透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点

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透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点

解答三角高考题的一般策略：

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。 三角函数恒等变形的基本策略：

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=

???2－

???2等。

（3）降次，即二倍角公式降次。

（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2?b2sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定，?角的值由tan?=

b确定。 a三、与三角函数有关的五大热点问题

1．三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。

例1.(06重庆卷)设函数f(x)=3cos2cos+sin?rcos?x+a(其中?＞0,a?R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为

?. 6??5??,?上的最小值为3，求a的值. ?36?32cos?2x?12s?inx?23??23??2（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间??解：（I）f(x)? ?sin?2?x??????3?? 依题意得 2?? 解之得??1.2

?6??3??2,3??32?7????5??? 又当x??,时，x??0,,?? 36?36?????1? 故??sin(x?)?1,23 （ II)由（I）知,f(x)=sin(x+?)1??5?? 从而f(x)在??,上取得最小值???36?2? 因此，由题 设知?2?

3??23?121?23???23.故??例2.（06山东卷）已知函数f(x)=Asin(?x??)(A>0,?>0,0

1

?函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对2习题精选精讲

称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求?;

（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).

AA?cos(2?x?2?). 22AA?y?f(x)的最大值为2，A?0.???2,A?2.

2212??)?2,??. 又?其图象相邻两对称轴间的距离为2，??0，?(22?422???f(x)??cos(x?2?)?1?cos(x?2?).

2222解：（I）y?Asin(?x??)?2?y?f(x)过(1,2)点，?cos(?2?)??1.

2???2?2??2k???,k?Z,?2??2k???2,k?Z,???k???4,k?Z,

又?0????2,????4.

（II）解法一：????4，?y?1?cos(?x?)?1?sinx. 222???f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?2?1?0?1?4.

又?y?f(x)的周期为4，2008?4?502，

?f(1)?f(2)?????f(2008)?4?502?2008.

解法二：?f(x)?2sin(2??3?x??)?f(1)?f(3)?2sin2(??)?2sin2(??)?2, 444f(2)?f(4)?2sin2(??)?2sin2(???)?2,?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?4. 2又y?f(x)的周期为4，2008?4?502，?f(1)?f(2)?????f(2008)?4?502?2008. 例3.（06福建卷）已知函数f(x)=sin2x+3xcosx+2cos2x,x?R.

（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？

本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。

解：（I）f(x)??1?cos2x3?sin2x?(1?cos2x) 22313sin2x?cos2x?222

?3?sin(2x?)?.62?2

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?f(x)的最小正周期T?由题意得2k??2???. 2?2?2x??6?2k???2,k?Z, 即 k???3?x?k???6,k?Z.

?????f(x)的单调增区间为?k??,k???,k?Z.

36??（II）方法一：

先把y?sin2x图象上所有点向左平移

??个单位长度，得到y?sin(2x?)的图象，再把所1263?3得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到y?sin(2x?)?的图象。

262??3?3 方法二：把y?sin2x图象上所有的点按向量a?(?,)平移，就得到y?sin(2x?)?的图象。

12262

2．三角函数的性质性质问题

近年来，高考解答题加大了对三角函数性质的考查力度，它不仅考查了函数的有关概念，还考查三角变换技能。 例4.（06辽宁卷）已知函数f(x)?sin2x?2sinxcosx?3cos2x，x?R.求: (I) 函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合； (II) 函数f(x)的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:

f(x)?1?cos2x3(1?cos2x)??sin2x??1?sin2x?cos2x?2?2sin(2x?) 224?当2x??4?2k???2,即x?k???8(k?Z)时, f(x)取得最大值2?2. 函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x?R,x?k??解法二:

?8(k?Z)}.

f(x)?(sin2x?cos2x)?2sinxcosx?2cos2x?2sinxcosx?1?2cos2x?sin2x?cos2x?2?2?2sin(2x?)

4??当2x??4?2k???2,即x?k???8(k?Z)时, f(x)取得最大值2?2. 函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x?R,x?k??(II)解: f(x)?2?2sin(2x?即: k???8(k?Z)}.

