数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论（12）

1、设x 0，x的相对误差为 ，求lnx的误差。

[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为 r*(x) ，绝对误差为 *(x) x*，从而lnx的误差为 *(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为 (lnx)

*

r

1*

x ， x*

*(lnx)

lnx*

lnx*

。

2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。

[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为 r*(x) 2%，绝对误差为 *(x) 2%x*，从而x的误差为 (lnx) (x) 相对误差为 (lnx)

*

r

n

*n

x x*

(x) n(x)

**n 1

2%x 2n% x

*

*n

，

*(lnx)

(x)

*n

2n%。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。

***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。

****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4

的数。

***（1）x1； x2 x4

f *******

e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (xk124) x

k 1 k [解]；

111

10 4 10 3 10 3 1.05 10 3

222

n

*

***

（2）x1x2x3；

f***

e*(x1x2x3)

k 1 xk

n ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k231132123

*

1[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031) 10 3；

222

0.59768 10 3 212.48488 10 3 0.01708255 10 3

213.09964255 10 3 0.21309964255

**

（3）x2。 /x4

*

f**

e*(x2/x4)

k 1 xk

n*

x21*** (x) (x) (x)k24**2 x4(x4)

[解]

110.031156.4611 3 3

10 3 10 10。 22

56.430222(56.430)(56.430)56.4611 3 5 10 0.88654 10(56.430)22

5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？

4

*( (R*)3)

4[解]由1% r*( (R*)3) 可知，

43

(R*)33

444

*( (R*)3) 1% (R*)3 (R*)3 *(R*) 4 (R*)2 *(R*)， 33 3

1* *(R*)11**

1% 从而 (R) 1% R，故 r(R) 。 *

33300R

*

*

6、设Y0 28，按递推公式Yn Yn 1

1

783(n 1,2, )计算到Y100，若取100

）试问计算Y100将有多大误差？ 783 27.982（五位有效数字，

[解]令n表示Yn的近似值，e*(Yn) n Yn，则e*(Y0) 0，并且由

11

27.982，Yn Yn 1 783可知， 100100

1

n Yn n 1 Yn 1 (27.982 783)，即

10012

e*(Yn) e*(Yn 1) (27.982 ) e*(Yn 2) (27.982 ) ，从

100100n n 1

而e*(Y100) e*(Y0) (27.982 ) 783 27.982，

而783 27.982

11

10 3，所以 *(Y100) 10 3。 22

7、求方程x2 56x 1 0的两个根，使它至少具有四位有效数字（783 27.982） [解]由x 28 783与783 27.982（五位有效数字）可知， 。 x1 28 28 27.982 55.982（五位有效数字）

而x2 28 783 28 27.982 0.018，只有两位有效数字，不符合题意。 但是x2 28

128 783

N 1N

1

1.7863 10 2。

55.982

8、当N充分大时，怎样求 [解]因为

N 1N

1

dx？ 1 x2

1

dx arctan(N 1) arctanN，当N充分大时为两个相近数相2

1 x

N 1)， arctanN，则N 1 tan ，N tan ，从而 减，设 arctan(

tan( )

tan tan (N 1) N1

2，

1 tan tan 1 N(N 1)N N 1

因此

N 1

N

11

dx arctan。 22

1 xN N 1

9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2? [解]由 *((l*)2) l*)2] *(l*) 2l* *(l*)可知，若要求 *((l*)2) 1，则

(l)

**

*((l*)2)

2l*

111

，即边长应满足l 100 。

2002 100200

12

gt，假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t2

增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

10、设S

[证明]因为 *(S) (

dS**

) (t) gt* *(t) 0.1gt*， dt

(S)

*r

*(S)

S*

gt* *(t)2 *(t)1 ，所以得证。 1t*5t**2g(t)2

11、序列 yn 满足递推关系yn 10yn 1 1(n 1,2, )，若y0 2 1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

y 2

[解]设n为yn的近似值， *(yn) n yn，则由 0与

yn 10yn 1 1

0 1.411*

(y) 10 2，n yn 10(n 1 yn 1)，即 可知， 0

2 n 10n 1 1

*(yn) 10 *(yn 1) 10n *(y0)，

11

从而 *(y10) 1010 *(y0) 1010 10 2 108，因此计算过程不稳定。

22

12、计算f (2 1)6，取2 1.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？

1(2 1)

