莘县一中高一级数学竞赛试题

莘县一中高一数学竞赛试题

一．选择题（本大题有12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）．

1．直线l与直线y?1，x?y?7?0分别相交于点P、Q，PQ的中点为(1,?1)，则直线l的斜率为( )

A．23

B．32

C．?23

D．?32

2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A．落在相应各组的数据的频数 B．相应各组的频率 C．该样本所分成的组数

D．该样本的样本容量

3．对任意实数k，圆C：x2?y2?6x?8y?12?0与直线l:kx?y?4k?3?0的位置关系是( ) A．相交

B．相切

C．相离

D．与k取值有关

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，面对角线与AD1成60°角的有( ) A．10条

B．8条

C．6条

D．4条

5．方程x?log2x?2和x?log3x?2的根分别是? 和 ?，则?、?的大小关系为( ) A．无法确定

B．???

C．???

D．???

6．已知函数y?2?|x?1|?m的图象与x轴有交点时，m的取值范围是( ) A．?1?m?0 B．0?m?1 C．m?1

D．0?m?1

7．已知集合P?{(x,y)|y?9?x2},Q?{(x,y)|y?x?b},若集合PQ中只

有一个元素，则b的取值范围是( ) A．b??3

B．?3?b?32 C．3?b?32 D．?3?b?3或b?32

8．一个圆锥有三条母线两两垂直，则它的侧面展开图的圆心角是( )

高一数学竞赛试题A．63? B．236? C．22? D．343? 9．用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱．可用的长方形钢板有四种不同规格(长?宽的尺寸，如选项所示，单位均为m)．若既够用，又要所剩最少，则应选择钢板规格是( ) A．2?5

B．2?5.5

C．2?6.1

D．3?5

10．设函数f(x)?lg(x2?ax?a?1)，在下面给出的命题中正确的是( ) ①f(x)有最小值；

②当a?0时，f(x)的值域为R；

③当a?0时，f(x)在区间[2,??)上有反函数；

④若f(x)在区间[2,??)上单调递增，则实数a的取值范围a??4． A．②③

B．①②

C．③④

D．②④

11．在锐角?ABC中，下列关系成立的是( )

A．sinA?cosA?sinB?cosB B．sinA?cosB?cosA?sinB

C．cosA?sinB?sinA?cosB D．sinA?sinB?cosA?cosB

12．己知A．B．C．D是空间不共面的四点，它们到平面?的距离相等，则满足条件的平面?的个数是( ) A．3

B．4

C．7

D．8

二．填空题（本大题有8个小题，每小题6分，共48分，将答案规范仔细地填在答案卷上）．

13．抛掷一均匀骰子，事件A表示“朝上一面的点数是奇数” ，事件B表示“朝上一面的点数不超过3” ，事件C表示“朝上一面的点数是偶数” ，则

P(A?C)? ，则P(A?B)? ．

14．已知P为直线x?y?6?0上一动点，PA，PB为圆x2?y2?2x?2y?1?0的两切线，A、B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积最小时P点坐标为 ，最小面积为 ．

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15．奇函数f(x)在(??,0)内是减函数，f(?2)?0，则满足xf(x?1)?0的x的范围是 ．

16．已知函数f(x)满足f(p?q)?f(p)f(q),p、q?R，且f(1)?2,则 f2(1)?f(2)f2(2)?f(4)f2(3)?f(6)f2(4)?f(1)?f(3)?f(5)?f(8)f(7)= ．

17．己知函数f(x)?mx2?6mx?m?8的定义域为R，则m的取值范围

是 ．

18．函数y?x2?1?x2?4x?8的最小值为 ． 19．在三棱锥的四个面中，是直角三角形最多有 个．

20．若函数f(x)?ax?b?2在区间[0,??)上为增函数，则实数a,b的取值范围是 ．

三．解答题（本大题有4个小题，共54分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）．

21．(12分)设f(x)是定义在区间(??,3]上的减函数，并且己知f(a2?sinx)

?f(a?1?cos2x)对于x?R恒成立，求实数a的取值范围．

22．(14分)四棱锥P?ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E．F分别AB．PD的中点，又二面角P?CD?B为45． (1)求证：AF//平面PEC； (2)求证：平面PEC⊥平面PCD；

