机械优化设计(1)复习资料

一、填空题

（x2 x1) 1 x1 最优解时，设x1. 用最速下降法求f x =100

步迭代的搜索方向为______。 2 0 0.5,0.5 ,第一T

2. 机械优化设计采用数学的规划法，其核心一是最佳步长，二是搜索方向。

3. 当优化问题是凸规划的情况下，在任何局部最优解就是全域最优解。

4. 应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点，中间点和终

点，他们的函数值形成趋势高低高。

5. 包含n个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。

6. 函数1TxHx BTx c的梯度为____HX+B____。 2

7. 与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值的不变方向。

01018. 设G为n n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d,d,满足dGd 0，

则d0，d1之间存在关系。

9. 设计变量，目标函数，约束条件是优化设计问题的数学模型的基本要素。

10. 对于无约束二元函数f x1,x2 ，若在x0 x12,x34 点处取得极小值，其必要条件是在x0点的梯度为0,充分条件是在x0点的海赛矩阵正定。

11. K-T条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负

线性组合。

12. 用黄金分割法求一元函数f x x 10x 36的极值点，初始搜索区间2

a,b 10,10 ，经第一次区间消去后得到新区间_________。

13. 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量，目标函数，约束条件。

2k 1kk14. 牛顿法搜索方向d= ( fx) fx，其计算量，且要求初始在级极小点

近位置。

.将函数f(X)=x1+x2-x1x2-10x1-4x2+60表示成221TXHX BTX C的形式2

2-1 x1 x1 1 x1x2 -10-4 x x 60。 -122 2 2

15. 存在矩阵H，向量d1，d2，当满足1Hd2=0向量d1和向量d2是关于H。 T

16. 采用外点法求约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r

数列，具有__单调递增___特点。

17. 采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最佳步长。

18. 对于一维搜索，搜索区间为 a,b ，中间插入两个点a1，b1，a1 b1，计算出

f a1 f b1 ，则缩短后的搜索区间为 a,b1 。

19. 由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致，派生出不同的无约束优化问题过程中，

惩罚因子具体有趋于0变化规律。

20. 寻出等式约束极值条件时，将等式优化问题转化为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日乘子法。

21. 优化问题中二元函数等值线，从外层向内层函数值逐渐变小

22. 优化设计中，可行设计点为可行域内的设计点。

23. 方向倒数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率。

24. 设f x 为定义在凸集R上具有连续二阶导数的函数，则f x 在R上为凸函数充分

必要条件是海赛矩阵G x 在R上处处大于0

25. 在n维空间中互相共轭的非零向量是个数最多有n个。

26. 约束优化问题在可行域内对设计变量求目标函数的极小点。

27. 外点惩罚函数法的迭代过程在可行域外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近边界或

等式约束曲面

二、选择题

1. 下面___C__方法需要求海赛矩阵。

A.最速下降法 B.共轭梯度法 C.牛顿型法 D.DFP法

2. 对于约束问题

2f x x12 x2 4x2 4

2Y1 x x1 x2 1 0

Y2 x 3 x1 0

Y3 x x2 0

根据目标函数等值线和约束曲线，判断x

为________。 1 1,1 为___D_____，xT 2 31 , 22 T

A.内点；内点 B.外点；外点 C.内点；外点 D.外点；内点

3. 内点惩罚函数用于求解____B___优化问题。

A.无约束优化问题 B.只含不等式的约束优化问题

C.只含等式的优化问题 D.含有不等式和等式的约束的优化问题

4. 拉格朗日乘子法师求解等式约束优化问题的一种经典法，它是一种__D____。

A.降维法 B.消元法 C.数学规划法 D.升维法

5. 对于一维搜索，搜索区间为 a,b ，中间插入两个点a1，b1，a1 b1，计算出

f a1 f b1 ，则缩短后的搜索区间为____D____。

A. a1,b1 B. b1,b C. a1,b1 D. a,b1

6. ____D____不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A.设计变量 B.约束条件 C.目标函数 D.最佳步长