6

，(3 22)3，

1(3 22)

3

，99 2。

[解]因为 *(f)

11

10 1，所以对于f1 ， 62(2 1)

e*(1) 1e*(1.4)

611 1 4 2

，有一位有效数字； 10 6.54 10 107

22(1.4 1)

对于2 (3 22)3，

11

e*(2) 2e*(1.4) 6(3 2 1.4)2 10 1 0.12 10 1 10 1，没有有效数

22

字；

对于3

1(3 22)

3

，

611 1 3

有一位有效数 10 2.65 10 10 2，4

22(3 2 1.4)

e*(3) 3e*(1.4)

字；

11

对于4 99 2，e*(4) 4e*(1.4) 70 10 1 35 10 1 101，没有

22

有效数字。

13、f(x) ln(x x2 1)，求f(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式ln(x x2 1) ln(x x2 1)计算，求对数时误差有多大？

[解]因为302 1 899 29.9833（六位有效数字）， *(x)

1

10 4，所以 2

e*(1) (f1 )*e*(x)

1

10 4

(30 302 1)2，

1

11

10 4 0.2994 10 2

30 29.98332

e*(2) (f2 )*e*(x)

1

10 4

x x2 12。

1

11

10 4 0.8336 10 6

30 29.98332

x1 1010x2 1010

14、试用消元法解方程组 ，假定只有三位数计算，问结果是否

x1 x2 2可靠？

10101010 2

,x2 10[解]精确解为x1 10。当使用三位数运算时，得到

10 110 1

x1 1,x2 1，结果可靠。 15、已知三角形面积s

1

absinc，其中c为弧度，0 c ，且测量a，b，c22

的误差分别为 a, b, c，证明面积的误差 s满足

n

s a b c

。

sabc

[解]因为 (s)

k 1

f111

(xk) bsinc a asinc b abcosc c， xk222

111

bsinc a asinc b abcosc c

s222

1s

absinc所以。 2

c b c c b c cbtanccbc

第二章 插值法（40-42）

1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令

1 Vn(x0,x1, ,xn 1,x) 1 1

x0xn 1x

2

x0

2xn 1

x2

n

x0

，证明Vn(x)是n次多项式，它的n xn 1 n

x

根是x1,x2, ,xn 1，且Vn(x0,x1, ,xn 1,x) Vn 1(x0,x1, ,xn 1)(x x0) (x xn 1)。

Vn(x0,x1, ,xn 1,x) (xi xj) (x xj)

[证明]由

i 0j 0

j 0

n 1i 1n 1

Vn 1(x0,x1, ,xn 1) (x xj)

j 0

n 1

可得求证。

2、当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4，求f(x)的二次插值多项式。

L2(x) y0

[解] 0

(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)

y1 y2

(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)

。

(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)(x 1)(x 1)

( 3) 4

(1 1)(1 2)( 1 1)( 1 2)(2 1)(2 1)14537 (x2 3x 2) (x2 1) x2 x

23623

3、给出f(x) lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。

[解]若取x0 0.5，x1 0.6，

则y0 f(x0) f(0.5) 0.693147，y1 f(x1) f(0.6) 0.510826，则

L1(x) y0

x x0x x1x 0.6x 0.5

y1 0.693147 0.510826 x0 x1x1 x00.5 0.60.6 0.5，

6.93147(x 0.6) 5.10826(x 0.5) 1.82321x 1.604752

0.54 1.604752 0.9845334 1.604752 0.6202186从而L1(0.54) 1.82321。 若取x0 0.4，x1 0.5，x2 0.6，则y0 f(x0) f(0.4) 0.916291，

y1 f(x1) f(0.5) 0.693147，y2 f(x2) f(0.6) 0.510826，则

L2(x) y0

(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)

y1 y2

(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)

