泰勒公式与导数的应用

泰勒公式与导数的应用

名称 泰 勒 公 式 主要内容 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?(x?x0)n?1（?(n?1)!介于，称为拉格朗日型余项；或x0于x之间）Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1其中Rn(x)?x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 (n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n2）sinx?x?????(?1)?o(x2n?2) 3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx3）cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!6!(2n)!n?1x2x3nx1?x)?x?????(?1)?o(xn?1) 4）ln(23n?11?1?x?x2???xn?o(xn) 1?xm(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nmx???x?o(xn) 6）(1?x)?1?mx?2!n!5）

1

巩固练习

★1.按(x?1)的幂展开多项式f(x)?x4?3x2?4。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求f(x)按(x?x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n?1阶的导

数在x?x0处的值，然后带代入公式即可。

解：f?(x)?4x3?6x，f?(1)?10；f??(x)?12x2?6，f??(1)?18；

f???(x)?24x，f???(1)?24；f(4)(x)?24；f(4)(1)?24；f(5)(x)?0；

将以上结果代入泰勒公式，得

f?(1)f??(1)f???(1)f(4)(1)23f(x)?f(1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)?(x?1)41!2!3!4!?8?10(x?1)?9(x?1)2?4(x?1)3?(x?1)4。

★★2.求函数

f(x)?x按(x?4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：同1。 解：f?(x)?12x，

111?3f?(4)?；f??(x)??x2，f??(4)??；

4324733?515?(4)f???(x)?x2，f???(4)?(x)??x2；将以上结果代入泰勒公式，得 ；f256816f?(4)f??(4)f???(4)f(4)(ξ)23f(x)?f(4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)?(x?4)4

1!2!3!4!111?2?(x?4)?(x?4)2?(x?4)3?4645121?x?x2f(x)?1?x?x25128ξ72（ξ(x?4)4，介于x与4之间）。

★★★3.把

在x?0点展开到含x4项，并求f(3)(0)。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

1?1?x?x2???xn?o(xn)。 1?x

解：

1?x?x21?x?x2?2x2x1f(x)???1??1?2x(1?x)1?x?x21?x?x21?x?x21?x3?1?2x(1?x)(1?x3?o(x3))?1?2x?2x2?2x4?o(x4)；

2

又由泰勒公式知x前的系数

★★4.求函数

3f???(0)?0，从而f???(0)?0。 3!f(x)?lnx按(x?2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论

n?1x2x3nx????(?1)?o(xn?1)。 ln(1?x)?x?23n?1方法一：（直接展开）f?(x)?f???(x)?2x3，

1111，f?(2)?；f??(x)??2，f??(2)??； x2x41(n?1)!(n)n?1(n?1)!f???(2)?；?,f(n)(x)?(?1)n?1f(2)?(?1)，； 4xn2n将以上结果代入泰勒公式，得

f?(2)f??(2)f???(2)f(4)(2)23lnx?f(2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)4?1!2!3!4!111f(n)(2)3(x?2)?? ?(x?2)n?o((x?2)n)?ln2?(x?2)?3(x?2)2?3223?2n!?(?1)n?11nn(x?2)?o((x?2))。 nn?2x?2x?21x?22)?ln2??() 22221x?231x?2nx?2n11?()???(?1)n?1()?o(())?ln2?(x?2)?3(x?2)2 32n2222113n?1?(x?2)???(?1)(x?2)n?o((x?2)n)。 3n3?2n?21★★5.求函数f(x)?按(x?1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。

x方法二：f(x)?lnx?ln(2?x?2)?ln2?ln(1?知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

1?1?x?x2?1?x方法一：f?(x)???xn?1x2，

1(1??)n?2xn?1。

2x3，

f?(?1)??1；f??(x)?f??(?1)??2；f???(x)??6x4，

f???(?1)??6?,f(n)(x)?(?1)n将以上结果代入泰勒公式，得

n!n!(n)nf(?1)?(?1)??n!； ，n?1n?1x(?1) 3

1f?(?1)f??(?1)f???(?1)?f(?1)?(x?1)?(x?1)2?(x?1)3?x1!2!3!

f(n)(?1)f(n?1)(ξ)n?(x?1)?(x?1)n?1

n!(n?1)!(?1)n?1??1?(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?n?2(x?1)n?1（ξξ23n介于x与?1之间）。

方法二：

11????[1?(x?1)?(x?1)2?(x?1)3???(x?1)n x1?(x?1)(?1)n?1(?1)n?123nn?1?n?2(x?1)]??1?(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?n?2(x?1)n?1

ξξ（ξ介于x与?1之间）。

★★6.求函数

y?xex的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。

知识点：麦克劳林公式。

思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。f(x)中含有e时，通常利用已知结论

xx2xne?1?x?????o(xn)。

2!n!x方法一：y??(x?1)e，y?(0)?1；y???(x?2)e，y??(0)?2；?,yxx(n)?(x?n)ex，

y(n)(0)?n，将以上结果代入麦克劳林公式，得

f?(0)f??(0)2f???(0)3xe?f(0)??x?x?x?1!2!3!xf(n)(0)n?x?o(xn)

n!x3xnn?x?x???? ?o(x)。

2!(n?1)!2x2xn?1x3n?12方法二：xe?x(1?x?????o(x))?x?x???

2!(n?1)!2!xxnn ?o(x)。 ?(n?1)!1★★7.验证当0?x?2x2x3?时，按公式e?1?x?26x计算e的近似值时，所产生的误差小于

x0.01，并求e的近似值，使误差小于0.01。

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知识点：泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。

解：R3(x)?111e4e4211?0.646。 ；e?1???x?x???0.01428484!4!4!2192?5，求ln1.2的近似值，并估计其误差。

ξ12★★8.用泰勒公式取n知识点：泰勒公式的应用。 解：设f(x)?ln(1?x)，则

f?(0)f??(0)2f(x)?f(0)?x?x?1!2!f(5)(0)5?x

5!x2x5????x?52误差为：

0.220.230.240.25????0.1823；其，从而ln1.2?f(0.2)?0.2?234510.266。 R5(x)??x??0.0000107666(1?ξ)★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：

12x?1?x23232（1） lim(x?3x?x?x)； （2）lim2x?0x???(cosx?ex)sinx21? 。

知识点：泰勒展开式的应用。

思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。

31323解：（1）lim(x?3x?x?x)?lim[x(1?2)3?x(1?)2]

x???x???xx1111(?1)13111112?lim[x(1??2?o(2))]?x(1??(?)?2?2?o(2))]x???3x2x2xxx1911?lim(??o())?。 x???28xx2111?x2?1?x21?x2?(1?x2)222（2）lim?lim22x?0(cosx?ex)sinx2x?0(cosx?ex)x21

11(?1)14121222x?o(x4)1?x?(1?x?)x4?o(x4)18222。 ?lim?lim??24x?0x?012x3x(1??o(x2)?(1?x2?o(x2)))x2??o(x4)22x2?ln(1?x)。 ★★10.设x?0，证明：x?2 5

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