?4)由题意得: 2k???2?2x??4?2k???2(k?Z)

3??3???x?k??(k?Z)因此函数f(x)的单调增区间为[k??,k??](k?Z). 8888【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力. 例5.（06广东卷）已知函数f(x)?sinx?sin(x?(I)求f(x)的最小正周期；

3

?2),x?R.

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(II)求f(x)的的最大值和最小值； (III)若f(?)?3，求sin2?的值. 4解：f(x)?sinx?sin(x??2)?sinx?cosx?2sin(x?2??2?; 1?4)

（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T?（Ⅱ）f(x)的最大值为2和最小值?（Ⅲ）因为f(?)?2；

3377，即sin??cos?????①?2sin?cos???,即 sin2??? 4416163．关于三角函数求值问题

三角函数求值问题，必须明确求值的目标。一般来说，题设中给出的是一个或几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式。解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式。 例6.（06安徽卷）已知

3?10????,tan??cot??? 43（Ⅰ）求tan?的值；

5sin2（Ⅱ）求

?2?8sin?2cos?2?11cos2?2?8的值。

???2sin????2??1013?2????，解：(Ⅰ)由tan??cot???得3tan??10tan??3?0，即tan???3或tan???，又

3341所以tan???为所求。

31-cos?1+cos??????4sin??11?85sin2?8sincos?11cos2?85222222（Ⅱ）= ???2cos??2sin????2??5?5cos??8sin??11?11cos??168sin??6cos?8tan??652?===?。

6?22cos??22cos??221?2sin(2x?)4， 例7.（06北京卷）已知函数f(x)?cosx

（Ⅰ）求f(x)的定义域；

（Ⅱ）设?是第四象限的角，且tan????4，求f(?)的值. 3解：（1）依题意，有cosx?0，解得x?k?＋即f(x)的定义域为｛x|x?R，且x?k?＋

?， 2?，k?Z｝ 24

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1?2sin(2x?)4＝－2sinx＋2cosx?f(?)＝－2sin?＋2cos? （2）f(x)?cosx443由?是第四象限的角，且tan???可得sin?＝－，cos?＝

35514?f(?)＝－2sin?＋2cos?＝

5sin(?2?)2?cos??1,??(0,?),求θ的值. 例8.（08湖南卷）已知3sin??cos(???)??解析： 由已知条件得3sin??即3sin??2sin2??0. 解得sin??3或sin??0. 2cos2??cos??1. ?cos?由0＜θ＜π知sin??3?2?，从而??或??. 233

4．三角形函数的最值问题

三角形函数的最值问题，是三角函数基础知识的综合应用，是和三角函数求值问题并重的重要题型，是高考必考内容之一。

ππ

例9．(06陕西卷)已知函数f(x)=3sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R)

612(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. ππ

解:(Ⅰ) f(x)=3sin(2x－)+1－cos2(x－)

612 = 2[

3π1π

sin2(x－)－ cos2(x－)]+1 212212

ππ

=2sin[2(x－)－]+1 126π

= 2sin(2x－) +1

3

2π∴ T= =π

2

πππ

(Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有 2x－ =2kπ+

332即x=kπ+

5π5π

(k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ， (k∈Z)}． 1212

5．三角与平面向量综合问题

由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，必将成为高考命题的热点。

例10.（06浙江卷）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤的图象与y轴交于点（0，1）.

5

?) 2

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(Ⅰ)求φ的值；

(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求PM与PN的夹角.

本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。

1??.因为0???，所以??. 226?115（II）由函数y?2sin(?x?)及其图像，得M(?,0),P(,?2),N(,0),

6636???????????????????????????1511PM?PN????? ?， 所以PM?(?,2),PN?(,?2),从而cos?PM,PN??????1722|PM|?|PN|解：（I）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin??1,即sin???????????15故?PM,PN??arccos.

17

四、典型例题分析

例1、化简sin??sin??cos??cos??22221cos2??cos2? 2 分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现：

（1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；

（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。 解法一：（复角?单角，从“角”入手） 原式?sin??sin??cos??cos??22?sin??sin??cos2??cos2??22221?(2cos2??1)(2cos2??1) 21(4cos2??cos2??2cos2??2cos2??1)2112222?sin??sin??cos2??cos2??cos2??cos2???sin??sin??cos2?sin2??cos2??