0.916291

(x 0.5)(x 0.6)(x 0.4)(x 0.6)

( 0.693147)

(0.4 0.5)(0.4 0.6)(0.5 0.4)(0.5 0.6)

(x 0.4)(x 0.5)，

( 0.510826)

(0.6 0.4)(0.6 0.5) 25.5413(x2 0.9x 0.2)

45.81455 (x2 1.1x 0.3) 69.3147 (x2 x 0.24) 2.04115x2 4.068475x 2.217097

L2(0.54) 2.04115 0.542 4.068475 0.54 2.217097从而。

0.59519934 2.1969765 2.217097 0.61531984

4、给出cosx,0 x 90 的函数表，步长h 1 (1/60) ，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

[解]设插值节点为x0 x x1 x0 h，对应的cosx值为y0,y1，函数表值为

0,1，则由题意可知，y0 0 项式为1(x) 0

11

10 5，y1 1 10 5，近似线性插值多22

x x0x x1

，所以总误差为 1

x0 x1x1 x0

R(x) f(x) 1(x) f(x) L1(x) L1(x) 1(x)

x x0x x1f ( )

(x x0)(x x1) (y0 0) (y1 1)

2!x0 x1x1 x0

x x0x x1cos

(x x0)(x x1) (y0 0) (y1 1), x0,x1 2x0 x1x1 x0

，从而

R(x)

x x0x x11

cos (x x0)(x x1) y0 0 y1 12x0 x1x1 x0

。

x x0x x1111

(x x0)(x x1) 10 5 10 5

22x0 x12x1 x0

1h2111111 10 5 10 5 6.94 10 5 10 5 3.47 10 5

2422144002225、设xk x0 kh,k 1,2,3，求maxl2(x)。

x0 x x2

x0 x x3

maxl2(x) max

(x x0)(x x1)(x x3)

x0 x x3(x x)(x x)(x x)202123

[解] max

(x x0)(x x0 h)(x x0 3h)

x0 x x3(2h)h( h)1

max(x x0)(x x0 h)(x x0 3h)2h3x0 x x3

2

20

2

30

。

令

f(x) (x x0)(x x0 h)(x x0 3h)

x (3x0 4h)x (3x 8x0h 3h)x (x 4hx 3hx0)

3

20

2

，则

2

f (x) 3x2 2(3x0 4h)x (3x0 8x0h 3h2)，从而极值点可能为 2

2(3x0 4h) 4(3x0 4h)2 12(3x0 8x0h 3h2)

x

6

，又因为

(3x0 4h) 7h4 7 x0 h

33

f(x0

4 74 1 5 1

h) h h h ( 20)h3， 3333274 4 71 7 51

h) h h h (20 147)h3， 333327

4 74 7

h) f(x0 h)，所以 33

14 71110 773

f(x h) (20 7)h 。 033

3272h2h27

f(x0

显然f(x0

x0 x x3

maxl2(x)

6、设xj

n

(j 0,1, ,n)为互异节点，求证：

(k 0,1, ,n)；

k

1） xkjlj(x) x

j 0n

2） (xj x)klj(x) xk

j 0

(k 1,2, ,n)；

[解]1）因为左侧是xk的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2）设f(y) (y x)k，则左侧是f(y) (y x)k的n阶拉格朗日多项式，令y x，即得求证。

1

7、设f(x) C2 a,b 且f(a) f(b) 0，求证maxf(x) (b a)2maxf (x)。

a x ba x b8

[解]见补充题3，其中取f(a) f(b) 0即得。

8、在 4 x 4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长h应取多少？

[解]由题意可知，设x使用节点x0 x1 h，x1，x2 x1 h进行二次插值，则

R2(x)

f ( )

(x x0)(x x1)(x x2)3!

