矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案

习题1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1 x acost,y bsint 2

x 3sint,y 4sint,z 3cost

解： 1 r acosti bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。

2 r 3sinti 4sintj 3costk，其图形是平面4x 3y 0与圆柱面

2

x2 z2 3之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M

所描曲线的矢量方程。

解：设M点的矢径为OM r xi yj， AOC ，CM与x轴的夹角为

2 ；因OM OC CM有

r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 i asin 2 j

则

x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 .

故r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j

2

4．求曲线x t,y t,z

23

t的一个切向单位矢量 。 3

2

解：曲线的矢量方程为r ti tj

23

tk 3

dr2

i 2tj 2tk 则其切向矢量为dt

模为|

dr

| 4t2 4t4 1 2t2 dt

drdri 2tj 2t2k

/|| 于是切向单位矢量为dtdt1 2t2

2

6．求曲线x asint,y asin2t,z acost,在t

4

处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为 r

asin2ti asin2tj

acostk

切向矢量为

dr

asin2ti 2acos2tj asintk dt

drdt

t

在t

4

处，

4

ai a

k 7.求曲线x t2 1,y 4t 3,z 2t2 6t 在对应于t 2 的点M处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得M(5,5, 4),曲线矢量方程为r在t 2的点M处，切向矢量

(t2 1)i (4t 3)j (2t2 6t)k,

drdt

[2ti 4j (4t 6)k]t 2 4i 4j 2k

t 2

于是切线方程为

x 5y 5z 4x 5y 5z 4

,即

442221

于是法平面方程为2(x 5) 2(y 5) (z 4) 0，即 2x 2y z 16 0

8．求曲线r ti t2j t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x 2y z 4。 解：曲线切向矢量为

dr

i 2tj 3t2k， ⑴ dt

平面的法矢量为n i 2j k，由题知

n i 2tj 3t2k i 2j k 1 4t 3t2 0

得t 1,

1

。将此依次代入⑴式，得3

1 3

|t 1 i j k, |

故所求点为 1,1 1 ,

t

111i j k3927

1 11

,, 3927

习题2 解答

1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

1 u

1

;

Ax By Cz D

2

u arc

解： 1 场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0外的空间。 等值面为

11

，这是与平 C1或Ax By Cz D 0（C1 0为任意常数）

Ax By Cz DC1

面Ax By Cz D 0平行的空间。

2 场所在的空间区域是除原点以外的z2 x2 y2的点所组成的空间部分。等值面为z2 (x2 y2)sin2c,(x2 y2 0)，

当sinc 0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当sinc 0时，是除原点外的xOy平面。

2．求数量场u x2 y2

z

经过点M 1,1,2 的等值面方程。

解：经过点M 1,1,2 等值面方程为

x2 y2 12 12

uz 2

1，

即z x2 y2，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场u xy，求场中与直线x 2y 4 0相切的等值线方程。 解：设切点为 x0,y0

，等值面方程为xy c x0y0，因相切，则斜率为 k

y0x 1

，即x0 2y0 02

点 x0,y0

在所给直线上，有

x0 2y0 4 0

解之得y0 1,x0 2 故xy 2

4．求矢量A xy2

i x2

yj zy2

k的矢量线方程。

解 矢量线满足的微分方程为

A dr 0，

或

dxdydz

222

xyxyzy

有xdx ydy,

dxdz

. xz

x2 y2 C1,

(C1,C2为任意常数) 解之得

z C2x

5.求矢量场A x2i y2j (x y)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为

dxdydz

. 22

(x y)zxy

由

dxdy11

得 C1， 22

xyxy

d(x y)dzd(x y)dz

,即 .解得x y C2z.

x yzx2 y2(x y)z

按等比定理有

11

1 C1,

y故矢量线方程为 x又M(2,1,1)求得C1 ,C2 1

2 x y Cz

2 111

y2. 故所求矢量线方程为 x

x y z

习题3 解答

1．求数量场u xz 2yz在点M 2,0, 1 处沿l 2xi xyj 3zk的方向导

23

2

2

4

数。

解：因l

M

2xi xy2j 3z4k

M

4i 3k，其方向余弦为

cos

43,cos 0,cos . 55

u u u

2xz3 4, 4yz 0, 3x2z2 2y2 12, x y z

在点M(2,0, 1)处有

所以

u43

( 4) 0 0 12 4 l55

2．求数量场u 3x2z xy z2在点M 1, 1,1 处沿曲线x t,y t2,z t3朝t增大一方的方向导数。

解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为t 1,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为

dxdt

1,

M

dydt

2t

M

t 1

2,

dzdt

3t2

M

t 1

3，

3其方向余弦为cos

1,cos

2,cos

.