22111?sin???cos2???1??

222 解法二：（从“名”入手，异名化同名） 原式?sin??sin??(1?sin?)?cos?? ?cos??sin?(cos??sin?)? ?cos??sin??cos2??22222222221cos2??cos2? 21cos2??cos2? 21cos2??cos2? 2122 ?cos??cos2??(sin??cos2?)

2 ?1?cos2?1???cos2??sin2??(1?2sin2?)? 22??6

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?1?cos2?11?cos2?? 222 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

1?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1????cos2??cos2? 2222211 ?(1?cos2??cos2??cos2??cos2?)?(1?cos2??cos2??cos2??cos2?)

441111??cos2??cos2????

4422 原式? 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式?(sin??sin??cos??cos?)?2sin??sin??cos??cos??21cos2??cos2? 2112?cos(???)?sin2??sin2??cos2??cos2?

2212(??2?) ?cos(???)??cos221122 ?cos(???)???2cos(???)?1??

22［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形

手法。

1)B(，1)，例2、已知函数f(x)?a?bsinx?ccosx(x?R)的图像过点A(0，，且b>0，又f(x)的最大值为22?1，

(1)求函数f(x) 的解析式；(2)由函数y=f(x)图像经过平移是否能得到一个奇函数y=g(x)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。

π2?a?c?1?c22解：(1)f(x)?a?bsinx?ccosx?a?b?csin(x?φ)(tanφ?)，由题意，可得?a?b?1，

b?22?a?b?c?22?1?a??1?解得?b?2，所以f(x)??1?2sinx?2cosx；

?c?2?(2) f(x)??1?2sinx?2cosx?22sin(x?)?1，将f(x)的图像向上平移1个单位得到函数

π4ππ2sixn?(的图像，再向右平移)单位得到y?22sinx的图像，故将f(x)的图像先向上平移1个单位，

44π再向右平移单位就可以得到奇函数y=g(x)的图像。

4y?2［注］本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。

2例3、为使方程cosx?sinx?a?0在?0,???内有解，则a的取值范围是（ ） ??2? A.?1?a?1B.?1?a?1

7

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C.?1?a?05D.a??

42 分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为t+t-a-1=0，且

t??0，1?，于是问题转化为：若关于t的一元二次方程t2?t?a?1?0在区间?0，1?上有解，求a的取值范围，解法

1 t?? f(t) 如下：

2 设f(t)?t2?t?a?1由已知条件 有??f(0)?0??a?1?0????1?a?1

f(1)?01?a?0?? O 1 t ?a的取值范围为?1?a?1，故选（B）

分析二：由方程cosx?sinx?a?0，得a??cosx?sinx，x??0，?

22????2? 于是问题转化为：求函数a??cosx?sinx在?0， 解法如下：

a??cosx?sinx?sinx?sinx?1?(sinx? ?x??0，222????2??上的值域，

125)? 24????2?? ?sinx?0，1，从而

?? 当sinx?0时，a无限逼近?1； 当sinx?1时，a取最大值1

?a的取值范围为?1?a?1，故选（B）

［注］换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。

????25例4、已知向量a?(cosα，， sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a?b|?5(1)求cos(α?β)的值；(2)若0?α?ππ5，??β?0，且sinβ??，求sinα的值。 2213??解：(1)因为a?(cosα ，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，??所以a?b?(cosα?cosβ， sinα?sinβ)，25??2522又因为|a?b|?，所以(cosα?cosβ)?(sinα?sinβ)?，

558

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cos(α?β)?即2?2cos(α?β)?，(2) 0?α?453； 5ππ，??β?0，0?α?β?π， 2234又因为cos(α?β)?，所以 sin(α?β)?，

5551263sinβ??，所以cosβ?，所以sinα?sin[(α?β)?β]???

131365点评 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平

面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

例5、已知向量m??1,1?，向量n与向量m的夹角为?，且m?n??1， （1）求向量n；

（2）若向量n与向量q??1,0?的夹角为

34??2C?，向量p??cosA,2cos?，其中A、B、C为?ABC的内角，且22??A、B、C依次成等差数列，求n?p的取值范围。

分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题

的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。

解：（1）设n??x,y?，由m?n??1，有x?y??1 ①

33? 向量n与向量m的夹角为?，有m?n?m?n?cos???1，

44?n?1，则x2?y2?1 ②

由①、②解得：??x??1?x?0 或?y?0y??1???n???1,0?或n??0,?1?

