高三四月份月考试题

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增城市2007届华侨中学高三四月份月考试题

数 学 (理 科)

第一部分 选择题(共40分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. 设全集U???,A?x1?x?6,x?N?,则CUA=( ) 1,2,3,4,5,6,7,A.? B. ?7? C.?1,2,3,4,5,6? D.?1,2,3,4,5,6,7?

??2. 为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右),

频率/组距 那么在这100株树木中,底部周长小于110cm

的株数是

0.04 A.30 B.60

C.70 D.80 0.02 0.01

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

3. 已知命题P:?b??0,???,f(x)?x2?bx?c在?0,???上为增函数,命题Q:?x0??x|x?Z?, 使 log2x0?0,则下列结论成立的是( )

A.﹁P∨﹁Q B.﹁P∧﹁Q C.P∨﹁Q D.P∧﹁Q

y同时满足2x?y?4?0,x?y?1?0, 则目标函数z=x2+(y+2)2的最小值4. 已知非负实数x、

是( )

A.4 B.5 C.6 D.7

5. 设?,?为两个不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:

①若?∥?,l??,则l∥?; ②若m??,n??,m∥?,n∥?,则?∥?; ③若l∥?,l⊥?,则?⊥?; ④若m、n是异面直线,m∥?,n∥?,且l⊥m,l⊥n,则l⊥?. 其中真命题的序号是

A.①③④ B.①②③ C.①③ D.②④ 6. 如果将函数y=sin2x+3cos2x的图象按向量a平移后所得的图象关于y轴对称,那么向量a可以是

A.(6,0) B.(-6,0) C.(12,0) D.(-12,0) 7. 将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内,每格只能 放一个棋子,且3个棋子既不同行也不同列,则不同的放法有 A.576种 B.288种 C.144种 D.96种

?????x?1,x?[?1,0)8. 已知f(x)??2,则下列函数的图象错误的是 ..

?x?1,x?[0,1]

第二部分 非选择题(共110分) 二.填空题(每小题5分,共30分)

9. 若复数z?a2?1?(a?1)i是纯虚数,则z= _________.

11110. 如下图1,是计算1???...?的程序框图,判断框应填的

3599内容是________________,处理框应填的内容是______________.

开始 s:?0i?1 11. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上,

AA1=AB=2,点E是DD1的中点,则异面直线A1E与B1D所成角 的大小为是__________

12. 已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体: ①当x?[0,??)时,函数值为非负实数;

②对于任意的s,t?[0,??),都有f(s)?f(t)?f(s?t) 在三个函数f1(x)?x,f2(x)?2x?1,f3(x)?ln(x?1)中,

属于集合M的是

图1

输出s s:?s?1/i 结束

第13至15题,从3题中选答2题,多选按前2题记分

13.已知x2?4y2?kz2?36,(其中k?0)且t?x?y?z的最大值是7,则k? ?14. 将极坐标方程??cos(??)化为直角坐标方程是______________.

415.如右图2,⊙O'和⊙O相交于A和B, PQ切⊙O于P, 交⊙O'于Q和M,交AB的延长线于N,MN=3,

NQ=15,则 PN=__________.

图2

QO'MNBPAO三、解答题:本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=Asin(?x+?) (x∈R, A>0, ?>0, |?| < (1)试确定f(x)的解析式;

a12π

(2)若f() = , 求cos( -a)的值

2π23

π

)的部分图象如图所示, 2

17.(本小题满分12分)

在一次篮球练习课中,规定每人最多投篮5次,若投中2次就为“及格”,若投中3次就为 “良好”并停止投篮.已知甲每次投篮投中的概率是(1)求甲投了3次而不及格的概率;

(2)设甲投篮投中的次数为?,求随机变量?的分布列及数学期望.

18.(本小题满分14分)

已知矩形ABCD中,AB=2AD=4,E为CD的中点,沿AE将三角形AED折起,使DB=2 3如图,O、H分别为AE、AB的中点. (1)求证:直线OH//面BDE; (2)求证:面ADE⊥面ABCE; (3)求二面角O—DH一E的余弦值.

