2江苏省南通市2015届高三第二次调研测试数学试题

南通市2015届高三第二次调研测试

数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 命题“?x?R，2x?0”的否定是“ ”．

2． 设1?i?a?bi(i为虚数单位，a，b?R)，则ab的值为 ．

1?i3． 设集合A??1， 0， 1， 3 ，B?x x2≥1，则A2I ← 1 While I < 7 S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S （第4题）

????B? ．

4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ．

5． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ．

6． 若函数f(x)?2sin?x?π(??0)的图象与x轴相邻两个交点间的距离为2，则实数?的值为 ．

37． 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y?lnx在x?e(e为自然对数的底数)处的切线与直线 ax?y?3?0垂直，则实数a的值为 ．

8． 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?3 cm，AD?2 cm，AA1?1 cm，则三棱锥B1?ABD1 的体积为 cm3．

9． 已知等差数列?an?的首项为4，公差为2，前n项和为Sn． 若Sk?ak?5?44(k?N)，则k的值为 ．

32???D1A1 A

不DB1C1

不C不B不（第8题）

不10．设f(x)?4x?mx?(m?3)x?n(m，n?R)是R上的单调增函数，则m的值为 ． 11．在平行四边形ABCD中，AC?AD?AC?BD?3，则线段AC的长为 ． 12．如图，在△ABC中，AB?3，AC?2，BC?4，点D在边BC上，

A

?BAD?45°，则tan?CAD的值为 ．

lgzlgz13．设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则的 ?4lgxlgy最小值为 ．

B D

（第12题）

C

14．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x?1)2?(y?6)2?25，圆C2：(x?17)2?(y?30)2?r2．

若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A，B，满足PA?2AB， 则半径r的取值范围是 ．

- 1 -

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演．．．．．．．

算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在四面体ABCD中，平面BAD?平面CAD，?BAD?90°．M，N，Q分别为棱AD，

BD，AC的中点．

（1）求证：CD//平面MNQ； （2）求证：平面MNQ?平面CAD．

16．（本小题满分14分）

体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：

等级

人数

（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为a1，a2，a3，2名女生记为b1，b2．现从这5人中 任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．

- 2 -

A M D N B

（第15题）

Q

C

优 5 良 19 中 23 不及格 3

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知向量a?(1，0)，b?(0，2).设向量x?a?(1?cos?)b， y??ka?1b，其中0???π.

sin? （1）若k?4，??π，求x?y的值；

6（2）若x//y，求实数k的最大值，并求取最大值时?的值.

18．（本小题满分16分）

2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1 ( a?b?0 )的左顶点为A，右焦点为

abF(c，0).P( x0，y0 )为椭圆上一点，且PA?PF.

y P （1）若a?3，b?5，求x0的值； （2）若x0?0，求椭圆的离心率；

（3）求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x?a相切.

c

- 3 -

（第18题）

2A O F x

19．（本小题满分16分）

设a?R，函数f(x)?xx?a?a． （1）若f(x)为奇函数，求a的值；

3]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围； （2）若对任意的x?[2， （3）当a?4时，求函数y?f?f(x)?a?零点的个数．

20．（本小题满分16分）

设?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q(q?1)的等比数列．记cn?an?bn． （1）求证：数列?cn?1?cn?d?为等比数列； （2）已知数列?cn?的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列?an?和?bn?的通项公式；

② 是否存在元素均为正整数的集合A??n1，n2，?， nk?(k≥4，k?N?)，使得数列 cn1，cn2，?，cnk为等差数列？证明你的结论．

- 4 -

南通市2015届高三第二次调研测试

数学Ⅱ（附加题）

A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点． 求证：AP?BC?AC?CP．

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

?2??a2?设??是矩阵M???的一个特征向量，求实数a的值． 332????C O B P

A （第21 - A题）

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，设直线??π与曲线?2?10?cos??4?0相交于A，B两点，求线段AB中点

3的极坐标．

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设实数a，b，c满足a?2b?3c?4，求证：a2?b2?c2≥8．

7- 5 -

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，?4)，P(2，t)(t?0)在抛物线y2?2px(p?0)上． （1）求p，t的值；

（2）过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线 AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1?k2?2k3，求点C的坐标．

（第22题）

y C O B M x P A

23．（本小题满分10分）

设A，B均为非空集合，且A

B??，A

3，?，n?(n≥3，n?N?)．记A， B?? 1，2，B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a?B，且b?A”的集合对(A，B)的个数为an． （1）求a3，a4的值； （2）求an．

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南通市2015届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议

一、填空题

1． ?x?R，2x≤0 2． 0 3． ??1 ， 3? 4． 11 5． 0.02 6． π 7． ?e

28． 1 9． 7 10． 6 11． 二、解答题

15．证明：（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点， 所以MQ//CD， ?? 2分 又CD?平面MNQ，MQ?平面MNQ， 故CD//平面MNQ． ?? 6分

（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN//AB，

B

（第15题）

3 12． 8?15 13． 9 14． ?5 ， 55?