（2）由n与q垂直知n??0,?1?， 由2B?A?C,知B??3,A?C?2?2?,0?A?, 332若n??0,?1?，则n?p??cosA,2cos??C??1???cosA,cosC?， 2??n?p?cos2A?cos2C? ＝1?21?cos2A1?cos2C? 221?1???4???cos2A?cos??2A?1?cos2A?????， ?2?323??????9

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?0?A?2???5???1?,?2A??，??1?cos?2A??? 33333?2?2?211??55???15?? ??1?cos?2A???,即n?p??,?,?n?p??,223?42???24??2?例6 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=?，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．

（１）用a，?表示S1和S2；

（２）当a固定，?变化时，求

S1取最小值时的角?． S2?S1?121asin?cos??a2sin2? 24解：（1）?AC?asin?,AB?acos?设正方形边长为x，则BQ?xcot?,RC?xtan??xcot??x?xtan??a

aasin?cos?a2sin2?x???

cot??tan??11?sin?cos?2?sin2?a2sin22??asin2?? ?S2????22?sin2?4?sin2??4sin2???（2）当a固定，?变化时，

2S11?4????sin2??4? S24?sin2??1?t?，用导数知识可以证明：函数t令sin2??t,则?S11?1?t?1.令f??t??t??4? ?0???,?0?2S24?t?1?Sf?t??t?在?0,1?是减函数，于是当t?1时，1取最小值，此时??。

t4S2［注］三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数f?t??t?足够的关注。

三角高考数学题的常规解题途径

由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。

途径1：化成“三个一”

“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即y?Asin(?x??)等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。 例1. （2004年全国）求f(x)?(sinx?cosx?sinxcosx)/(2?sin2x)的最小正周期、最大值和最小值。

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44221。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起t

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分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。

1?sin2xcos2x 简解：f(x)?

2(1?sinxcosx)11 ??sin4x

24 所以T??/2，ymax?3/4，ymin?1/4

评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。

途径2：化成“两个一”

若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。 例2. （2004年广东）当0?x??/4时，函数f(x)?cos2x/(cosxsinx?sin2x)的最值为（ ） A.

1 4 B.

1 2 C. 2 D. 4

分析1：本题为求最值问题，则考虑用途径1，根据函数的齐次特征，化成y?次方形式，则走途径2。 y?1，却无法变成一

tanx?tan2x1，选（D）。 2?(tanx?05.)?0.251?cos2x，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形

sin2x?cos2x?1分析2：本题若用降幂公式变形为y?为ysin2x?(y?1)cos2x?1?y，利用辅助角，得函数

sin(2x??)?1?y2y?2y?12，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得ymin?4。

途径3：边角转换

若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。

例3. 在?ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且cosB/cosC??b/(2a?c)，（1）求角B；（2）若b?13，a?c?4，求a的值。 简解1（边化角）：

B/cosC??sinB/(2sinA?sinC)?2sinAcosB??sinB(?C) cos ??sinA?cosB??1/2?B?120?

简解2（角化边）：

a2?c2?b22abb222?2???a?c?b 222ac2a?ca?b?c ??ac?cosB??1/2?B?120?

222 （2）因为b?a?c?2accosB，

22 所以13?a?(4?a)?2a(4?a)cos120?， 得a?1或3

评注：有些学生把条件变形为b?(2a?c)cosB/(cosBcosA?sinAsinB)后，便思路受阻，显示他们对三角

题的常规解法不熟。

途径4：三角变换

三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。

例4. （2002年全国）已知cos(???/4)?3/5，??2???3?/2，求cos(2???/4)的值。 分析：本题是由角???/4的余弦求角2???/4的余弦，故用角变换。因为2???/4?2(???/4)??/4，而2(???/4)的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。

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简解：cos2(???/4)

?2cos2(???/4)?1??7/25 因为3?/2????/4?7?/4， 所以sin(???/4)??4/5

故cos(2???/4)?cos[2(???/4)??/4]

?cos2(???/4)cos?/4?sin2(???/4)sin?/4??312/50

评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。

途径5：等价转化

有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。

例5. （2004年广东）已知?，?，?成公比为2的等比数列（??[0，2?]），且sin?，sin?，sin?也成等比数列，求?，?，?的值。

分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，先把角成等比转化为

??2?，??4?，代入sin2??sin?sin?后，再选用途径4求解。

2 简解：sin2??sin?sin4??2sin?sin2?cos2? 因为sin??0 所以sin2??0

所以sin2??2sin?cos2?