7. 变尺度发的迭代公式为x

件是___C______。 k 1 xk akHk f xk ，下列不属于Hk必须满足的条

A.Hk之间有简单的迭代形式 B.拟牛顿条件

C.与海赛矩阵正定 D.对称正定

8. 函数f x 在某点的梯度方向为函数在该点的___A_____。

A.最速上升方向 B.上升方向 C.最速下降方向 D.下降方向

9. 下面四种无约束优化方法中，____D______在构成搜索方向时没有使用到目标函数

的一阶或二阶导数。

A.梯度法 B.牛顿法

C.变尺度法 D.共轭梯度法

10. 设f x 为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f x 在R上为凸函

数的充分必要条件是海赛矩阵G x 在R上处处_A_____。

A.正定 B.半正定

C.负定 D.半负定

11. 通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是___B ____。

A.牛顿法 B.梯度法

C.共轭梯度法 D.变尺度法

12. 一维搜索试探方法中，黄金分割法比二次插值法的收敛速度__A____。

A.慢 B.快

C.一样 D.不确定

13. 下列关于最常用的一维搜索试探方法———黄金分割法的叙述，错误的是C D，

假设要求在区间 a,b 插入两点a1，a2，a1 a2。

A.其缩短率为0.618 B.a1 b b a

C.a2 b b a D.在该方法中缩短搜索区间采用的外推法

14. 与梯度成锐角的方法为函数值__A___方向，与负梯度成锐角的方向为函数值__B__

方向，与梯度成直角的方向为函数值的___C___方向。

A.上升 B.下降

C.不变 D.为零

15. 二维目标函数的无约束极小点就是___A____。

A.等值线族的一个共同中心 B.梯度为0的点

C.全局最优解 D.海赛矩阵正定

16. 最速下降法相邻两搜索方向d和dkk+1 必为向量__B_____。

A.相切 B.正交

C.成锐角 D.共轭

17. 下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是___A___。

A.需要求海赛矩阵

B.除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度

C.共轭梯度法具有二次收敛性

D.第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度

18. 下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是___A____。

A.可用来求解含不等式约束和等式约束的优化问题

B.惩罚因子是不断递减的正值

C.初始点应该选择一个离约束边界较远的点

D.初始点必须在可行域内

19. 设f x 是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则f x 在D上严格凸函

数的充要条件是___B____:

A.Hesse矩阵处处半正定 B.Hesse矩阵处处正定

C.Hesse矩阵处处半负定 D.Hesse矩阵处处负定

20. 下列几种无约束问题求解方法中，哪种算法需要计算海赛矩阵____A____。

A.牛顿法 B.梯度法 C.共轭梯度法 D.变尺度法

21. 关于正交方向和共轭方向之间的关系，下列说法正确的是B___。

A.共轭矩阵是正交矩阵的特殊情况 B.共轭矩阵是正交矩阵的推广

C.n维空间中相互共轭的非零向量个数可以为任一数量 D.

22. 多元函数的海赛矩阵是其___B__偏导数所形成的对称矩阵。

A.一阶 B.二阶

C.三阶 D.四阶

23. 关于变尺度优化方法的变尺度矩阵Ak，下列说法不正确的是___C___。

A.Ak有简单的迭代形式 B.应满足拟牛顿条件

C.与海赛矩阵正交 D.应为对称正定

24. 关于梯度，下列说法不正确的是___B____。

A.与切线方向垂直 B.是等值面的切线方向

C.是函数变化率最大的方向 D.函数最速下降方向

25. 与梯度成锐角的方向为函数值___A_____方向。

A.上升 B.下降 C.不变 D.为零

三、判断题

1. 二元函数等值线密度的区域函数值变化慢。（ⅹ）

2. 海赛矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。（√）

3. 当迭代接近极值点时，最速下降法会出现锯齿现象，导致收敛速度慢。（√）

4. 外点惩罚函数法的惩罚因子降低系数越小，则迭代次数越多。（√）

5. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向对海赛矩阵共轭。

（ⅹ）

6. 数值迭代法求极值的核心就是建立搜索方向和计算最佳步长。（√）

7. 海赛矩阵负定的充要条件是它的各阶主子式都大于零。（ⅹ）

8. 拉格朗日乘子法师求解无约束优化问题的一种方法。（ⅹ）

9. 凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。（√）

10. 一维搜索的二次插值法用到了点的函数值，一阶导数和二阶导数信息。（ⅹ）

11. 二元函数等值线稀疏的区域函数值变化慢。（√）

12. 海赛矩阵正定的充要条件是它的主子式都小于零。（ⅹ）

13. 外点惩罚函数法师只试用于不等式约束问题（ⅹ）

14. 变尺度法求解优化问题时需计算海赛矩阵（ⅹ）

15. 梯度法求解无约束优化问题的迭代过程中相邻两次迭代方向相互垂直。（√）

四、问答题

1.什么是一维搜索问题？

答：当方向dk给定时，求最佳步长 k就是求一元函数

f(xk 1) f(xk kdk) ( k)的极值问题，它称为一维搜索。

2.试述两种一维搜索方向的原理，它们之间有何区别？

答：搜索的原理是：区间消去法原理

区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法

（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。

3.共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？

1TXGX bTX ck2对于二次函数，,从X点出发，沿G的某一共轭方向

dk作一维搜索，到达Xk 1点，则Xk 1点处的搜索方向dj应满足f X

(x,r1,r2) f(x) r1 G(gj(x)) r2 H(hk(x))

j 1k 1

kml d gjTjk 1 gk 0，即终点Xk 1与始点Xk的梯度之差gk 1 gk与d的共轭方向d正交。

3.惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？

答：惩罚函数求解约束优化问题的基本原理是将约束优化问题

s.t.minf(x)gj(x) 0

hk(x) 0(j 1,2, ,m)(k 1,2, ,l)

中的不等式和等式约束优化函数 经过加权转化后，和原目标函数结合成新的目标函数----惩罚函数，即求解该新的目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。

4.与最速下降法和牛顿法比较，试述变尺度法的特点。

答：牛顿法对于二次正定函数只需作一次迭代就得到最优解，特别是在极小点附近，收敛性很好、速度快，而最速下降法在极小点附近收敛速度很差。但牛顿法也有缺点，它要求初始点在最优点附近，否则牛顿法不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。因此，变尺度法就是在克服了梯度法收敛速度慢和牛顿法计算量、存储量大的特点基础上而发展起来。

6.试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。

答 主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子的近似值 .