插值余项为

e

[x (x1 h)](x x1)[x (x1 h)], x0,x2 6

，

令f(x) [x (x1 h)](x x1)[x (x1 h)] x3 3x1x2 (3x12 h2)x x1(x12 h2)，则f (x) 3x2 6x1x (3x12 h2)，从而f(x)的极值点为x x1

233h (1 )h (1 )h h，而 3339

h，故3

x0 x x2

maxf(x)

e e4233e43

R2(x) maxf(x) h h，要使其不超过10 6，则有

6x0 x x26927e43

h 10 6，即h 27

243e23.4863 2

10 10 2 0.472 10 2。 2

7.389e

9、若yn 2n，求 4yn及 4yn。

4

4 4 jj 4 yn (E I)yn ( 1) j Eyn ( 1) j yn 4 j

j 0j 0

4 1 4 2 4 3 4 4 4 [解] ( 1)0 y ( 1)y ( 1)y ( 1)y ( 1) 0 n 4 1 n 3 2 n 2 3 n 1 4 yn。 2n 4 4 2n 3 6 2n 2 4 2n 1 2n

4

4

4

j

16 2n 32 2n 24 2n 8 2n 2n 2n

4 2(4 j) 2j

yn (E E)yn ( 1) Eyn

j E

j 0

44

j 4 2 jj 4 ( 1) Ey ( 1) n j j yn 2 j

j 0j 0

4 1 4 2 4 3 4 4 4 ( 1)0 y ( 1)y ( 1)y ( 1)y ( 1) 0 n 2 1 n 1 2 n 3 n 1 4 yn 2。 2n 2 4 2n 1 6 2n 4 2n 1 2n 2

4

4

4

j

1212

11

16 2n 2 32 2n 1 24 2n 2 8 2n 2 2n 2 2n 2

10、如果f(x)是m次多项式，记 f(x) f(x h) f(x)，证明f(x)的k阶差分。 kf(x)(0 k m)是m k次多项式，并且 m lf(x) 0（l为正整数）[证明]对k使用数学归纳法可证。 11、证明 (fkgk) fkgk 1 fk gk。 [证明]

(fkgk) fk 1gk 1 fkgk fk 1gk 1 fkgk 1 fkgk 1 fkgk (fk 1 fk)gk 1 fk(gk 1 gk) fkgk 1 fk gk

n 1

n 1

。

12、证明 fk gk fngn f0g0 gk 1 fk。

k 0

k 0

[证明]因为

f

k 0

n 1

k

gk gk 1 fk (fk gk gk 1 fk)

k 0

k 0

n 1

n 1n 1

[fk(gk 1 gk) gk 1(fk 1 fk)] (gk 1fk 1 fkgk) fngn f0g0

k 0

k 0

n 1

，故得证。

13、证明： 2yj yn y0。

j 0

n 1

[证明] yj ( yj 1 yj) yn y0。

2j 0

j 0

n 1n 1

14、若f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn有n个不同实根x1,x2, ,xn，证明

j 1

n

0 k n 2 0,

1。 f (xj) an,k n 1

n

xkj

[证明]由题意可设f(x) an(x x1)(x x2) (x xn) an (x xi)，故

i 1

f (xj) an (xj xi)，再由差商的性质1和3可知：

i 1i j

n

f (x

j 1

n

xkj

j)

j 1

n

xkj

an (xj xi)

i 1

i jn

1k1(xk)(n 1)

，从而得证。 x[x1, ,xn]

anan(n 1)!

15、证明n阶均差有下列性质：

1）若F(x) cf(x)，则F[x0,x1, ,xn] cf[x0,x1, ,xn]；

2）若F(x) f(x) g(x)，则F[x0,x1, ,xn] f[x0,x1, ,xn] g[x0,x1, ,xn]。

F[x0,x1, ,xn]

j 0

n

F(xj)

(x

i 0i j

n

j

xi)

j 0

n

cf(xj)

(x

i 0i j

n

j

xi)

。

[证明]1）

c

j 0

n

f(xj)

(x

i 0i j

n

cf[x0,x1, ,xn]

j

xi)F(xj)

j 0n

F[x0,x1, ,xn]

j 0

n

f(xj) g(xj)

(x

i 0i j

n

n

j

xi)

(x

i 0i j

n

j

xi)

。

2）

j 0

n

f(xj)

(x

i 0i j

n

j

xi)

j 0

n

g(xj)

(x

i 0i j

f[x0,x1, ,xn] g[x0,x1, ,xn]

j

xi)

f(8)( )0

0。16、f(x) x x 3x 1，求f[2,2, ,2]，f[2,2, ,2] 8!8!

