直角三角形的边角关系

九年级数学教案讲例

八升九暑假讲义------直角三角形的边角关系

§ 1.1 从梯子的倾斜程度谈起 学习目标：

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解锐角三角函数的意义

2.能够用sinA、cosA tanA表示直角三角形中两边的比，

3.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 知识讲解：

[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?

[问题2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?

通过本章的学习，相信大家一定能够解决. 讲授新课

梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题

(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?

(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?

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想一想

如图，小明想通过测量B1C1：及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? (1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系? (2)

B1C1BC

和22和有什么关系? AC1AC2

(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?

由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定， 这个比叫做∠A的正切(tangent)， 记作tanA，即tanA=

A的对边

.

A的邻边

注意：

1.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”.

2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.

3.tanA不表示“tan”乘以“A”.

4.初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切. 思考：

1.∠B的正切如何表示?

2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?

如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60 m，那么山 坡的坡度(即坡角α的正切——tanα就是tanα=α

603

. 1005

这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比 即坡角的正切称为坡度.坡度越大，坡面就越陡.

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[例1]如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.

练习

1.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，

求山的坡度.(结果精确到0.001)

我们已经讨论了用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题：

[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其它边之间的比也确定吗? [问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? 1.正弦、余弦及三角函数的定义

在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图， ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即

sinA＝

A的对边

斜边

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即 cosA=

A的邻边

斜边

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数

在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量.当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应

.

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[例1]如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6， 求BC的长.

思考：(1)cosA＝? (2)sinC＝？ cosC＝? (3)由上面计算，你能猜想出什么结论?

[例2]做一做：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝

12

，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出13

类似例1的结论吗?请用一般式表达.

练习

1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.

2.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

4

，BC=20，求△ABC的周长和面积. 5

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3.(陕西)在△ABC中.∠C=90°，若tanA=

1

，则sinA= . 2

课后作业

1，(江苏盐城)如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°， 为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)

2

2，已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)

§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 学习目标 ：

1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 教学过程

你能求出30°角的三个三角函数值吗?

1，观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?

2，sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.

3，我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?

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我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边2a.由此可求得 sin45°=,

cos45°＝, tan45°=

下面请同学们完成下表30°、45°、60°角的三角函数值

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.

为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢? 例题讲解 [例1]计算：

22

(1)sin30°+cos45°； (2)sin60°+cos60°-tan45°.

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)

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练习 1.计算：

(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3)

2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少?

活动与探究

(年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AE＝CF=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高? (精确到0.1 m，2≈1.41，3≈1.73)

作业

1.(年北京石景山)计算：

3.(年广东梅州)计算：(1+2)-｜1-sin30°｜1+(

2

sin45°+sin60°-2cos45°. 2

12-1

. 2.(年北京崇文)汁算：(2+1)+2sin30°-

sin30 1

1-11

). 4. ( 年广西)计算：sin60°+ 21 tan60

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5.(年内蒙古赤峰)计算；2-(2003+π)-cos60°--3

1

.

1 2

§1.3 船有触礁的危险吗 学习目标：

1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，并能对结果的意义进行说明. 新课讲解：

例1，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西45°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西30°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题

.

货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?

例2，某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由45°减至30°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼 梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?

请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)

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练习

1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?

2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小：

3

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m)

活动与探究

(年贵州贵阳)如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2≈1.4， ≈1.7)

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《直角三角形的边角关系》复习 学习要求:

1、通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA， cosA，tanA，cotA表示直角三角形(其中有一个锐角是A)中的两边的比，熟记30°，45°，60°角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角数值说出这个角。

2、理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识来解某些简单的实际问题(包括一些能用直角三角形解的斜三角形问题)从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识。

3、通过解答与三角形或四边形有关的问题，增强分析能力和逻辑推理能力。

知识讲解:

1．直角三角形中的边角关系

(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2 (2)锐角之间的关系：A＋B＝90°

ab

， cosA＝sinB＝ ccab

tanA＝cotB＝， cotA＝tanB＝

ba

(3)边角之间的关系：sinA＝cosB＝ 锐角三角函数的概念

如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下： (1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作sinA，即sinA＝

a

c

b c

(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝

a

bb

(4)角A的余弦：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotA＝

a

(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝2．三角函数的关系

(1)同角的三角函数的关系

1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：tanA·cotA＝1 3)商的关系：tanA＝

sinAcosA

， cotA＝ cosAsinA

(2)互为余角的函数之间的关系

sin(90°－A)＝cosA， cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA， cot(90°－A)＝tanA

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3．一些特殊角的三角函数值

5．锐角α的三角函数值 的符号及变化规律。 (1)锐角α的三角函数值都是正值

(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα 随α的增大而减小。 6．解直角三角形

(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。

(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形。

7．解直角三角形的应用， (1)仰角、俯角

视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角 (2)坡度．

坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，即i＝ (3)坡角

坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝

h l

h l

(4)方位角

从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。

例题选讲：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________。 (2)已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________。 (3)已知∠A、 a，则b=__________;c=_________。 (4)已知a、b，则c=__________。 (5)已知a、c，则b=__________ 。

2、在下列直角三角形中，不能解的是（ ）

A、已知一直角边和所对的角 B、已知两个锐角 C、已知斜边和一个锐角 D、已知两直角边

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3、如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC的面积。

6

A

D

C

B

C

B

4、求证:平行四边形ABCD的面积S=AB·BC·sinB(∠B为锐角)。

00

5、山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B的俯角α =60，杆底C的俯角β =45，已知旗杆高BC=20米，求山高CD。 课堂练习

1、如图：P是∠ 的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），

则sin（90 - ）＝_____________.

2、下列说法正确的是( )

A、a为锐角则 0≤sina≤1 B、cos30°＋cos30°＝cos60° C、若tanA＝cot(90°－B), 则∠A与∠B互余 D、若α1，α2为锐角，且α1＜α2则cosα1＞cosα2 3、已知0°＜α＜45° 则sinα，cosα的大小关系为( )

A、sinα＞cosα B、sinα＜cosα C、sinα≥cosα D、sinα≤cosα． 4、∠C＝90° 且tanA＝

1

，则cosB的值为( ) 3

A、

3 B、 C、 D 1031010

5、直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD＝10，∠B＝90°，∠C＝30°则AB＝( )

55 A、5 B、5 C、 D

22

6、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1， 另两边长之和为1＋

， 则这个三角形的面积为( )

C

A. 1 B.

C.2

D.

4

7、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和

B之间的距离为160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=45，同

时在B点测得∠ABP=60，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. P

A B

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课后练习

1

，则sinα＝ ，cosα＝ 。 5

3sina 2cosa

2．若tanα＝2，则的值等于 。

sina 4cosa

1．α为锐角，若tanα＝

3．底角为30°的等腰三角形，底边长为4cm，则腰长＝ ，面积＝ 。 4．sin218°＋cos45°·tan25°·tan65°＋sin272°＝ 5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=

12

，cosB=，则△ABC的三个内角的大小是（ ） 22

A、∠C＞∠B ＞∠A B、∠C＞∠A＞∠B

C、∠B ＞∠C＞∠A D、∠A＞∠B＞∠C 6、下列各式正确的是（ ）

sin450

A、sin25°＋sin35°＝sin60° B、tan45° = 0

cos45

C、tan260°＋sin260°＝tan2450° D、tan30°＋sin30°＝cos30°

7．如图，从山顶A望到地面C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和60°，且CD=100m，点C在BD上，求山高AB。

D C

B

8、如图，在一座高为10m的建筑物顶C，测得旗杆底部B的俯角为60°，旗杆顶端A的仰角为30°． （1）求建筑物与旗杆的水平距离BD； （2）计算旗杆的高AB．

B D

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过关测试题 （时间：90分钟；满分：120分）

一、选择题（每题3分，共36分）。

1、在△ABC中，∠C=90°，a、b分别是∠A、∠B所对的两条直角边，c是斜边，则有（ ）。

A.sinA=

babc

B.cosB= C.tanA= D.cosB= acba

2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°.若sinA=

2

，则sinB等于（ ）。 2

A.

