2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题Word版(新课标Ⅰ卷,含答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题Word版(新课标Ⅰ卷,含答案),已修改

试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1+z

（1） 设复数z满足=i，则|z|=

1 z（A）1 （B

） （C

（D）2 （2）sin20°cos10°-cos160°sin10°= （A

）11 （B

（C） （D）

22（3）设命题P： n N，n2>2n，则 P为 （A） n N, n2>2n （B） n N, n2≤2n （C） n N, n2≤2n （D） n N, n2=2n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312

x2

y2 1 上的一点，F1、F2是C上的两个焦（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：2

点，若MF1 MF2＜0，则y0的取值范围是

（A）（

-

（B）（

-）（C）

（

，）（D）

（

，）

33333

36

6

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（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D为△ABC所在平面内一点，BC 3CD，则

（A） 13 43 (B) 14

3 3

（C） 43 141

3 (D) 3 3

(8)函数f(x) cos( x )的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)(k 13

4,k 4),k Z

(B) (2k 13

4,2k 4),k Z

(C) (k 14,k 3

4),k Z

(D) (2k 14,2k 3

4

),k Z

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

（10）(x2

x y)5

的展开式中，x5

y2

的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60

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（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20 ，则r= （A）1（B）2（C）4（D）8

12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（ ） A. [

333333

,1) B. [ ,) C. [,) D. [,1) 2e2e42e42e

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数f(x) xln(x a x2)）为偶函数，则x2y2

1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆（14）一个圆经过椭圆

164

的标准方程为 。

x 1 0

y

（15）若x,y满足约束条件 x y 0，则的最大值为 .

x x y 4 0

（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

2 Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an 2an 4Sn 3

（Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设bn

1

,求数列{bn}的前n项和 anan 1

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（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。 （1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

18

表中w

i

xi， wi

8i 1

（1） 根据散点图判断，y=a+bx与y关于年宣传费x的回归

方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1）,（u2 v2） .. （un vn）,其回归线v= u的

斜率和截距的最小二乘估计分别为：

(u

i 1

n

n

i

)(vi )

i

,

(u

i 1

)2

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（20）（本小题满分12分）

x2

在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y kx a(a>0)交与M,N两点，

4

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当K变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

1

已知函数f（x）=x3 ax ,g(x) lnx

4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y f(x) 的切线；

（Ⅱ）用min m,n 表示m,n中的最小值，设函数h(x) min f(x),g(x)讨论h（x）零点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。 （22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是☉O的直径，AC是☉C的Q切线，BC交☉O于E

(x 0) ，

（I） 若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （II） 若OA=CE，求∠ACB的大小.

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（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系 O 中。直线C1: = 2，圆C2： 1 2 1,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I） 求C1，C2的极坐标方程； （II） 若直线C3的极坐标方程为

2

2

4

R ，设C2与C3的交点为M

,N ,求

C2MN的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；

（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

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