2018年4月浙江省高中学业水平考试数学试题

2018年4月浙江省学业水平考试

数学试题

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符

合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）

1. 已知集合P?x0?x?1，Q?x2?x?3.记M?P?Q，则 A.?0,1,2??M B.?0,1,3??M C.?0,2,3??M D.?1,2,3??M 2. 函数f(x)?????x?1的定义域是 x A.xx?0 B.xx?0 C.xx?0 D.R 3. 将不等式组????????x?y?1?0,表示的平面区域记为?，则属于?的点是

x?y?1?0? A.(?3,1) B.(1,?3) C.(1,3) D.(3,1) 4. 已知函数f(x)?log2(3?x)?log2(3?x)，则f(1)?

A.1 B.log26 C.3 D.log29

y2?1的渐近线方程为 5. 双曲线x?3213x B.y??x C.y??3x D.y??3x 336. 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是

A.y??1236 B. C. D. 3333π37. 若锐角?满足sin(??)?，则sin??

25 A. A.

D1 A1 D A （第6题图）

C1 B1

C B

2334 B. C. D.

55458．在三棱锥O?ABC中，若D为BC的中点，则AD? A.

1111OA?OC?OB B. OA?OB?OC 22221111 C.OB?OC?OA D. OB?OC?OA

2222?9. 设?an?，?bn?(n?N)是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是 A.?an?bn? B.?an?bn? C.?an?bn?1? D.?an?bn?1?

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10.不等式2x?1?x?1?1的解集是 A. ?x?3?x?? B. ?x???1?3????1?x?3? 3?13?? C. ?xx??3,或x?? D. ?xx??,或x?3?

??1?3???

11．用列表法将函数f(x)表示为 ，则

A.f(x?2)为奇函数 B. f(x?2)为偶函数 C.f(x?2)为奇函数 D. f(x?2)为偶函数

12．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分

割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分 别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是 A.x2?y2?x?2y?1?0 B.x2?y2?2x?2y?1?0 C.x?y?2x?y?1?0 D.x?y?2x?2y?1?0

2222y A D 11213. 设a为实数，则“a?2”是“a?”的

aa A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

o B x C (第12题图) 14. 在直角坐标系xOy中，已知点A(0,?1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直

线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a? A.

134 B. C.1 D. 44315. 甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为S甲，S乙，体

积为V甲，V乙，则

俯视图 （第15题图①）

俯视图 （第15题图②）

正视图 a aa a a aa aa a a a侧视图 正视图 侧视图

A.S甲?S乙，V甲?V乙 B. S甲?S乙，V甲?V乙 C.S甲?S乙，V甲?V乙 D. S甲?S乙，V甲?V乙

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x2y216．如图，F为椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点

abO为坐标原点.若△OABA,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，5倍，则该椭圆的离心率是 22314 A.或 B.或

5555的面积是△OPF面积的 C.

y B F 1015525或 D.或 5555O A x 17．设a为实数，若函数f(x)?2x2?x?a有零点，

则函数y?f[f(x)]零点的个数是

（第16题图）

A.1或3 B. 2或3 C. 2或4 D.3或4 18．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.

若AB?1,BC?3，AF?FE?EC?1，则下列二面角的平面角的大小为定值的是

A. F?AB?C B. B?EF?D

C. A?BF?C D. B?AF?D

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19. 已知函数f(x)?2sin(2x? ▲ .

20. 若平面向量a,b满足2a?b?(1,6)，a?2b?(?4,9)，则a?b? ▲ . 21. 在△ABC中，已知AB?2，AC?3，则cosC的取值范围是 ▲ . 22．若不等式2x2?(x?a)x?a?2?0对于任意x?R恒成立，则实数a的最小值是

▲ .

三、解答题（本大题共3小题，共31分.）

23. (本题满分10分)在等差数列?an?(n?N?)中，已知a1?2，a5?6.