又

u x

(6xz y)M 7,

M

u y

xM 1,

M

u z

(3x2 2z)

M

M

5。

于是所求方向导数为

u l

(

M

u u u1 2324cos cos cos ) 7 ( 1) 5 x y zM

3．求数量场u x2yz3在点M 2,1, 1 处沿哪个方向的方向导数最大？

解： 因

u

grad u l0 grad ucos ， l

当 0时，方向导数最大。

grad uM (

u u ui j k) x y zM

M

(2xyz3i x2z3j 3x2yz2k)

4i 4j 12k,

即函数u沿梯度grad uM 4i 4j 12k方向的方向导数最大 最大值为grad u

M

4。

4.画出平面场u

1213

(x y2)中u 0,,1,,2的等值线，并画出场在M1(2,2)与点222

M2(3,7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：

（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；

（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。

x2 y2 0,x2 y2 1,

解：所述等值线的方程为：x2 y2 2,x2 y2 3,其中第一个又可以写为

x2 y2 4,

x y 0,x y 0为二直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线

（如下图,

图中G1 grad uM,

1

G2 grad uM,）

2

由于grad u xi yj, 故

grad uM 2i 2j,

1

grad uM 3i 7j,

2

由图可见，其图形都符合所论之事实。

5．用以下二法求数量场u xy yz zx在点P 1,2,3 处沿其矢径方向的方向导数。

1 直接应用方向导数公式； 2 作为梯度在该方向上的投影。

解： 1 点P的矢径r i 2j 3k,其模r .其方向余弦为

cos

1,cos

2,cos

3.又

u x

(y z)P 5,

P

u y

(x z)P 4,

P

u z

(x y)P 3

P

所以

u l5

(

P

u u ucos cos cos ) x y zP 4

2 3

3 22。

1

2 grad u

P

(

u u u

i j k) 5i 4j 3k, x y zP

r0

u l

r123 i j k. r grad uP r0 5

P

故

1 4

2 3

3

22 。

6，求数量场u x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点O(0,0,0)与点A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？

解：grad u （2x y 3）i (4y x 2)j (6z 6)k,

grad uO 3i 2j 6k,grad uA 6i 3j 0k,

其模依次为：32 ( 2)2 ( 6)2 7,62 32 02 35 于是grad uO的方向余弦为cos

326

,cos ,cos . 777

,cos

15

,cos 0.

grad uA的方向余弦为cos

2 2x y 3 0,

求使grad u 0之点，即求坐标满足 4y x 2 0,之点，由此解得

6z 6 0 x 2,y 1,z 1故所求之点为( 2,1,1).

7．通过梯度求曲面x2y 2xz 4上一点M(1, 2,3)处的法线方程。 解：所给曲面可视为数量场u xy 2xz的一张等值面，因此，场u在点

2

M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即

grad uM (2xy 2z)i xj 2xk

2

M

2i j 2k,

故所求的法线方程为

x 1y 2z 3

. 212

8．求数量场u 3x 5y 2z在点M 1,1,3 处等值面朝Oz轴正向一方的法线方

2

2

向导数

u

。 n

解：因grad u

u u ui j k 6xi 10yj 2k x y z

grad u

M

6i 10j 2k

梯度与z夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数为

u

grad u n

习题 4

1.设S为上半球面x2 y2 z2 a2(z 0),求矢量场r xi yj zk向上穿过S的通量【提示：注意S的法矢量n与r同指向】 。解：

r dS rndS rdS a dS a 2 a2 2 a3.

S

S

S

S

2.设S为曲面x2 y2 z2 a2(0 z h),求流速场v (x y z)k在单位时间内下侧穿S的流量Q。

Q解：

(x y z)dxdy (x y x2 y2)dxdy, 其中D为S在xOy面上的投

S

D

2

2

影区域：x y

2

Q (rcos rsin r)rdrd h.用极坐标计算，有

D

d (r2cos r2sin r3)dr

2 h2

hh212

[(cos sin ) ]d h.