2 即2cos??cos??1?0

所以cos???1/2。以下从略。

高三期末(11套)数学试卷分类汇编——三角函数

15．（本题满分14分）

22tana解：tan2a? 21?tana

已知??(0,)，tan???1?，求tan2?和sin(2??)的值． 2312?4. ?11?()2322?

?4??a?(0,),2a?(0,?).?tan2a??0,?2a?(0,).

23243?sin2a?,cos2a?.

55?sin(2a?)?sin2a?cos?cos2a?sin 33341334?33?????. 525210???2.函数y?sinx?cosx的最小正周期是 ▲ . 2? 15．（本小题满分14分）

12

习题精选精讲

??3A3A,sin), 在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知向量m?(cos22????AAn?(cos,sin),且满足m?n?3，

22（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若b?c?3a,试判断?ABC的形状。 15．（1）A??3（2）?ABC为直角三角形。

2．已知0?x?

?2,cosx?43，则tanx= ． 5416．（本小题满分16分）

?????已知向量b?(m,sin2x),c?(cos2x,n),x?R,f(x)?b?c，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和(,1).

4（I）求m、n的值；

（II）求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x?[0,]上的最小值；

?4（III）当f()?,??[0,?]时，求sin?的值．

?215

16．（I）f(x)?mcos2x?nsin2x, ?f(0)?1,?m?1.

?f()?1,?n?1.

4（II）f(x)?cos2x?sin2x?2sin(2x?)，

??4?f(x)的最小正周期为?.

???3??x?[0,],??2x??.

4444时，f(x)的最小值为1．

4a111（III）?f()?,?cos??sin??,?cos???sin?.

255543两边平方得25sin2??5sin??12?0，解得sin??或sin???.

554???[0,?],?sin??.

51.函数f?x??2sin??x＋?的最小正周期是 ▲ . 2

?当x?0或x?

???1?4?4.已知sin??13

?3???,???0,?，则tan(??)值为 ▲ .7

45?2?习题精选精讲

15. （本小题满分14分）

在?ABC中， ?A,?B,?C所对边分别为a,b,c.

??????已知m?(sinC,sinBcosA),n?(b,2c),且m?n?0.

（Ⅰ）求?A大小.

（Ⅱ）若a?23,c?2,求?ABC的面积S的大小.

???15. 解: 解：（I）∵m?n?0，

∴(sinC,sinBcosA)?(b,2c)＝0.

∴bsinC?2csinBcosA?0. ????????????2分

bc?, sinBsinC∴bc?2cbcosA?0. ????????????4分

∵

∵b?0,c?0,

∴1?2cosA?0.

∴cosA??. ????????????6分 ∵0?A??,

122?. ????????????8分 3（II）△ABC 中，

∴A?∵a?c?b?2cbcosA, ∴12?4?b?4bcos120.

∴b?2b?8?0. ????????????10分 ∴b??4(舍)，b?2. ????????????12分

220222∴△ABC的面积 S?113bcsinA??2?2??3. ?????14分 2227．方程sinx?ax（a为常数，a?0）的所有根的和为 ▲ ． 0

17．（本小题共15分）

l1、l2、l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线．

（Ⅰ）如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，l2，

14

习题精选精讲

l3上，求这个正三角形ABC的边长；

（Ⅱ）如图，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在l1，

l2，l3上，如果能放，求BC和l3夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？

（Ⅲ）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，设l1与l2的距离为d1，l2与l3的距离为d2，

求d1?d2的范围？

（第17题）

17．不妨设A?l1,B?l2,C?l3.

（Ⅰ）∵A,C到直线l2的距离相等，

∴l2过AC的中点M，

∴l2?AC.