12 B. C. D.1 222

3、在△ABC中，若tanA=1，sinB=

2

，你认为最确切的判断是（ ）。 2

A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是等腰直角三角形 C.△ABC是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形 4、在△ABC中，若|sinA－ A.45°

3

|+(1－tanB)2=0，则∠C的度数是（ ）。 2

B.60° C.75° D.105°

5、某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（ ）。 A.1000 m B.500 m C.5003 m D.

3

m 3

6、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300 m，250 m，200 m；线与 地面所成的角度分别为30°，45°，60°(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝（ ）。 A.甲的最高 B.乙的最低 C.丙的最低 D.乙的最高

7、如图1，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影 部分)的路面面积是（ ）。 A.

16002

(m) sin

B.

16002

(m) cos

C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2)

A

C

图1 图2 图3

8、如图2，为了测量一河岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得 ∠ACB=50°，则A、B间的距离应为（ ）。

A.15sin50°米 B.15tan50°米 C.15tan40°米 D.15cos50°米

9、如图3，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（ ）。

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A.10 m B.

52

m C. m D.53 m 32

10、如图4，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子

高AB=1.8 m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内， 那么挡光板的宽度AC为（ ）。 A.1.8tan80°m B.1.8cos80°m C.

1.8

m

sin80

D.

1.8

m

tan80

DE

图4

B

图5 图6

11、如图5，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B距墙1.6米，小红上了两节梯子到D点，此时

D点距墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为（ ）。

A.4.50米 B.4.40米 C.4.00米 D.3.85米

12、已知如图6，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5 m的位置上，则球拍击 球的高度h应为（ ）。

A.2.7 m B.1.8 m C.0.9 m D.6 m 二、填空题（每题3分，共36分）。

13、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则sinA=_____，cosA=______，tanA=_____。

14、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=

3

，则AC=______。 4

15、在△ABC中，∠C=90°.若3AC=3BC，则∠A的度数是______。

16、如图7，在平面直角坐标系中，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为(4，3)则sinα=______。

B

C

30

o

C

图7 图8

图9

17、如图8.B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60 m， 则点A到对岸BC的距离是_____m.。

18、如图9，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm， 则此阶梯最少要建_____阶 (最后一阶的高度不足20 cm时，按一阶算，取1.732)。

B C

A

E

图10 图11 图12

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19、(如图10)，小刚在一山坡上依次插了三根木杆，第一根木杆与第二根木杆插在倾斜角为30°， 且坡面距离是6米的坡面上，而第二根与第三根又在倾斜角为45°，且坡面距离是8米的坡面上， 则第一根与第三根木杆的水平距离是______ (精确到0.01米)。

20、如图11，从楼顶A点测得电视塔CD的仰角为α，俯角为β，若楼房与电视塔之间的水平距离 为m，则电视塔的高度=_________。

21、如图12，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽5 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度为1∶2.5， 斜坡CD的坡度为1∶2，则坝底宽AD等于______。

22、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的 仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米(用含根号的式子表示)。 23、某展厅为迎接科技展览，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米 售价30元，主楼梯道宽2 m，其侧面如图13所示，则购买地毯至少需要______元。

图14

图13

24、城关中学要修建一座餐厅楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的42改为36

（图14）．已知原来设计的楼梯长为4.5m，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占 地面_____________m（精确到0.01m）。

三、解答题：(25题10分；26题12分；27题、28题各13分。共48分 )

25、 (1)、

tan45 －cos60 3

·tan 30°； (2)、(tan30°)2007·(22sin45°)2006 。

sin60 2

26、如图15，某货船以20海里/小时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经16小 时的航行到达，到达后便接到气象部门通知，一台风中心正由A向北偏西60°方向移动，距台风 中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.在B处的货船是否会受到台风的侵袭？为什么.

图15

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27、如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°。已知塔高 AB＝20m，观察点E到地面的距离EF＝35cm，求小山BD的高（精确到0.1

1.732）。

28、(1)、如图17中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化， 试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律.

B 3 B 2

B 1

AC

②

123①(注=AB :AB =AB )3 1 2

图17

(2)根据你探索到的规律，试分别比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和 余弦值的大小.

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