中考压轴题中的二次函数（一） 带答案和详细解析 30道解答题

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中考压轴题的中的二次函数(1)

一．解答题（共30小题） 1．（2016?贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

2．（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

2

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3．（2015?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2015?通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形

2

（1）求该抛物线的解析式； （2）求点P的坐标； （3）求证：CE=EF；

（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，

2

试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）]．

5．（2015?龙岩）如图，已知点D在双曲线y=

（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与

2

y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q． （1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式； （2）证明∠ACO=∠OBC；

（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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6．（2015?甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5． （1）求b，c的值；

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

2

7．（2015?镇江）如图，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值；

2

（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．

2

①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；

22

②请在二次函数y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）； ③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？

④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？

2

2

2

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8．（2015?绵阳）已知抛物线y=﹣x﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．

（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；

（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；

2

（3）在抛物线y=﹣x﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

9．（2015?南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，

（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．

（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．

2

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10．（2015?辽阳）如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与抛物线y=ax+x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标； （3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2

11．（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

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12．（2015?湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=2

﹣x+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

13．（2015?葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax+x+c经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

2

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14．（2015?曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆． （1）求抛物线的解析式；

（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标； （3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．

2

15．（2015?湘潭）如图，二次函数y=x+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

2

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16．（2015?营口）如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x=﹣1和x=3时，y的值相等，直线y=

x﹣

与抛物线有两个交点，

其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M． （1）求这条抛物线的表达式．

（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．

①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；

②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？

（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．

17．（2015?潜江）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；

（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．

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18．（2015?锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的

2

一个动点，连接CA，CD，PD，PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标； （3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．

19．（2015?大庆）已知二次函数y=x+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标； （3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．

≤y≤

？若存在，

2

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20．（2015?达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；

（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

21．（2015?深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上． （1）求抛物线的解析式；

（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；

（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

2

22．（2015?海南）如图，二次函数y=ax+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求证：四边形ACHD是正方形；

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（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m，∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB =×4×（﹣m﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4 =﹣m﹣2m+8﹣2m﹣8 2=﹣m﹣4m， 2=﹣（m+2）+4， ∵﹣4＜m＜0， 当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4． 答：m=﹣2时S有最大值S=4． （3）设P（x，x+x﹣4）． 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB∥OQ， ∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值， 又∵直线的解析式为y=﹣x， 则Q（x，﹣x）． 由PQ=OB，得|﹣x﹣（x+x﹣4）|=4， 解得x=0，﹣4，﹣2±2． x=0不合题意，舍去． 如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）． 由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）． 2222）， 点评： 本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法． 第16页（共97页）

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2．（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． （3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解． 解答： 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax+bx+6上， 2∴，解得2， ∴抛物线的解析式为y=2x﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n﹣8n+6）， 2∴PC=（n+2）﹣（2n﹣8n+6）， 2=﹣2n+9n﹣4， =﹣2（n﹣）+22， 第17页（共97页）

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∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为． （3）∵△PAC为直角三角形， i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°． 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在； ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°． 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=． 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3， ∴M（3，0）． 设直线AM的解析式为：y=kx+b， 则：，解得， ∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ① 2又抛物线的解析式为：y=2x﹣8x+6 ② 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M点重合． 当x=3时，y=x+2=5， ∴P1（3，5）； iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°． 22∵y=2x﹣8x+6=2（x﹣2）﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x=2． 如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C， 第18页（共97页）

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则点C在抛物线上，且C（，）． 当x=时，y=x+2=∴P2（，）． ）均在线段AB上， ）． ． ∵点P1（3，5）、P2（，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识． 3．（2015?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴； （2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标． （3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t﹣2t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案． 解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5）， 把点A（0，4）代入上式得：a=， 第19页（共97页）

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∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x﹣∴抛物线的对称轴是：x=3； （2）P点坐标为（3，）． 2x+4=（x﹣3）﹣2， 理由如下： ∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3， ∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4） 如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小． 设直线BA′的解析式为y=kx+b， 把A′（6，4），B（1，0）代入得， 解得， ∴y=x﹣， ∵点P的横坐标为3， ∴y=×3﹣=， ∴P（3，）． （3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，t﹣2t+4）（0＜t＜5）， 如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D， 第20页（共97页）

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由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4， 把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4）， 此时：NG=﹣t+4﹣（t﹣∵AD+CF=CO=5， ∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=AD?OC=×（﹣t+4t）×5=﹣2t+10t=﹣2（t﹣）+2222t+4）=﹣t+4t， 2， ， ∴当t=时，△CAN面积的最大值为由t=，得：y=t﹣∴N（，﹣3）． 2t+4=﹣3， 点评： 本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用． 4．（2015?通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形