(3)设AD=2，CD=22，求点A到平面PEC的距离．

23．(14分)已知圆C:(x?1)2?(y?2)2?2和过点P(2,?1)作圆C的切线PA、

高一数学竞赛试题PB，A、B为切点．

(1)求PA、PB所在直线的方程； (2)求AB所在的直线方程．

24．(14分)已知函数f(x)?logx?3ax?3的定义域是[m,n)，值域是(loga[a(n?1)]，loga[a(m?1)]] (其中a是小于1的正数)． (1)求证：m?3； (2)讨论f(x)的单调性； (3)求正数a的取值范围．

数学竞赛答案页

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二．填空题

13． 14．

15． 16．

17． 18．

19． 20．

三．解答题 21．解：

班级 姓名 考号

22．解：

高一数学竞赛试题

23．解：

第3页 共6页

24．解：

班级 姓名 考号

高一数学竞赛试题

一．选择题第4页 共6页

数学竞赛试题参考答案

1-5 CBABD 5-10 DDBCA 11-12 DC

二．填空题 13． 1 ；

23 14．(?3,?3)；31 15．{x|x??1,或0?x?1,或x?3} 16． 16 17．[0，1] 18．13 19．4 20．a?0,b?0 三．解答题

21．解：由题意可得：??a?1?cos2x?a2?sinxa2?sinx?3 对x?R恒成立 ??(2分)

?22即??a?a?1?cosx?sinx2sinx?3 对x?R恒成立 ?????????(4分) ?a?令t(x)?sinx?3，则t(x)mni?2 ∴a2?2 ?????????(6分)

令s(x)?1?cos2x?sinx，则s(x)??(sinx?)12?29?944 ∴a2?a?94 ?(9分) ?a2?2 解不等式组??1?10?29 得：?2?a? ?????????(11分) ?a?a?42因此，实数a的取值范围是[?2 , 1?102] ???????????(12分) 22．(1)证：取PC的中点G，连结EG、FG， ∵F为PD中点 ∴ FG

12CD 又ABCD为矩形，E为AB中点 ∴ AEFG ∴ 四边形AEGF为平行四边形，

∴ AF//EG ???????????(2分) 而EG?平面PEC,AF?平面PEC

∴ AF//平面PEC ?????????(4分)

高一数学竞赛试题(2)证：从PA⊥平面ABCD知 AD是PD、AF在平面ABCD上的射影，

又四边形ABCD为矩形， ∴ CD⊥AD ∴ CD⊥PD CD⊥AF

故∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，即∠PDA=45°????????(6分) ∵ PA⊥平面AC，AD?平面AC ∴PA⊥AD ∵ F为PD中点， ∴AF⊥PD，又AF⊥CD，CDPD?D ∴ AF⊥平面PCD

由(1)知AF//EG ∴EG⊥平面PCD

又EG?平面PEC ∴平面PEC⊥平面PCD ??????????(9分) (3)解：由(2)知平面PEC⊥平面PCD，过点F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC 由(1)知AF//平面PEC，∴ A点到平面PEC的距离即等于FH ??(11分) 在Rt△PFH和Rt△PCD中，∠CPD公共角∴ Rt△PFH∽Rt△PCD ∴

FHCD?PFPC 在Rt△PAD中，∠PDA=45°，AD=2，F为PD中点，∴ PF=2，PD=22 又PC=CD2?PD2?8?8?4,CD?22， ∴ FH=

PFCDPC?2224?1 ???????????????(13分) ∴ A点到平面PEC的距离为1． ??????????????(14分) 23．解：(1)据题意知切线的斜率存在，设为k，又切线过点P(2,?1) ∴设切线方程为y?1?k(x?2)，即kx?y?2k?1?0???????(1分)

∵C(1,2)，半径r?2，由点到直线距离公式得：

|k?2?2k?1|k2?(?1)2?2 ????????(3分)

解之，得k?7或k??1是 ???????(5分)

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故切线PA．PB所在直线方程分别是

x?y?1?0和7x?y?15?0 ?????(6分)

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)则

(x221?1)?(y1?1)2?2,(x2?1)?(y2?2)2?2 ??????????(7分) ∵ CA⊥AP ∴ kCAk2AP??1 ∴

y1?x1?y1?1x??1 ????(9分) 1?1?2∴(y1?2)(y1?1)??(x1?1)(x1?2) ∴(y1?2)(y1?2?3)??(x1?1)(x1?1?1)