342

3

3.设S是锥面z

x2 y2在平面z 4的下方部分，求矢量场A 4xzi yzj 3zk向

下穿出S的通量 。

解：略

4.求下面矢量场A的散度。

（1）A (x yz)i (y xz)j (z xy)k; （2）A (2z 3y)i (3x z)j (y 2x)k;

3

2

3

（3）A (1 ysinx)i (xcosy y)j. 解：（1）div A 3x2 2y 3z2 （2）div A 0

（3）div A ycosx xsiny 1

5.求div A在给定点处的值：（1）A x3i y3j z3k在点M(1,0, 1)处； （2）A 4xi 2xyj z2k在点M(1,1,3)处； （3）A xyzr(r xi yj zk)在点M(1,3,2)处； 解：（1）div AM (3x 3y 3z)（2）div AM (4 2x 2z)M 8

（3）div A xyzdiv r grad(xyz) r 3xyz (yzi xzj xyk) (xi yj zk)

2

2

2

M

6

6xyz， 故div AM 6xyzM 36。

6.已知u xy2z3,A x2i xzj 2yzk,求div (uA)。 解：div A 2x 2y

grad u y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k

故div (uA) udiv A grad u A

xyz(2x 2y) (yzi 2xyzj 3xyzk)(xi xzj 2yzk) 2xyz 2xyz xyz 2xyz 6xyz 3xyz 8xyz 2xyz. 7．求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量 ： （1）A xi yj zk,S为球面x y z a;

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3

2

3

3

2

4

2

2

3

2

3

3

2

2

3

2

4

3

3

2

3

2

3

3

2

2

2

x2y2z2

（2）A (x y z)i (y z x)j (z x y)k,S2 2 2 1.

abc

解：（1） A dS div AdV

s

222

3(x y z)dV

其中 为S所围之球域x2 y2 z2 a2今用极坐标

x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos 计算，有

3 r rsin drd d 3

22

2

125

d sin d rdr a

005

a4

（2）

4

3dV 3 abc 4 abc。 A dS div AdV 3 S

习题五

1． 求一质点在力场F yi zj xk的作用下沿闭曲线l:x acost,y asint,

z a(1 cost)从t 0到t 2 运动一周时所做的功。

解：功W

F dl ydx zdy xdz

l

l

a

2 02

2

sin2t a2(1 cost)cost a2costsintdt

a

2

(1 cost costsint)dt 2 a2

2.求矢量场A yi xj Ck(C为常数)沿下列曲线的环量： （1）圆周x2 y2 R2,z 0； （2）圆周(x 2)2 y2 R2,z 0。

解：（1）令x Rcos ，则圆周x2 y2 R2,z 0的方程成为

x Rcos ,y Rsin ,z 0，于是环量

A dl ydx xdy Cdz (Rsin Rcos )d 2 R.

l

l

222

（2）令x 2 Rcos ，则圆周(x 2) y R,z 0的方程成为

2

222

2

x Rcos 2,y Rsin ,z 0，于是环量

A dl ydx xdy Cdz

l

l

2

[R2sin2 (Rcos 2)Rcos ]d

(R2 2Rcos )d 2 R2

2

3.用以下两种方法求矢量场A x(z y)i y(x z)j z(y x)k在点M（1,2,3）处沿方向n i 2j 2k的环量面密度。 （1）直接应用环量面密度的计算公式； （2）作为旋度在该方向上的投影。 解：（1）n

n122122

i j k,故n的方向余弦为cos ,cos ,cos . n333333

又P x(z y),Q y(x z),R z(y x)根据公式，环量面密度

n

M

[(Ry Qz)cos (Pz Rx)cos (Qx Py)cos ]M 12258619

[(z y) (x z) (x y)]M

3333333

(2)rot AM [(z y)i (x z)j (x y)k]M 5i 4j 3k,于是

n

M

122 rot AM n0 (5i 4j 3k) (i j k)

33358619

3333

4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1）A (3x2y z)i (y3 xz2)j 2xyzk; （2）A yz2i zx2j xy2k; （3）A P(x)i Q(y)j R(z)k.