7

4

1

7

1

8

f(7)( )7!

1，f[20,21, ,28]。 [解]f[2,2, ,2]

7!7!

1

7

17、证明两点三次埃尔米特插值余项是

R3(x) f(4)( )(x xk)2(x xk 1)2/4!, xk,xk 1 ，

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。

8

hmaxfk 。 [解]见P30与P33，误差限为 (h)

270 k n

18、XXXXXXXXXX．

19、求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0) P (0) 0，

P(1) P (1) 1，P(2) 1。

[解]设P(x) a4x4 a3x3 a2x2 a1x a0，则P (x) 4a4x3 3a3x2 2a2x a1，再由P(0) P (0) 0，P(1) P (1) 1，P(2) 1可得：

0 a0

0 P(0) a 0 0 P (0) a 0 a1

1 9

1 P(1) a a a a a解得 a2。从而 43210 1 P (x) 4a 3a 2a a 4

4321

3 2 a3 1 P(2) 16a4 8a3 4a2 2a1 a0

1 a

4 4143392x22x2(x 3)2

P(x) x x x (x 6x 9) 。

42444

20、设f(x) C[a,b]，把 a,b 分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数 n(x)，并证明当n 时， n(x)在 a,b 上一致收敛到f(x)。

supf(x) inf

[解]令 i(x)

xi 1 x xi

xi 1 x xi

f(x)

,i 1,2,3, ,n。

2

21、设f(x) 1/(1 x2)，在 5 x 5上取n 10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，计算各节点中点处的Ih(x)与f(x)的值，并估计误差。 [解]由题意可知，h 1，从而当x xk,xk 1 时，

Ih(x) fklk fk 1lk 1

x xk1x xk 11

1 k2xk xk 11 (k 1)2xk 1 xk

11

(x x) (x xk)k 122

h(1 k)h[1 (k 1)]

。

22、求f(x) x2在 a,b 上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。

[解]设将 a,b 划分为长度为h的小区间a x0 x1 xn b，则当

x xk,xk 1 ，k 0,1,2, ,n 1时，

Ih(x) fklk fk 1lk 1 x(x

2k 1

2k

22

x xk 1x xkxk2 1(x xk) xk(x xk 1) x xk 1 xk xk 1xk 1 xkxk 1 xk

2k2

k 1k

x) xx x

xk 1 xk

2k 1k

x

x(xk 1 xk) xk 1xk

从而误差为R2(x)

f ( )

(x xk)(x xk 1) (x xk)(x xk 1)， 2!

h2

故R2(x) (x xk)(x xk 1) 。

4

23、求f(x) x4在 a,b 上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

[解]设将 a,b 划分为长度为h的小区间a x0 x1 xn b，则当

x xk,xk 1 ，k 0,1,2, ,n 1时，

Ih(x) fk k fk 1 k 1 fk k fk 1 k 1(x)

4 x xk 1 xk

x x

k 1 k

22

x xk

1 2 xk 1 xk 4 x xk

x k 1 x x

k k 1

2

2

x xk 1 1 2 ， x xkk 1

3 x xk 1 3 x xk

4xk(x x) 4xkk 1 x x

k 1 k xk 1 xk

(x xk 1)

f(4)( )

(x xk)2(x xk 1)2 (x xk)2(x xk 1)2， 从而误差为R2(x)