∴(y1?2)2?3(y1?2)??(x1?1)2?(x1?1) ∴(x1?1)2?(y21?2)?3(y1?2)?(x1?1)?0

∵(x21?1)2?(y1?2)?2 ∴ x1?3y1?3?0 ??????(11分) 同理可得x2?3y2?3?0 ????????????????(13分) ∵ A．B两点的坐标都满足方程x?3y?3?0

∴ 直线AB的方程是x?3y?3?0 ???????????(14分) (本问也可以利用以CP为直径的圆方程和已知圆方程相减得到)

24．解：(1)由

x?3x?3?0 解得：x??3或x?3 又因函数定义域为[m,n)，所以 m?n??3 或 3?m?n

高一数学竞赛试题而函数值域为(loga[a(n?1)，(loga[a(m?1)]]，知m?1,且n?1，

于是 3?m?n 即 m?3 ????????????(3分) (2)设m?x31?x2?n，则

x1?x?x2?3?6(x1?x2)x?0 ∴x1?3x2?3 1?3x2?3(1?3)(x2?3)x?1?3x2?3又0?a?1，故 logx1?3?logx2?3axax 1?32?3因此f(x)在[m,n)上是单调递减函数 ????????????(6分)

(3)由上得f(m)?loga[a(m?1)]，f(n)?loga[a(n?1)]

于是m与n是方程logx?3ax?3?loga[a(x?1)]的两实根． 由此得

x?3x?3?a(x?1)有两个大于3的不等实根??????????(8分) 记g(x)?ax2?(2a?1)x?3(a?1)，利用它的图象得到

??2?32?3???0,?a?4或a?4??g(3)?0,???a?0??2a?1 (12分)解得? ?2a?3???0?a?1,?a?1?8?0?a?1 所以正数a的取值范围是0?a?2?34??????????(14分)

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故切线PA．PB所在直线方程分别是

x?y?1?0和7x?y?15?0 ?????(6分)

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)则

(x221?1)?(y1?1)2?2,(x2?1)?(y2?2)2?2 ??????????(7分) ∵ CA⊥AP ∴ kCAk2AP??1 ∴

y1?x1?y1?1x??1 ????(9分) 1?1?2∴(y1?2)(y1?1)??(x1?1)(x1?2) ∴(y1?2)(y1?2?3)??(x1?1)(x1?1?1)

∴(y1?2)2?3(y1?2)??(x1?1)2?(x1?1) ∴(x1?1)2?(y21?2)?3(y1?2)?(x1?1)?0

∵(x21?1)2?(y1?2)?2 ∴ x1?3y1?3?0 ??????(11分) 同理可得x2?3y2?3?0 ????????????????(13分) ∵ A．B两点的坐标都满足方程x?3y?3?0

∴ 直线AB的方程是x?3y?3?0 ???????????(14分) (本问也可以利用以CP为直径的圆方程和已知圆方程相减得到)

24．解：(1)由

x?3x?3?0 解得：x??3或x?3 又因函数定义域为[m,n)，所以 m?n??3 或 3?m?n

高一数学竞赛试题而函数值域为(loga[a(n?1)，(loga[a(m?1)]]，知m?1,且n?1，

于是 3?m?n 即 m?3 ????????????(3分) (2)设m?x31?x2?n，则

x1?x?x2?3?6(x1?x2)x?0 ∴x1?3x2?3 1?3x2?3(1?3)(x2?3)x?1?3x2?3又0?a?1，故 logx1?3?logx2?3axax 1?32?3因此f(x)在[m,n)上是单调递减函数 ????????????(6分)

(3)由上得f(m)?loga[a(m?1)]，f(n)?loga[a(n?1)]

于是m与n是方程logx?3ax?3?loga[a(x?1)]的两实根． 由此得

x?3x?3?a(x?1)有两个大于3的不等实根??????????(8分) 记g(x)?ax2?(2a?1)x?3(a?1)，利用它的图象得到

??2?32?3???0,?a?4或a?4??g(3)?0,???a?0??2a?1 (12分)解得? ?2a?3???0?a?1,?a?1?8?0?a?1 所以正数a的取值范围是0?a?2?34??????????(14分)

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