2. 3DCOECDEABAHB19.(本小题满分14分)

已知函数.f(x)?2x3?ax与g(x)?bx2?cx的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线. (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程; (2)设F(x)?

20.(本小题满分14分)

已知过抛物线x2=4y的对称轴上一点P(0,m)(m>0)作直线l,l与抛物线交于A、B两点. (1)若角?AOB为锐角(O为坐标原点),求实数m的取值范围;

(2)若l的方程为x-2y+12=0,且过A、B两点的圆C与抛物线在点且(A在第一象限)处有共同的切线,求圆C的方程.

21.(本小题满分14分)

b1 已知数列{ an}、{ bn}满足:a1?,an?bn?1,bn?1?n.

41?anmg(x)?ln(x?1),其中m?0,求F(x)的单调区间. 8x (1)求b1,b2,b3,b4;

(2)求数列{ bn}的通项公式;

(3)设Sn?a1a2?a2a3?a3a4?...?anan?1,求实数a为何值时4aSn?bn恒成立.

2007届华侨中学高三四月月考数学(理)试题

参考答案及评分标准

一、选择题答案 BCCBA DAD 二、填空题

题号 答案 9 10 11 12 13 14 15 2 i?99 i:?i?2 ? 4f1(x)f2(x) 9 (x?22221)?(y?)? 44435 三、解答题 2πT511

16.解: (1)由图象可知A=2, = - = , ∴T=2, ω= =π…………………..3分

4632T1

将点P(, 2)代入y=2sin(?x+?) ,

3

πππ

得 sin(+?)=1, 又|?| < , 所以? = ………………………………..5分

326π

故所求解析式为f(x)=2sin(πx+) (x∈R)………………………….6分

6

ππ1a1a1a

(2)∵f() = , ∴2sin( +) = , 即, sin( +) = ……………………..8分

22622642π2ππaπaπa7

∴cos( -a)=cos[π-2(+ )] = -cos2(+ ) = 2sin2(+ )-1 = -…..12分

36262628

17.解:(1)甲投了3次而不及格,即前3次中只有一次投中或三次都没有投中,其概率为 P?()?C3()??1331132237???????????????????4分 27 (2)依题意,?可以取0,l,2,3.

1; 24311012()?()4? 当?=l时,表示5次中仅有1次投中,其概率为:P?(??1)?C5?; 3324321402()2?()3? 当?=2时,表示5次中仅有2次投中,其概率为:P?(??2)?C5?; 33243 当?=0时,表示连续5次都没投中,其概率为:P?(??0)?()?513 当?=3时,表示①连续3次都投中,其慨串为:(2)3?8 ,或②前3次中有2次投中,

327且第四次投中,其概率为:C3()???或③前4次中有2次投中,且第五

223212338, 272212216,

33381881664???即P(??3)?.???????????????9分 27278181()??次投中,其概率为:C4()?2∴随机变量?的概率分布列为:

? P 0 1 2 3 1104064 24324324381110406466674?1??2??3???数学期望:E??0????11分 24324324381243277 答:(1)甲恰好投篮3次就通过的概率是;

2774 (2)甲投篮投中的次数的数学期望是????????????????12分.

27 18.(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点 ∴OH//BE,又OH不在面BDE内

∴直线OH//面BDE ??????????????4分 (2)O为AE的中点AD=DE,∴DQ?AE

∵DO=2,DB=23,BO=3+1=10 ∴DB?DO?BO ∴DO?OB

2

2

2

222又因为AE和BO是相交直线 所以,DO?面ABCE, 又OD在面ADE内 ∴面ADE?面ABCE????????????.8分

(3)由(1)(2)知OA、OH、OD两两垂直,分别以OA、OH、OD为x、y、z轴建立空间坐 标系,则A(2,0,0),H(0,2,0),E(-2,0,0),D(0,0,2),

?????向量DH?(0,2,?2)????HE?(?2,?2,0)????10分

设平面DHE的法向量为n=(x,y,z)