4!h4

故R2(x) (x xk)(x xk 1) 。

16

2

2

24

试求三次样条函数S(x)，并满足条件：

,S (0.53) 0.6868； 1）S (0.25) 1.0000

2）S (0.25) S (0.53) 0。

[解]由h0 0.30 0.25 0.05，h1 0.39 0.30 0.09，h2 0.45 0.39 0.06，

h3 0.53 0.45 0.08，及（8.10）式 j

hjhj 1 hj

, j

hj 1hj 1 hj

,(j 1, ,n 1)

可知， 1

h1h20.0990.062

， 2 ，

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065

3 1

h30.084 ，

h2 h30.06 0.087

h0h10.0550.093

， 2 ，

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065h20.063

，

h2 h30.06 0.087

3

由（8.11）式gj 3( jf[xj 1,xj] jf[xj,xj 1])(j 1, n 1)可知，

9f(x1) f(x0)5f(x2) f(x1)

g1 3( 1f[x0,x1] 1f[x1,x2]) 3[ ]

14x1 x014x2 x190.5477 0.500050.6245 0.5477

3 ( )

140.30 0.25140.39 0.309477576819279 3 ( ) 2.7541

14500149007000g2 3( 2f[x1,x2] 2f[x2,x3]) 3[

2f(x2) f(x1)3f(x3) f(x2)

]

5x2 x15x3 x2

。

20.6245 0.547730.6708 0.6245

3 ( )

50.39 0.3050.45 0.39276834634 256 3 463 3 ( ) 2.413

590056001000g3 3( 3f[x2,x3] 3f[x3,x4]) 3[

。

4f(x3) f(x2)3f(x4) f(x3)

]

7x3 x27x4 x3

40.6708 0.624530.7280 0.6708

3 ( )

70.45 0.3970.53 0.45

446334724 463 9 1181457 3 ( ) 2.0814

760078001400700

。从而

5

209 14 2.7541 1.0000 2.1112 m1 14

23 2m 2.413 2.4131）矩阵形式为： ，解得 2 5 5 1.7871 3m3 42.0814 0.6868 02 7 7

m1 0.9078 n m 0.8278 2 ，从而S(x) [yj j(x) mj j(x)]。

j 0

0.6570 m3

2）此为自然边界条件，故

g0 3f[x0,x1] 3

f(x1) f(x0)0.5477 0.5000477

3 3 2.862；

x1 x00.30 0.25500f(xn) f(xn 1)0.7280 0.6708572

3 3 2.145，

xn xn 10.53 0.45800

gn 3f[xn 1,xn] 3

2 9 14

矩阵形式为： 0

0 0

n

005201423

255402

7

4

00

7

1

0

0 m0 2.862 m 12.7541

0 m2 2.413 ，可以解得

2.081m 43 3

7 m4 2.145 2

m0 m 1

m2 ，从而 m3 m 4

S(x) [yj j(x) mj j(x)]。

j 0

25、若f(x) C2[a,b]，S(x)是三次样条函数，证明

1） [f (x)]2dx [S (x)]2dx [f (x) S (x)]2dx 2 S (x)[f (x) S (x)]dx；

a

a

a

a

b

b

b

b

2）若f(xi) S(xi)(i 0,1, ,n)，式中xi为插值节点，且a x0 x1 xn b 则 S (x)[f (x) S (x)]dx S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)]。

ab

b

a

[f (x) S (x)]2dx 2 S (x)[f (x) S (x)]dx

a

ba

b

[f (x) S (x)]2 2S (x)[f (x) S (x)]dx

[解]1） {[f (x) S (x)] 2S (x)}[f (x) S (x)]dx

a

b

。

[f (x) S (x)][f (x) S (x)]dx [f (x)]2 [S (x)]2dx

a

a

bb

[f (x)]2dx [S (x)]2dx

a

a

bb

2）由题意可知，S (x) A,x a,b ，所以

b

a

S (x)[f (x) S (x)]dx {S (x)[f (x) S (x)]}ba [f(x) S(x)]S(x)dx

a

ba

b

S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)] A [f (x) S (x)]dx S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)] A[f(x) S(x)]ba

S (b)[f (b) S (b)] S (a)[f (a) S (a)]