87A M D N C

Q

又?BAD?90°，故MN?AD． ?? 8分 因为平面BAD?平面CAD，平面BAD平面CAD?AD， 且MN?平面ABD，

所以MN?平面ACD． ?? 11分

又MN?平面MNQ，

平面MNQ?平面CAD． ?? 14分

（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN?平面ACD”，扣1分．）

16．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A，“测试成绩为良”为事件A1，“测试成绩为中”

为事件A2，事件A1，A2是互斥的. ?? 2分 由已知，有P(A1)?19，P(A2)?23． ?? 4分

5050 因为当事件A1，A2之一发生时，事件A发生， 所以由互斥事件的概率公式，得

P(A)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?19?23?21． ?? 6分

505025

（2）① 有10个基本事件：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，

(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)． ?? 9分

- 7 -

② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B．在上述等可能的10个基本事件中，

事件B包含了(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)． 故所求的概率为P(B)?6?3．

105 答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为21；

25 （2）参赛学生中恰有1名女生的概率为3． ??14分

5（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B包含的6种基本事件不

枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）

17． 解：（1）（方法1）当k?4，??π时，x?1，2?3，y?(?4，4)， ?? 2分

6 则x?y?1?(?4)?2?3?4?4?43． ?? 6分

（方法2）依题意，a?b?0， ?? 2分

?? 则x?y??a?1?3b????4a?2b???4a2?2?1?3b2

2?2????????? ??4?2?1?32????4?4?4 ．3 ?? 6分

2?2cos??，y??k，2， （2）依题意，x??1，sin?? 因为x//y，

所以2??k(2?2cos?)，

sin? 整理得，1?sin??cos??1?， ?? 9分

k 令f(?)?sin??cos??1?，

则f?(?)?cos??cos??1??sin?(?sin?)

?? ?2co2sc?o?s 1 ??2cos??1??cos??1?. ?? 11分

令f?(?)?0，得cos???1或cos??1，

2 又0???π，故??2π.

3 列表：

? f?(?) f(?) 2π? ?0，3? 2π 3- 8 - π? ?23π，0 极小值?33 ? ↗ ↘

故当??2π时，f(?)min??33，此时实数k取最大值?43. ?? 14分

349（注：第（2）小问中，得到x??1，） 2?2cos??，y??k，2，及k与?的等式，各1分．

sin?

18．解：（1）因为a?3，b?5，所以c2?a2?b2?4，即c?2， 由PA?PF得，

??y0y22??x0?x0?6, ?? 3分 ?0??1，即y0x0?3x0?222x0y0 又??1，

952 所以4x0?9x0?9?0，解得x0?3或x0??3(舍去) ． ?? 5分

4 （2）当x0?0时,y02?b2， 由PA?PF得，

y0y0???1，即b2?ac，故a2?c2?ac， ?? 8分 a?c 所以e2?e?1?0，解得e?5?1（负值已舍）． ?? 10分

222x02y02aa （3）依题意，椭圆右焦点到直线x?的距离为?c，且2?2?1，① ccab 由PA?PF得，

y0y22??x0?(c?a)x0?ca, ② ?0??1,即y0x0?ax0?c?a?b2?ac????0， 由①②得，(x0?a)?x0?2c???? 解得x0?? 所以PF?a?a2?ac?c2?c2或x0??a(舍去). ?? 13分

?x0?c?22?y0??x0?c?22?x0?(c?a)x0?ca?a?cx0

a22aa?ac?c???a2?c，

?a?c?acc22a 所以以F为圆心，FP为半径的圆与右准线x?相切. ?? 16分 c22 （注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线x?a的距离为a?c，得1分；直接使用焦半

cc 径公式扣1分．）

- 9 -

19．解：（1）若f(x)为奇函数，则f(?x)??f(x)，

令x?0得，f(0)??f(0)，即f(0)?0，

所以a?0，此时f(x)?xx为奇函数． ?? 4分

3]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0． （2）因为对任意的x?[2， 3]，f(x)?xx?a?a≥0恒成立，所以a≤0； ?? 6分 当a≤0时，对任意的x?[2，2? x?a， ??x?ax?a， 当a?0时，易得f(x)??2在??， a?上是单调增函数，在?a， a?上

??2??2?? x≥a??x?ax?a，? 是单调减函数，在?a， ???上是单调增函数，

当0?a?2时，f(x)min?f(2)?2(2?a)?a≥0，解得a≤4，所以a≤4； 33 当2≤a≤3时，f(x)min?f(a)??a≥0，解得a≤0，所以a不存在；