2

（1）求该抛物线的解析式；

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（2）求点P的坐标； （3）求证：CE=EF；

（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，

2

试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）]． 考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 2分析： （1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式； （2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标； （3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解； （4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在． 2解答： 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2， 解这个方程，得a=， ∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）+1=x﹣x+2； （2）将x=2代入y=x，得y=2 ∴点C的坐标为（2，2）即CG=2， ∵△PCQ为等边三角形 ∴∠CQP=60°，CQ=PQ， ∵PQ⊥x轴， ∴∠CQG=30°， ∴CQ=4，GQ=2． ∴OQ=2+2，PQ=4， 将y=4代入y=（x﹣2）+1，得4=（x﹣2）+1 解这个方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2∴点P的坐标为（2+2，4）； 222222＜0（不合题意，舍去）． （3）把y=x代入y=x﹣x+2，得x=x﹣x+2 解这个方程，得x1=4+2，x2=4﹣2∴y=4+2=EF ∴点E的坐标为（4+2，4+2） ∴OE=又∵OC==4+4=2， ， 第22页（共97页）

＜2（不合题意，舍去） [在此处键入]

∴CE=OE﹣OC=4+2， ∴CE=EF； （4）不存在． 如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE ∵∠QCP=60°， ∴∠MCE=60° 又∵CE=EF， ∴EM=EF， 又∵点E为直线y=x上的点， ∴∠CEF=45°， ∴点M与点F不重合． ∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾， ∴原假设错误，满足条件的点M不存在． 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键． 5．（2015?龙岩）如图，已知点D在双曲线y=

（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与

2

y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q． （1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式； （2）证明∠ACO=∠OBC；

（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 第23页（共97页）

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分析： （1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式； （2）连接AC，tan∠ACO==，tan∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO． 2（3）分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t，t﹣t+4），分三种情况①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分别求解即可． 解答： 解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4）， ∴点D的纵坐标是4， 又∵点D在双曲线y=∴4=， （x＞0）的图象上， 解得x=5， 故点D的坐标是（5，4）． 如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD， 在RT△DAE中，DA=5，DE=4， ∴AE==3， ∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8， ∴A（2，0），B（8，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4）， ∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=， ∴抛物线的解析式为y=x﹣x+4． （2）如图2，连接AC， 2第24页（共97页）

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在RT△AOC中，OA=2，CO=4， ∴tan∠ACO==， 在RT△BOC中，OB=8，CO=4， ∴tan∠CBO==， ∴∠ACO=∠CBO． （3）∵B（8，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+4， 如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G， 设P（t，t﹣t+4）， 2①AQ：AP=1：4，则易得Q（∵点Q在直线y=﹣x+4上， ，）， ∴﹣+4=，整理得t﹣8t﹣36=0， ，t2=4﹣2， ，11﹣），P2（4﹣2，2解得t1=4+2∴P1（4+2，11+）， ）， ②AQ：AP=2：4，则易得Q（第25页（共97页）

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∵点Q在直线y=﹣x+4上， ∴﹣?2+4=， ，P4=4﹣2， ，5+）； ，）， 整理得t﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2③AQ：AP=3：4，则易得Q（∵点Q在直线y=﹣x+4上， ∴﹣?+4=，整理得t﹣8t﹣4=0，解得t5=4+22，t6=4﹣2， ∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）， 综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的四等分点，其坐标分别为P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）． 点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解． 6．（2015?甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c，经过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5． （1）求b，c的值；

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）把A（0，﹣4）代入可求c，运用两根关系及|x2﹣x1|=5，对式子合理变形，求b； （2）因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； 第26页（共97页）

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（3）由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可． 解答： 2解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c，经过点A（0，﹣4）， ∴c=﹣4 又∵由题意可知，x1、x2是方程﹣x+bx﹣4=0的两个根， ∴x1+x2=b，x1x2=6 由已知得（x2﹣x1）=25 又∵（x2﹣x1）=（x2+x1）﹣4x1x2=b﹣24 ∴b﹣24=25 解得b=±∴b=﹣，当b=． 时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去． 222222（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 又∵y=﹣x﹣2x﹣4=﹣（x+）+2， ∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点D． （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（﹣6，0），根据菱形的性质，点P必是直线x=﹣3与 抛物线y=﹣x﹣2x﹣4的交点， 2∴当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）﹣×（﹣3）﹣4=4， ∴在抛物线上存在一点P（﹣3，4），使得四边形BPOH为菱形． 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（﹣3，3），但这一点不在抛物线上 点评： 本题考查了抛物线解析式的求法，根据菱形，正方形的性质求抛物线上符合条件的点的方法． 7．（2015?镇江）如图，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值；

2

（2）设二次函数y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）（k为实数），它的图象的顶点为D．

2

①当k=1时，求二次函数y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象与x轴的交点坐标；

2

第27页（共97页）

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②请在二次函数y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）； ③过点M的一次函数y=﹣x+t的图象与二次函数y=ax+bx+c的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在∠NMP的平分线上？