。

补充题：1、令x0 0，x1 1，写出y(x) e x的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。

[解]由y0 y(x0) e 0 1，y1 y(x1) e 1可知，

L1(x) y0

x x0x x1x 1 1x 0 y1 1 e x0 x1x1 x00 11 0，

(x 1) e 1x 1 (e 1 1)x

f ( )e

(x x0)(x x1) x(x 1), 0,1 ， 余项为R1(x) 2!2

故R1(x)

1111 maxe maxx(x 1) 1 。

0 x 120 1248

2、设f(x) x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

f(4)( )

R3(x) (x x0)(x x1)(x x2)(x x3)

4!，

4!

(x 1)x(x 1)(x 2) (x2 2x)(x2 1) x4 2x3 x2 2x4!

从而L3(x) f(x) R3(x) x4 (x4 2x3 x2 2x) 2x3 x2 2x。 3、设f(x)在 a,b 内有二阶连续导数，求证：

maxf(x) [f(a)

a x b

f(b) f(a)1

(x a (b a)2maxf (x)。

a x bb a8

f(b) f(a)

(x a)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项

b a

式，利用插值多项式的余项定理，得到：

f(b) f(a)1

f(x) [f(a) (x a)] f ( )(x a)(x b)，从而

b a2

[证]因为f(a)

f(b) f(a)1

(x a)] maxf ( ) max(x a)(x b)

a x ba x bb a2a b

。

111

maxf ( ) (b a)2 (b a)2maxf (x)

a x b2a b48maxf(x) [f(a)

4、设f(x) x7 5x3 1，求差商f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21, ,27]和

f[20,21, ,28]。

[解]因为f(20) f(1) 7，f(21) f(2) 27 5 23 1 169， 所以f[20,21] f(22) f(4) 47 5 43 1 16705，

f[21,22]

1

2

f(2) f(1)

169 7 162，

2 1

f(4) f(2)16705 169

8268，

4 22

f[21,22] f[20,21]8268 162

f[2,2,2] 2702，

322 20

f(7)( )7!f(8)( )0018

f[2,2, ,2] 1，f[2,2, ,2] 0。

7!7!8!8!

1

7

5、给定数据表：i 1,2,3,4,5，

求4[解]

57

N4(x) 4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

，插值余项为

57

4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

f(5)( )

R4(x) (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 7), 1,7 。

5!

6、如下表给定函数：i 0,1,2,3,4，

[解]构造差分表：

t(t 1)2

f0 2

N4(x0 th) f0 t f0

由差分表可得插值多项式为：

t(t 1)

3 3t 2 3 3t t(t 1) t2 2t 3

2

。

第三章 函数逼近与计算（80-82）

1、（a）利用区间变换推出区间为 a,b 的伯恩斯坦多项式；

（b）对f(x) sinx在 0, 上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与

2

相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。

[解]（a）令x a (b a)t，则t 0,1 ，从而伯恩斯坦多项式为

Bn(f,x) f(

k 0n

n k(b a)kn k

。 )Pk(x)，其中Pk(x) x(b a x) k n

（b）令x

2

n

t，则t 0,1 ，从而伯恩斯坦多项式为

Bn(f,x) f(

k 01

k

n k n k

。 )Pk(x)，其中Pk(x) x( x) 2n2 k

1 0 1 1

B1(f,x) f()Pk(x) f(0) x x f()x x 22 1 2 k 0 0 2；

sin0 x sin x 0 x x x

2 2 2

k

B3(f,x) f(

k 0

3

k

6

)Pk(x)

3 0 3 1 32

f(0) 0 x(2 x) f(6) 1 x(2 x)

