4-4 坐标系与参数方程复习讲义

4-4坐标系与参数方程（复习）

知识回顾

一、坐标系

1.极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）

设M是平面上的任一点， 表示OM的长度， 表示以射线OX为始边，射线OM

为终边所成的角。那么有序数对( , )称为点M的极坐标。其中 约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。 2．直角坐标与极坐标的互化

以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P的直角坐标极坐标分别为（x，y）和( , )，则 x

y tan

2

二、曲线的极坐标方程

1．直线的极坐标方程：若直线过点M( 0, 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过M(b,)且平行于极轴

2

图： 方程：

2．圆的极坐标方程： 若圆心为M( 0, 0)，半径为r的圆方程为：几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于M(r,0) （3）当圆心位于M(r,图： 方程：

2

)

三、参数方程 1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点P(x,y)满足 变数，简称参数.

2．参数方程与普通方程的互化 ①参数方程化为普通方程

常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：

x x0 at x acos x sin

(t为参数）⑴ （ 为参数）； ⑵ （3） [0,2 ) 2

y cos y bsin y y0 bt

x f(t) y f(t)

，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参

a1

x (t ) x a rcos 2t（4）（t为参数） （5） （ 为参数） y b rsin y b(t 1) 2t

②普通方程化为参数方程

1、圆(x a)2 (y b)2 r2的参数方程

2、经过点P(x0，y0)倾斜角为 的直线的参数方程

xa

22

3、椭圆

yb

22

1(a b 0)的参数方程4、抛物线y 2px(p 0)的参数方程普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。

2

例题精讲

例1在极坐标系下，已知圆O: cos

sin 和直线l: sin( （1） 求圆O和直线l的直线坐标方程；

（2） 当 (0, )时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

4

)

2

课堂检测：

1.已知圆O1和圆O

2的极坐标方程分别为 2, 2 cos( （1） 把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2） 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

例2已知 AOB 30 ,角内有一动点P,PM OA,PN OB,且四边形PMON的面积为1，先以O为极点， AOB的平分线Ox为极轴建立极坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

课堂检测：

2．求曲线 2cos 关于直线

4

4

) 2.

对称的曲线的极坐标方程.

3.（10江苏）在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值

x 5cos x 4 2t

例3在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆 （ 为参数）的右焦点，且与直线 （t

y 3sin y 3 t

为参数）平行的直线的普通方程．

例4在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

满足OP 2OM,P的轨迹为曲线C2.

x 2cos y 2 2sin

（ 为参数），M是C1上的动点，P

（1） 求C2的方程；

（2） 在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

3

与C1的异于极点的交点为

课堂检测

4.已知直线l的参数方程：

x t

(t为参数)和圆C

的极坐标方程： =

4

y 1+2t

)( 为参数).

（1） 将直线l的参数方程和圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2） 判断直线l和圆C的位置关系.

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