④当k取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？

2

2

22

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）利用顶点式的解析式求解即可； 22（2））①当k=1时，y=﹣x+4x﹣1，令y=0，﹣x+4x﹣1=0，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标； 222②y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）； ③由y=﹣+t，经过（﹣1，6），可得t的值，由MN⊥x轴，可得E点的横坐标为﹣1，可得出AE，ME，MA的值．设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函数表达式为y=﹣2x+4．再把点D代入，即可求出k的值； ④观察可得出当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小． 2解答： 解：（1）设y=a（x﹣1）+2，将（0，3）代入，得a=1， 22∴y=（x﹣1）+2，即y=x﹣2x+3， ∴a=1，b=﹣2，c=3； （2）①当k=1时，y=﹣x+4x﹣1，令y=0，﹣x+4x﹣1=0，解得x=2±，即图象与x轴的交点坐标（2+，0），（2﹣，0）； 222②y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）当经x=﹣1时，y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称， ∴M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）， ③y=﹣x+t，经过（﹣1，6），得t=∴y=﹣x+，则A（7，0）， 第28页（共97页）

22， [在此处键入]

∵MN⊥x轴， ∴E点的横坐标为﹣1， ∴AE=8， ∵ME=6， ∴MA=10． 如图1，设MD交AE于点B，作BC⊥AM于点C， ∵MD平分∠NMP，MN⊥x轴， ∴BC=BE，设BC=x，则AB=8﹣x，显然△ABC∽△AME， ∴=，则x=3．得点B（2，0）， ∴MD的函数表达式为y=﹣2x+4． ∵y=ax+bx+c与y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）=﹣[x﹣（k+1）]+（k+1）+2k﹣3． 2把D（k+1，k+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±， 2由y=k（2x+2）﹣（ax+bx+c）有意义可得k=﹣3+， ④是． 当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大， 当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小． 点评： 本题主要考查了二次函数，涉及二次函数的解析式的求法，一次函数的知识及相似三角形，解题的关键是把二次函数图象与其它函数图象相结合解决问题． 8．（2015?绵阳）已知抛物线y=﹣x﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．

（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；

（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；

（3）在抛物线y=﹣x﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

2222第29页（共97页）

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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标； （2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，进而可得出P点坐标，根据S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出结论； （3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可． 解答： 解：（1）由题意得，，整理得2x+5x﹣4a=0． 2∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣∵a≠0， ∴a＞﹣且a≠0． ． 令x=0，得y=a， ∴A（0，a）． 由y=﹣（x+1）+1+a得，M（﹣1，1+a）． （2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（0，a），M（﹣1，1+a）， ∴，解得， 2∴直线MA的解析式为y=﹣x+a， 联立得，，解得， ∴N（，﹣）． 第30页（共97页）

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∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°， ∴∠MBN+∠ABO=90°， ∴∠NMB=∠ABO， ∵∠MNO=∠BOA， ∴△MNB∽△BOA， ∴=， 即=解得：x=当x=， 或x=0（舍去）， ，即M（，）； ， 时，y=②当∠BAM′=90°时，易知△AM′N′∽△BAO，∴即即M′（﹣，﹣，解得x=﹣）， ，或4（舍去），当x=﹣时，y=﹣， 则满足条件M的坐标为（）或（﹣，﹣）； （3）如图2所示，当D点运动到x轴上时，易知△AD′E′∽△ABO， ∴，∴AE′=，∴EE′=AB﹣BE﹣AE′=5﹣2﹣=， ∴当0≤t≤时，S=2； 当≤t≤3时，S=﹣当3≤t≤5时，S=2t+t﹣2t+t+； ． 第36页（共97页）

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点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定抛物线解析式，相似三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 11．（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值； （2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=第37页（共97页）

m2[在此处键入]

﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标； （3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系． 解答： 解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4， ∴C（0，2），A（﹣4，0）， 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称， ∴点B的坐标为1，0）． ②∵抛物线y=ax+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1）， 又∵抛物线过点C（0，2）， ∴2=﹣4a ∴a=∴y= x22x+2． m2（2）设P（m，m+2）． 过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q， ∴Q（m，m+2）， ∴PQ==2m2m+2﹣（m+2） m﹣2m， ∵S△PAC=×PQ×4， =2PQ=﹣m﹣4m=﹣（m+2）+4， ∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4， 此时P（﹣2，3）． 22第38页（共97页）

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（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=， ∴∠CAO=∠BCO， ∵∠BCO+∠OBC=90°， ∴∠CAO+∠OBC=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC∽△ACO∽△CBO， 如下图： ①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，设M（n，∴MN=n+n﹣2，AN=n+4 当时，MN=AN，即n+n﹣2=（n+4） 222n2n+2），则N（n，0） 整理得：n+2n﹣8=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=2 ∴M（2，﹣3）； 当时，MN=2AN，即n+n﹣2=2（n+4）， 22整理得：n﹣n﹣20=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=5， ∴M（5，﹣18）． 综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似． 点评： 本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． 12．（2015?湘西州）如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=2

﹣x+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速

第39页（共97页）

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度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式；

（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；

（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；

（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）先由直线AB的解析式为y=﹣x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=，PA=3﹣t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可； （3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t，点Q的坐22标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）+2（3﹣t）+3），则FQ=3t﹣t，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标； （4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3﹣t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值． 解答： 解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 2将A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x+bx+c， 得，解得22 ∴抛物线的解析式为y=﹣x+2x+3； （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， 第40页（共97页）

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