3 2 3 3 10

f() x( x) f()x( x) 3 22 2 2 3

。

sin0 x sin 3x( x)2 sin 3x2( x) sin x3

62322 2

3 32 3 23 223

x( x) x( x) x (x x2 x3) (x x3) x3

222224223 231 x (2 3)x2 (33 5)x3

8422、求证：（a）当m f(x) M时，m Bn(f,x) M； （b）当f(x) x时，Bn(f,x) x。

k

[证明]（a）由Bn(f,x) f()Pk(x)及m f(x) M可知，

nk 0

n

3

m Pk(x) mPk(x) Bn(f,x) MPk(x) M Pk(x)，

k 0

k 0

k 0

k 0

nnnn

n kn kn

而 Pk(x) x(1 x) [x (1 x)] 1，从而得证。 k

k 0k 0

n

n

（b）当f(x) x时，

n

kk n k

Bn(f,x) f()Pk(x) f() x(1 x)n k nn k k 0k 0

nf(0) 0n

kn!(n 1)!kn k

x(1 x) xxk 1(1 x)(n 1) (k 1)。

k!(n k)!k 1nk 1(k 1)![(n 1) (k 1)]!

n

x

(n 1)!

xk(1 x)(n 1) k x[x (1 x)]n 1 x

k 0k!(n 1 k)!

n 1

3、在次数不超过6的多项式中，求f(x) sin4x在 0,2 的最佳一致逼近多项式。 [解]由sin4x,x 0,2 可知， 1 sin4x 1，从而最小偏差为1，交错点为

3

579111315

, , , , , , , ，此即为P(x) H6的切比雪夫交错点组，从而88888888

P(x)是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得P(x) 0。

4、假设f(x)在 a,b 上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式。 [解]令m inff(x)，M supf(x)，则f(x)

a x b

a x b

M m

在 a,b 上具有最小偏差2

M m

，从而为零次最佳逼近一次多项式。 2

5、选择常数a，使得maxx3 ax达到极小，又问这个解是否唯一？

0 x 1

[解]因为x3 ax是奇函数，所以maxx3 ax x3 ax，再由定理7可知，

0 x 1

1 x 1

113

当x3 ax T3 (4x3 3x)时，即a 时，偏差最小。

444

6、求f(x) sinx在 0, 上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。

2

f(b) f(a)

[解]由a1 f (x2) cosx2

b a而最佳一次逼近多项式为

sin

2

sin0

0

2

可得x2 arccos

2

，从

a x21122

y [f(a) f(x2)] a1(x ) [sin0 )] (x

222

0 2

2

)

2 421222 412 (x ) x 2 2 2 7、求f(x) ex在 0,1 上的最佳一次逼近多项式。

f(b) f(a)e1 e0x2

f (x2) e e 1可得x2 ln(e 1)，从而最[解]由a1

b a1 0

佳一次逼近多项式为

a x2110 ln(e 1)

y [f(a) f(x2)] a1(x ) [e0 eln(e 1)] (e 1)(x )

2222

。

e1ee 1 (e 1)[x ln(e 1)] (e 1)x ln(e 1)2222

8、如何选取r，使p(x) x2 r在 1,1 上与零偏差最小？r是否唯一？ [解]由maxp(x) max(x2 r) 1 r，minp(x) min(x2 r) r可知当与零偏

1 x 1

1 x 1

1 x 1

1 x 1

1差最小时，1 r r，从而r 。

2

另解：由定理7可知，在 1,1 上与零偏差最小的二次多项式为

1111T2(x) (2x2 1) x2 ，从而r 。 2222

9、设f(x) x4 3x3 1，在 0,1 上求三次最佳逼近多项式。 [解]设所求三次多项式为P3(x)，则由定理7可知

1114242

T(x) (8x 8x 1) x x ，从而 34

882

119

P3(x) f(x) (x4 x2 ) (x4 3x3 1) (x4 x2 ) 3x3 x2 。

888f(x) P3(x)

10、令Tn(x) Tn(2x 1),x 0,1 ，求T0*(x)、T1*(x)、T2*(x)、T3(x)。

1

[解]由Tn(x) Tn(2x 1),x 0,1 可知，令x 1 t,t 1,1 ，则

2

1 T(x),x 1, 0 2 1

Tn(t 1) Tn(t),t 1,1 ，从而Tn*(x) 。 2 T(1x 1),x 1,1

0 2 2

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