∴边长AC?2AM?2. （Ⅱ）设边长为a,BC与l??3的夹角为?，由对称性，不妨设0???60， ∴asin??2, asin(60???)?1,

两式相比得：

sin??2sin(60???), sin??3co??ss?i n,

∴2sin??3cos?,

∴tan??32,

∴sin??327,边长a?3?2213. 107 （Ⅲ）d?1?d2?4sin(60??)sin?

15

1分 2分 4分

6分

7分 8分

9分

分

习题精选精讲

（B） 在[0，（C） 在（

?2?，[?，3??上递增，在（?，??，（3?222，2??上递减。

?3???，[?，3??上递减。 ，??，（，2??上递增，在[0，

22223??，（3?，2??上递增，在[0，??，（?，??上递减。 （D）在[?，2222分析： 认识整体公式意义，升次公式应用化简f(x)?1?cos2x?2sinx??2tanx,注意两种情形选择支验证,选A;

cosxcosx规律总结：依据题设特征选择诱导公式，升降幂公式，辅助角公式等化归为同一个角的三角函数，利用公式和有

解性简化求解问题。

Ⅲ、三角变换和三角函数的图象和性质的信息迁移问题

例8、函数f(x)?sinx?2sinx，x?[0，2?]的图像与直线y?k 有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 分析：运动变化和数形结合解决图象的交点的个数,从分段的

?3sinx?x??0,???图象入手，平行直线系

f(x)?sinx?2sinx????sinx?x???,2???y?k ,作图形助

数有 1?k?3为所求;

例9、 设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数

?22?*

]上的面积为（n∈N），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为 ；（ii）y＝sin（3x－

n3n?4?π）＋1在[，]上的面积为 .

33y＝sinnx在[0，

分析：理解信息迁移的意义，注意图象的对称性的意义，分割法求面积。

??（1） 认识对称性和信息反馈两部分关于??,0?具有对称性,

?3??24而 y?sin3x在[0，]上的面积为,所以面积为;

333 (2) y?sin(3x??)?1??sin3x?1如图,所球面积分割为S?SABCD?22???; 33A 0 B P D C 规律总结：利用三角函数图象性质可数形结合研究根的个数问题，注意图象的对称性，可分割法解决图象与其直

线所围成的非规则图形的面积，应积累这种学习体验。 Ⅳ、三角形中的三角问题

例10、 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

解：注意三角形中补角的降元意识，从某一个条件入手构建方程有解法一， 由sinA(sinB?cosB)?sinC?0得

sinAsinB?sinAcosB?sin(A?B)?0.展开化因式积，则

sinAsinB?sinAcosB?sinAcosB?cosAsinB?0.即sinB(sinA?cosA)?0.因为B?(0,?),所以siBn?0，从而cosA?sinA.由A?(0,?),知A??3. 从而B?C??. 443sinB?cos2C?0得sinB?cos2(??B)?0.

421

习题精选精讲

即sinB?sin2B?0.亦即sinB?2sinBcosB?0. 由此得cosB?1?5???5?,B?,C?.所以A?,B?,C?. 23124312注意三角形中补角的降元意识，从另一个条件等式入手构建方程有解法二：由

3?3??sinB?cos2C?0得sinB??cos2C?sin(?2C).由0?B、c??，所以B??2C或B?2C?.即

222B?2C?3??或2C?B?.由sinA(sinB?cosB)?sinC22?0得 sinAsinB?sinAcosB?sin(A?B)?0.

所以sinAsinB?sinAcosB?sinAcosB?cosAsinB?0.

即sinB(sinA?cosA)?0.因为sinB?0，所以cosA?sinA.由A?(0,?),知A?B+2C=

?3.从而B?C??，知443??不合要求.再由2C?B?1?，得B??,C?5?. 所以A?,B??,C?5?. 243123122例11、在△ABC中，已知AB?46,cosB?6,AC边上的中线BD=5，求sinA的值.

36分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力 引入中位线产生解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=1AB?26,设BE?x,

23222

在△BDE中利用余弦定理可得：BD=BE+ED－2BE·EDcosBED，5?x2?8?2?26?6x,

336728

解得x?1,x??(舍去),故BC?2,从而AC2?AB2?BC2?2AB?BCcosB?,3322122130270 即AC?,又sinB?,故?3,sinA?.36sinA14306构建向量产生解法2：

以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.