6xy

解：（1）DA z2

2yz

3x23y22xz

1

2 div A 6xy 3y 2xz ,故有

2xy

2xy (8x 3y)y,

22

4xzi (1 2yz)j (z 3x)k. rot A

0z22yz

（2）DA 2xz0x2 ,故有div A 0 0 0 0,

y22xy0

rot A x(2y x)i y(2z y)j z(2x z)k.

P'(x)00

（3）DA 0Q'(y)0 ,故有div A P'(x) Q'(y) R'(z).

' 0 0R(z)

rot A 0。

5.已知u exyz,A z2i x2j y2k,求rot uA. 解：rot uA u rotA grad u A,

02z 0

xyz

DA 2x00 ,有rot A 2yi 2zj 2xk,u rotA e(2yi 2zj 2xk),

02y0

grad u exyz(yzi xzj xyk),grad u A

i exyzyzz2

jxzx2

k

xy exyz[(xy2z x3y)i (xyz2 y3z)j (x2yz xz3)k], y2

rot uA exyz[(2y xy2z x3y)i (2z xyz2 y3z)j (2x x2yz xz3)k]

6.已知A 3yi 2z2j xyk,B x2i 4k,求rot (A B).

i

解：A B 3y

j2z20

k

xy 8z2i (x3y 12y)j 2x2z2k. 4

16z

x3 120 , 0 4x2z

2

2

2

x2

0

D(A B) 3x2y

4xz2

故有rot (A B) 0i (4xz 16z)j 3xyk 4z(xz 4)j 3xyk. 习题

六

1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。 （1）A ycosxyi xcosxyj sinzk;

（2）A (2xcosy ysinx)i (2ycosx xsiny)j. 解：（1）记P ycosxy,Q xcosxy,R sinz.

2

2

i

则rot A

xPj yQ

x

k

0i 0j [(cosxy xysinxy) (cosxy xysinxy)]k 0 zR

y

z

所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v：

10公式法：v P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C1

x

0dx xcosxydy sinzdz C1

yz

0 sinxy cosz 1 C1 cosz sinxy C.

20不定积分法：因势函数v满足A grad v，即有

vx ycosxy,vy xcosxy,vz sinz,

将第一个方程对x积分，得v sinxy (y,z),

对y求导，得vy xcosxy y(y,z)，与第二个方程比较，知

'

'y(y,z) 0,于是 (y,z) (z),从而v sinxy (z).

再对z求导，得vz (z),与第三个方程比较，知 '(z) sinz，故 (z) cosz C. 所以v cosz sinxy C.

（2）记P 2xcosy y2sinx,Q 2ycosx x2siny,R 0. 则

'

i

rot A

xPj yQ

x

k

0i 0j [( 2ysinx 2xsiny) ( 2xsiny 2ysinx)]k 0 zR

y

z

所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v：

1公式法：v P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C

000

2

2xdx (2ycosx xsiny)dy 0dz C

xyz

x ycosx xcosy x C ycosx xcosy C.

222222

20不定积分法：因势函数v满足A grad v，即有

vx 2xcosy y2sinx,vy 2ycosx x2siny,vz 0,

将第一个方程对x积分，得v x2cosy y2cosx (y,z),

对y求导，得vy xsiny 2ycosx y(y,z)，与第二个方程比较，知

2

'

'y(y,z) 0,于是 (y,z) (z),从而v x2cosy y2cos (z).

再对z求导，得vz '(z),与第三个方程比较，知 '(z) 0，故 (z) C. 所以v x2cosy y2cosx C.

2.下列矢量场A是否保守场？若是，计算曲线积分Adl：

l

（1）A (6xy z2)i (3x2 z)j (3xz2 y)k，l的起点为A(4,0,1),终点为

B(2,1, 1);

（2）A 2xzi 2yz2j (x2 2y2z 1)k，l的起点为A(3,0,1),终点为B(5, 1,3).

