P{?0.32}?2?(0.32)?0.67745在正态总体N(?,0.52)中抽取个独立样本X1,X2,?,X10,，

24

（1）已知?102?0,求P{Xi?4};（2）?未知,求P{(Xi?X)2?2.85};

i?1i?1?10?10X210Xi?0i服从N(0,1),??4?Xi2服从?2(10)，故： 解：（1）由99页定理1有

20.5i?10.5i?1P{?Xi2?4}?P{4?Xi2?16}i?1i?11010查表?2(10)?0.1;

10(X?X)210i?4(Xi?X)服从?2(9)，故 （2）104页定理3,0.52i?1i?1??P{?(Xi?X)2?2.85}?P{4?(Xi?X)2?11.4}i?1i?11010查?2(9)?0.25;

6设X1,X2,?,Xn为泊松分布P(?)的一个样本，X,S2为样本均值和样本方差，求 （1）(X1,X2,?,Xn)的分布律。（2）D(X),E(S2).

nxi解：P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}?e?P{X?xi}?i??1xi!i?1n?????i?1n?xie?n?,(xi?0,1,2,?)

n?xi!i?1X1,?,Xn独立同分布P74:D(Xi)??1n1?D(X)?D(?Xi)?D(Xi)?.

ni?1nnn?1?nn2E(S)?E?(Xi?nX??{D(Xi)?[E(Xi)]2}?{D(X)?[E(X)]2n?1???n?1i?1?n?1

nn??{???2}?{??2}??n?1n?1n2?7总体X～N(?,?2),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，（1）求X1,X2,?,Xn的联合概率密度。（2）求

X的概率密度。

?1（1）???2?????e?n?i?1?(xi??)22?2n（2）

12???ne2(??(x??)2n)2

8设X1,X2,?,Xn,Xn?1,?,Xn?m是来自正态总体N(0,?2)的容量为n?m的样本，求下列统计量的抽样分布：

25

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