?????????则n·DH=0 n·HE=0

??2y?2z?0即y=z,x=-z ????2x?2y?0∴平面DHE的法向量为n=(z,-z,z),不妨没z>0 ?????12分

????又OA?(2,0,0)是平面DOH的法向量 ????????n?OA2z3????? cos?OA,n???3|n|?|OA|2?3z由图二面角O—DH—E为锐角,所以,二面角O—DH—E的余弦值为333????14分 3 19.解:(1)∵f(x)?2x?ax过点P(2,0),∴a=-8f(x)?2x?8x, ???????2分

f?(x)?6x2?8x ∴切线的斜率k?f?(2)?16??????3分

∵g(x)?bx?cx的图像过点P(2,0),∴4b+2c=0,

∵g?(x)?2bx?c,f?(2)?g?(2)?4b?c?16,解得:b=8,c=-16?????5分 ∴g(x)?8x?16x

2216(x-2)切线方程为y=.即16x-y-32=0??????????????7分

(2) ∵ F(x)?m(x?2)?ln(x?1)(x?1)

1mx?m?1?(x?1)??????????????9分 x?1x?11m[x?(1?)]m ∵m<0 ∴1?1?1 ??????11分 当m<0时,F?(x)?mx?11 又x>1 当x?(1,1?)时F?(x)?0

m1 当x?(1?,??)时F?(x)?0 ????????????12分

m1 ∴F(x)的单调减区间是(1?,??)

m1 ∴F(x)的单调增区间是(1,1?)??????????????????13分

m11 即m<0时,F(x)的单调递增区间是(1,1?),单调减区间是(1?,??) ?l4分

mmF?(x)?m?20.解:(1)设l:y=kx+m,代入抛物线x=4y的方程化简得

2

x-4ky-4m=0,???????????????????1分

2

∵m>O ∴△=16k+16m>0恒成立

设A(x1,y1).B(x2,y2),则xl+x2=4k,x1x2=-4m.

2

???????? 又角?AOB为锐角,所以OA?OB?0???????????????3分

因为OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2, 则(1?k2)(?4m)?km?4k?m2?0,即m?4m?0,

又因为m>0,解得m>4;???????????????????????6分

2?????????x2?4y?x?6?x??4(2)解方程组?,得?或?,

?x?2y?12?0?y?9?y?4由题意得A(6,9)、B(-4,4), 又函数y?121x的导数为y??x,所以过点A的公共切线斜率k=3,由题意知圆C的圆心C是线段42AB的垂直平分线l1和过点A与公共切线垂直的直线l2的交点,?????9分 l1:y?1317??2(x?1),即l1:y??2x?, 2211l2:y?9??(x?6),即l2:y??x?11,????????????10分

33323联立l1和l2的方程解得圆心坐标C(?,),

22圆半径r?|CA|?(6?)?(9?322232510??????????????11分 )?22故所求圆方程为(x+)+(y-21.解:(1) bn?1? ∵a1?322232125)?????????????12分 22bnbn1 ??(1?an)(1+an)bn(2?bn)2?bn13456,b1? ∴b2?,b3?,b4??????????????4分 44567 (2)∵bn?1?1?2?bn111 ?1 ∴???1?bn?1?1bn?1bn?12?bn ∴数列{

1}是以-4为首项,-1为公差的等差数列 bn?1 ∴

1n?21???????10分 ??4?(n?1)??n?3 ∴bn?1?n?3n?3bn?11 n?3 (3)an?1?bn?111n∴Sn?a1a2?a2a3?????anan?1?1?1???? ???4?55?6(n?3)(n?4)4n?44(n?4)ann?2(a?1)n2?(3a?6)n?8 ∴4aSn?bn?????????11分 ??n?4n?3(n?3)(n?4) 由条件可知(a?1)n2?(3a?6)n?8?0恒成立即可满足条件设f(n)?(a?1)n2?3(a?2)n?8 a=1时,f(n)??3n?8?0恒成立, a>1时,由二次函数的性质知不可能成立 a

2a?12a?1 f(n)在(??,1]为单调递减函数.??????????????????13分 f(1)?(a?1)n2?(3a?6)n?8?(a?1)?(3a?6)?8?4a?15?0 ∴a?15 ∴a<1时4aSn?b恒成立 4 综上知:a≤1时,4aSn?b恒成立????????????????14分

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/znd8.html

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