(Ⅰ)求?an?的公差d及通项an；

（Ⅱ）记bn?2n(n?N?)，求数列?bn?的前n项和.

aF D A

B

E

C

（第18题图）

π)?1，则f(x)的最小正周期是 ▲ ，f(x)的最大值是 3

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24. (本题满分10分) 如图，已知抛物线y?x2?1与x轴相交于点A，B两点，P是该抛物

线上位于第一象限内的点.

(Ⅰ) 记直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，求证k2?k1为定值；

（Ⅱ）过点A作AD?PB，垂足为D.若D关于x轴的对称点恰好在直线PA上，求△

PAD的面积.

y

P

A

O B

D

x

（第24题图）

25. (本题满分11分) 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(1,3)，直线x?t

(0?t?2)将△OAB分成两部分，记左侧部分的多边形为?.设?各边长的平方和为

f(t)，?各边长的倒数和为g(t).

(Ⅰ) 分别求函数f(t)和g(t)的解析式；

（Ⅱ）是否存在区间(a,b)，使得函数f(t)和g(t)在该区间上均单调递减？若存在，求

b?a 的最大值；若不存在，说明理由.

y B o x?t (第25题图)

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2018年4月浙江省学业水平考试

数学试题答案

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.） 1 2 3 4 5 6 题号 A D C C D 答案 C 11 12 13 14 15 题号 10 A B A B B 答案 B

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19．

7 D 16 D 8 C 17 C 9 A 18 B ?，3 20. ?2 21.[5,1) 22. 3 3三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解：（Ⅰ）因为a5?a1?4d，将a1?2，a5?6代入，解得数列?an?的公差d?1； 通项an?a1?(n?1)d?n?1. （Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项an代入 bn?2an?2n?1.

由此可知?bn?是等比数列，其中首项b1?4，公比q?2.

b1(1?qn) 所以数列?bn?的前n项和Sn??2n?2?4

1?q24. 解：（Ⅰ）由题意得点A,B的坐标分别为A(?1,0)，B(1,0).

2 设点P的坐标为P(t,t?1)，且t?1，则

t2?1t2?1?t?1，k2??t?1， k1?t?1t?1 所以k2?k1?2为定值.

（Ⅱ）由直线PA,AD的位置关系知 kAD??k1?1?t.

因为AD?PB，所以 kAD?k2?(1?t)(t?1)??1， 解得 t??2.因为P是第一象限内的点，所以t?2.

得点P的坐标为P(2,1). 联立直线PB与AD的方程 ??y?(1?2)(x?1),22,?). 解得点D的坐标为D(22?y?(1?2)(x?1), 所以△PAD的面积S?

12?AB?yP?yD?1?. 2225.解：（Ⅰ）当0?t?1时，多边形?是三角形（如图①），边长依次为 t,3t,2t；

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当1?t?2时，多边形?是四边形（如图②），边长依次为 t,3(2?t),2(t?1),2. y y

B

B o x?t A x o x?t A x (第25题图①) (第25题图②)

?8t2,0?t?1, 所以，f(t)??2

8t?20t?20,1?t?2,??331(?),0?t?1,??23t g(t)??

1111????,1?t?2.t2(t?1)2?3(2?t)? （Ⅱ）由（Ⅰ）中f(t)的解析式可知，函数f(t)的单调递减区间是(1,)，所以 (a,b)?(1,).

另一方面，任取t1,t2?(1,)，且t1?t2，则

545454111??]. t1t22(t1?1)(t2?1)3(2?t1)(2?t2)5251 由 1?t1?t2? 知，1?t1t2?, 0?2(t1?1)(t2?1)?,

416893 3(2?t1)(2?t2)?.从而0?2(t1?1)(t2?1)?3(2?t1)(2?t2),

1611 即 ??0

2(t1?1)(t2?1)3(2?t1)(2?t2)5 所以 g(t1)?g(t2)?0，得g(t)在区间(1,)上也单调递减.证得

45 (a,b)?(1,).

45 所以，存在区间(1,)，使得函数f(t)和g(t)在该区间上均单调递减，且

41b?a的最大值为.

4 g(t1)?g(t2)?(t2?t1)[

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