当a?3时，f(x)min?min?f(2)，f(3)?=min?2(a?2)?a，3(a?3)?a?≥0，解得a≥9，

2 所以a≥9；

2 综上得，a≤4或a≥9． ?? 10分

23（3）设F(x)?f?f(x)?a?， 令t?f(x)?a?xx?a

则y?f(t)?tt?a?a，a?4， 第一步，令f(t)?0?tt?a?a，

所以，当t?a时，t2?at?a?0，判别式??a(a?4)?0，

22 解得t1?a?a?4a，t2?a?a?4a；

22 当t≥a时，由f(t)?0得，即t(t?a)?a，

2a?a?4a； 解得t3?22aa 第二步，易得0?t1??t2?a?t3，且a?， 242a① 若xx?a?t1，其中0?t1?， 4 当x?a时，x2?ax?t1?0，记p(x)?x2?ax?t1，因为对称轴x?a?a，

2- 10 -

p(a)?t1?0，且?1?a2?4t1?0，所以方程t2?at?t1?0有2个不同的实根； 当x≥a时，x2?ax?t1?0，记q(x)?x2?ax?t1，因为对称轴x?a?a，

2 q(a)??t1?0，且?2?a2?4t1?0，所以方程x2?ax?t1?0有1个实根， 从而方程xx?a?t1有3个不同的实根；

2a② 若xx?a?t2，其中0?t2?， 4 由①知，方程xx?a?t2有3个不同的实根；

③ 若xx?a?t3，

当x?a时，x2?ax?t3?0，记r(x)?x2?ax?t3，因为对称轴x?a?a，

2 r(a)??t3?0，且?3?a2?4t3?0，所以方程x2?ax?t3?0有1个实根； 当x≤a时，x2?ax?t3?0，记s(x)?x2?ax?t3，因为对称轴x?a?a，

2 s(a)?t3?0，且?3?a2?4t3，

a2?4t3?0?a3?4a2?16?0， ?? 14分

记m(a)?a3?4a2?16，则m?(a)?a(3a?8)?0，

??)上增函数，且m(4)??16?0，m(5)?9?0， 故m(a)为(4，5)， 所以m(a)?0有唯一解，不妨记为a0，且a0?(4， 若4?a?a0，即?3?0，方程x2?ax?t3?0有0个实根； 若a?a0，即?3?0，方程x2?ax?t3?0有1个实根； 若a?a0，即?3?0，方程x2?ax?t3?0有2个实根，

所以，当4?a?a0时，方程xx?a?t3有1个实根； 当a?a0时，方程xx?a?t3有2个实根； 当a?a0时，方程xx?a?t3有3个实根．

综上，当4?a?a0时，函数y?f?f(x)?a?的零点个数为7； 当a?a0时，函数y?f?f(x)?a?的零点个数为8；

当a?a0时，函数y?f?f(x)?a?的零点个数为9． ?? 16分

- 11 -

（注：第（1）小问中，求得a?0后不验证f(x)为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参

考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）

20．解：（1）证明：依题意，cn?1?cn?d??an?1?bn?1???an?bn??d

??an?1?an??d??bn?1?bn?

?bn(q?1)?0， ?? 3分 从而

cn?2?cn?1?dbn?1(q?1)??q，又c2?c1?d?b1(q?1)?0，

cn?1?cn?dbn(q?1) 所以?cn?1?cn?d?是首项为b1(q?1)，公比为q的等比数列． ?? 5分

（2）① 法1：由（1）得，等比数列?cn?1?cn?d?的前3项为6?d，9?d，15?d， 则?9?d???6?d??15?d?，

解得d?3，从而q?2， ?? 7分 ?a?b?4， 且?11

a?3?2b?10， ?112 解得a1?1，b1?3，

所以an?3n?2，bn?3?2n?1． ?? 10分

?a1?b1?4，??a1?d?b1q?10， 法2：依题意，得? ?? 7分 2a?2d?bq?19，1?1?a?3d?bq3?34，?11?d?b1q?b1?6，? 消去a1，得?d?b1q2?b1q?9，

?32?d?b1q?b1q?15，2??b1q?2b1q?b1?3， 消去d，得?3 2bq?2bq?bq?6，??111 消去b1，得q?2，

从而可解得，a1?1，b1?3，d?3，

所以an?3n?2，bn?3?2n?1． ?? 10分 ② 假设存在满足题意的集合A，不妨设l，m，p，r?A(l?m?p?r)，且cl，cm， cp，cr成等差数列， 则2cm?cp?cl，