7.写出应用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。X1=x0+a0d0.

答：意义是从X0出发沿某一规定方向d0求函数的极值点，设此点为X1，再从X1出发沿d1方向求函数的极值点X2，如此继续。

8.变尺度矩阵的搜索方向是什么？变尺度矩阵应满足什么条件？变尺度矩阵在极小点处逼近什么矩阵？并写出其初始形式。

答：搜索方向是拟牛顿方向S（0)=-A(0)▽f(X(k))，条件：(1)为保证迭代公式具有下降的性质，要求变尺度矩阵中的每一个矩阵都是对称正定的。（2）要求矩阵之间具

kk。（3）要求矩阵必须满足拟牛顿条件。变尺度矩阵在有简单的形式:k 1

极小点处逼近海塞矩阵的逆矩阵。初始形式Hk=I（单位矩阵）。 H H E

9.在变尺度法中，变尺度矩阵Hk为什么要求都是正定对称的？

Tkd Hggd 0，也就是kkkk答：因为若要求搜索方向为下降方向，即要求

TT gkHkgk 0，这样gkHkgk 0,即Hk应为对称正定。

10.什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系？

答：共轭方向是若干个方向矢量组成的方向组，具有某种共同的性质，之间存在特定

dddd的关系。存在矩阵H，向量1，2，当满足d1Hd2=0，向量1和向量2是关于H

共轭方向。共轭是正交的推广，正交是共轭的特例。

11.请写出应用MATLAB优化工具箱处理约束优化设计问题的基本步骤。

答：（1）编写定义目标函数的M文件——如：function f =ws331(x)

f=1000-x(1)^2-2*x(2)^2-x(3)^2-x(1)*x(2)-x(1)*x(3) T

（2）编写定义约束方程函数的M文件——如：function [c,ceq] =ws332(x) C（小于等于0）=[-x(1);-x(2);-x(3)];

Ceq（等于0）=[x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56];

（3）在窗口调用求解命令求解.。

求解格式为：x0=[-1, 1]

[x, fval]=fmincon(@fun1 ,x0,[ ],[ ],[ ] ,[ ] ,[ ] ,[ ], @con)

12.试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。

答：最速下降法此法优点是直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢，越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。

13.何为优化设计的可行设计域和可行设计点？

答:可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。在可行域内的任意一点可以叫做可行设计点。

14.无约束优化问题数值求解的一般步骤是什么？

答：（1）编写M文件，——function f =fun1(x)

如f=x^4-5*x^3+4*x^2-6*x+60目标函数文件。

（2)在命令窗口中调用无约束线性函数fminunc求解。（单变量用fminbnd） 求解格式为：x0=[-1, 1]

[x, fval]=fminunc(@fun1,x0)

五、解答题

1. 试用牛顿法求f x x1 2 x1 2x2 的最优解，设初始点x

2222 0 2,1 。 T2. 设有函数f X x1 2x2 2x1x2 4x1，试利用极值条件求其极值点和极值。

3. 试用梯度法求目标函数f X 1.5x1 0.5x2 x1x2 2x1的最优解，设初始点22

x 0 2,4 ，迭代精度 0.02（迭代一步）。 T

4. 求目标函数f X x1 2x2 x1x2 4x1 6x2 10的极值和极值点。 22

5. 试证明函数f X 2x1 5x2 x3 2x3x2 2x3x1 6x2 3在点 1,1, 2 处具222T

有极小值。

6. 设非线性规划问题

2minf X = x1 2 x22

s.tg1 X x1 0

g2 X x2 0

2g3 X x12 x2 1 0

用K-T条件验证x 0 1,0 为其约束最优点。 T

7. 给定约束优化问题

minf X = x1 3 x2 2

2s.tg1 X x12 x2 5 022

g2 X x1 2x2 4 0

g3 X x1 0

g4 X x2 0

验证在点x 3,3 K-T条件成立。

8. 用共轭梯度法求函数f x1,x2 T3212x1 x2 x1x2 2x1的极小点 22

9. 已知目标函数为f X = X1 X2，受约束于 g1 X x12 x2 0

g2 X x2 0

写出内点惩罚函数。

10. 已知目标函数为f X x1 1 x2 2 受约束于: 22

g1 X x2 x1 1 0

g2 X 2 x1 x2 0

g3 X x1 0

g4 X x2 0

试写出内点惩罚函数。

11. 已知等式约束问题为：

2minf X =x12 4x2 7

s.th1 x x1 x2 10 0

试写出外点惩罚函数。

12. 已知目标函数为：

2minf X =x12 2x2 2x1 1

s.tg1 X 3 2x2 0

试构造两种惩罚项，并写出相应内点惩罚函数。

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