6y

解：（1）DA 6x

3z2 6x3z2

0 1 ,有 16xz

rot A [( 1) ( 1)]i (3z2 3z2)j (6x 6x)k 0,故A为保守场。因此，存在

A dl的原函数u。按公式

u P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz

xyz

0dx 3xdy (3xz2 y)dz 3x2y xz3 yz,于是

23

Adl (3xy xz yz) l

B(2,1, 1)A(4,0,1)

xy

2

z

7。

0 2z

2

（2）DA 02z

2x4yz 2x

4yz ,有rot A (4yz 4yz)i (2x 2x)j 0k 0,故A为保2y2

u。按公式 守场。因此，存在A dl的原函数

u P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz

xyz

0dx 0dy (x2 2y2z 1)dz x2z y2z2 z,于是

xyz

222

Adl (xz yz z)l

B(5, 1,3)A(3,0,1)

73.。

3.求下列全微分的原函数u：

（1）du (x2 2yz)dx (y2 2xz)dy (z2 2xy)dz; （2）du (3x2 6xy2)dx (6x2y 4y3)dy. 解：由公式u （1）u

x

P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C

y

z

yz

x

x2dx y2dy (z2 2xy)dz C

（2）u

13

x

3

2

13

y

3

y

1313

2xyz C (x z33

y

3

z) 2xyz C；

3

x

3xdx (6x2y 4y3)dy C x3 3x2y2 y4 C。

9.证明矢量场A (2x y)i (4y x 2z)j (2y 6z)k为调和场，并求其调和函数。

210

解：DA 142 ，有

02 6

div A 2 4-6 0,rot A (2-2)i (0 0)j (1 1)k 0故A为调和场。

其调和函数u由公式u

x

y

x

P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C

z0

yz

2xdx (4y x)dy (2y 6z)dz C x2 2y2 xy 2yz 3z2 C.

10.已知u 3xz yz 4xy 2x 3y 5,求 u.【提示： u div(grad u)】 解：grad u (6xz 12xy 2)i ( 2yz 4x 3)j (3x 3yz)k,则

2

3

3

2

2

2

2,233

u div(grad u) 6z 24xy 2z3 6y2z.

13.试证矢量场A 2yi 2xj为平面调和场，并且： （1）求出场的力函数u和势函数v；

（2）画出场的力线和等势线的示意图。 证：记P 2y,Q 2x,则有div A

P Q 0 0 0, x y

rot A (

Q P

-)k 0k 0,故A为平面调和场。

x y

（1）由公式，并取其中(x0,y0) (0,0)，则 势函数v

x

x

P(x,0)dx Q(x,y)dy C

y0

y

x

0dx 2xdy C 2xy C,

力函数u

Q(x,0)dx P(x,y)dy C0

y0

y

x

2xdx 2ydy C x2 y2 C0.

（2）分别令u与v等于常数，就得到 力线方程：x2 y2 C1 ，

等势线方程：xy C2 二者均为双曲线族，但对称轴相差

角。如上图所示。 4

14.已知平面调和场的力函数u x2 y2 xy ，求场的势函数v及场矢量A. 解：力函数u与势函数v之间满足以下关系：

u v,u

x

y

y

vx

由

vy ux 2x y,有v (2x y)dy 2xy

12

y (x), 2

由此

v

x

2y '(x)，又vx uy 2y x,与前式相比可知 '(x) x,

121

x C,故势函数v 2xy (y2 x2) C. 22

所以 (x)

于是。场矢量A grad v (x 2y)i (2x y)j. 习题 八

2． 计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。

（1） 曲线坐标( , ,z)，它与直角坐标(x,y,z)的关系是：

x ach cos ,y ash sin ,z z(a 0);

（2）曲线坐标( , ,z)，它与直角坐标(x,y,z)的关系是：

x a cos ,y b sin ,z z(a,b 0,a b).

解：（1）因曲线坐标系( , ,z)是正交的，根据x ach cos ,y ash sin ,z z(a 0) 有dx ash cos d ach sin d ,

dy ach sin d ash cos d ,dz dz.于是

dx2 dy2 dz2 a2(sh2 cos2 ch2 sin2 )(d 2 d 2) dz2

a2(ch2 cos2 )(d 2 d 2) dz2，故拉梅系数为：

H2 H ach2 cos2 (Hz 1)，（或） ash2 sin 。

（2）因曲线坐标系( , ,z)不是正交的，故不能用上面的方法来求。 根据x a cos ,y b sin ,z z,按定义有

H2x )2 ( y )2 ( z

(

)2 a2cos2 b2sin2 , H2 x2 ( )2 ( y )2 ( z

)2 a2 2sin2 b2 cos2 , H2 x2 y z

z (

z) ( z)2 ( z

)2 1,由此得拉梅系数为： H2 acos2 b2sin2 ,H a2sin2 b2cos2 ,Hz 1.

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