因为cl?0，所以2cm?cp， ①

- 12 -

若p?m?1，则p≥m?2，

m?1m?1p?1 结合①得，2??(3m?2)?3?2???(3p?2)?3?2≥3(m?2)?2?3?2，

化简得，2m?m??8?0， ②

3 因为m≥2，m?N?，不难知2m?m?0，这与②矛盾， 所以只能p?m?1， 同理，r?p?1，

所以cm，cp，cr为数列?cn?的连续三项，从而2cm?1?cm?cm?2， 即2?am?1?bm?1??am?bm?am?2?bm?2，

故2bm?1?bm?bm?2，只能q?1，这与q?1矛盾，

所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A． ?? 16分

（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）

南通市2015届高三第二次调研测试

数学Ⅱ（附加题）

A．证明：因为PC为圆O的切线，

所以?PCA??CBP， ?? 3分 又?CPA??CPB，

故△CAP∽△BCP， ?? 7分 所以AC?AP，

BCPC 即AP?BC?AC?CP． ?? 10分

?2?B．解：设??是矩阵M属于特征值?的一个特征向量，

?3??a2??2? 则???3???32?????2??3?， ?? 5分 ??C O B P

A （第21 - A题）

?2a?6?2?，??=4， 故?解得? ?? 10分

12?3?， a?1. ??- 13 -

C． 解：（方法1）将直线??π化为普通方程得，y?3x，

3 将曲线?2?10?cos??4?0化为普通方程得，x2?y2?10x?4?0, ?? 4分

联立???y?3x，并消去y得，2x2?5x?2?0??x2?y2?10x?4?0，

解得x1?12，x2?2，

所以AB中点的横坐标为

x1?x22?54，纵坐标为523， 化为极坐标为?52， π3?． ? （方法2）联立直线l与曲线C的方程组????π3， ???2?10?cos??4?0， 消去?，得?2?5??4?0，

解得?1?1，?2?4， 所以线段AB中点的极坐标为

??1??22， π3?，即?52， π3?． （注：将线段AB中点的极坐标写成?52， π3?2kπ? (k?Z)的不扣分．

）

D．证明：由柯西不等式，得?a2?b2?c2??12?22?32?≥?a?2b?3c?2， 因为a?2b?3c?4，

故a2?b2?c2≥87， 当且仅当a1?b2?c3，即a?27，b?47，c?67时取“?”．

22．解：（1）将点A(8，?4)代入y2?2px，

得p?1， ?? 2分 将点P(2，t)代入y2?2x，得t??2，

因为t?0，所以t??2． ?? 4分

（2）依题意，M的坐标为(2，0)， - 14 -

?? 8分

?? 10分

?? 2分 ?? 6分

?? 10分 ?? 6分 ?? 8分

?? 10分 y C B O M x P A （第22题）

直线AM的方程为y??2x?4，

33?y??2x?4，?33并解得B1， 联立?1， ?? 6分

22??y?2x?? 所以k1??1，k2??2，

3 代入k1?k2?2k3得，k3??7， ?? 8分

6 从而直线PC的方程为y??76x?13，

?y??2x?4 联立??33，并解得C??2，8?． ??y??76x?13 3

23．解：（1）当n?3时，A

B?{1，2，3}，且A

B??，

若a?1，b?2，则1?B，2?A，共C01种；

若a?2，b?1，则2?B，1?A，共C11种，

所以a3?C011+ C1?2； 当n?4时，AB?{1，2，3，4}，且AB??，

若a?1，b?3，则1?B，3?A，共C02种； 若a?2，b?2，则2?B，2?A，这与A

B??矛盾；

若a?3，b?1，则3?B，1?A，共C22种，

所以a4?C022+ C2?2． （2）当n为偶数时，AB?{1，2，3，?，n}，且AB??，

若a?1，b?n?1，则1?B，n?1?A，共C0n?2（考虑A）种； 若a?2，b?n?2，则2?B，n?2?A，共C1n?2（考虑A）种； ??

若an

?n2?1，b?n2?1，则n2?1?B，n2

?1?A，共C2?2

n?2（考虑A）种；若a?n，b?n，则n222?B，n2?A，这与A

B??矛盾；

n若a?n22?1，b?n2?1，则n2?1?B，n2

?1?A，共Cn?2（考虑A）种； ??

- 15 -

?? 10分

?? 2分

?? 4分

?2 若a?n?1，b?1，则n?1?B，1?A，共（考虑A）Cnn?2种，

n?2

2n?2

所以an?C0n?2?C1n?2???C?Cn2n?2???Cn?2n?2?2n?2?Cn?12n?2； ?? 8分

1n?2n?2 当n为奇数时，同理得，an?C0， n?2?Cn?2???Cn?2?2n?1?n?22?2?Cn ?2，n为偶数， 综上得，an?? ?? 10分 n?2? n为奇数.?2，

- 16 -

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