由sinB?3046464454?3x25,则BA?(cosB,sinB)?(,),设BC?(x,0),则BD?(,).故CA?(?2,46333363(4?3x2252)?()?635.从而x?2,x??14(舍去).3533),

由条件得|BD|?880?BA?CA31470 99于是cosA???,?sinA?1?cos2A?.14141680480|BA||CA|??9999?引边的高产生解法3：

过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC， 过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=4,AH?45,

3322

习题精选精讲

BN?BP2?PN2?BP2?AH2?(25)2?(2,AC?3452104)?,而CN?HB?,333?BC?BN?CN?2,HC?221221270AH2?HC2?.故由正弦定理得?3,?sinA?.3sinA14306例12、在?ABC中，

?A、?B、?C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件

b2?c2?bc?a2和

c1??3，求?A和tanB的值. b2分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.

解：注意余弦定理的整体结构特征“边化角”有解法一：

222由余弦定理cosA?b?c?a?1，因此，?A?60? 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，

2bc2B?2,从而应用正弦定理1?3?c?sinC?sin(120??B)?sin120?cosB?cos120?sinB?3cotB?1,解得cot2bsinBsinBsinB22tanB?1. 2注意余弦定理的整体结构特征“角化边”解法二：

222222b?c?a1由余弦定理coAs??，因此，?A?60?，则b?c?bc?a，二次齐次式处处理得

2bc2b231.由①acc1115a15 ①由正弦定理

()2?1?()2??1??3?3??3?. 所以?sinB?sinA???.bbb424b2a1525式知a?b,故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是cosB?1?sin2B?2，从而tanB?sinB?1.

cosB215规律总结：三角形问题中的三角问题，注意其隐含条件的挖掘.互补角降元，互余角变名常常是变换的思维点；解

三角形中若能引入不同的辅助线将会产生不同的思维方法，构建向量利用其概念和运算简化求解三角问题，更显示出向量和三角的相互依赖的关系；正弦定理和余弦定理为“边化角”和“角化边”提供了化统一的依据和方法，要依据题设的特殊性适当的选择. Ⅴ、三角的工具性和应用性

例13、 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中y?x?0.（Ⅰ）将十字形的面积表示为?的函数；时，十字形的面积最大？最大面积是多少？

分析：本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三力. 注意直角三角的函数的意义切入。 解：（Ⅰ）设S为十字形的面积

则S?2xy?x2,?x?cos?,y?sin?,? S?2sin?cos??cos2?(?????).

42（Ⅱ）用三角的有界性产生解法一：

1151S?2sin?cos??cos2??sin2??cos2???sin(2???)?,222225r.c5（Ⅱ）?为何值

反三角函数表示角函数知识的能

其中

??a co当ssin(2???)?1,即2????23

?25?1. 时,S最大.所以，当????1arccos25时,S最大. S的最大值为

4252习题精选精讲

若用导数解决产生解法二： 因为S?2sin?cos??cos2?,

22??sin2?.令S′=0，即2co2所以S??2co2s??2sins??sin2??0,可解得??2sin?co?s?2cos???2??15?11. arctan(?2) 所以，当???arctan(?2)时，S最大，S的最大值为

2222规律总结：应用问题中若能引入一个角参数，将会优化思维过程，如本题为降低难度给出了角参数，使面积表达

式容易沟通；有关三角函数的最值可化归有界性求解也可用导数法求解。 Ⅵ、三角与向量及导数的网络交汇问题

例14、设函数f(x)?sin(2x??)(?????0)，y?f(x)图像的一条对称轴是直线x??8 （Ⅰ）求?；（Ⅱ）

求函数y?f(x)的单调增区间；（Ⅲ）证明直线5x?2y?c?0分析：由待定系数确定解析式切入。 解：(1) 认识对称轴确定初相位,

??3? ?1?f()?sin(2???)(?????0),????884(2)f(x)?sin(2x?3?),2k????2x?2k???,??k???,k??5???k?Z?为所求的递增区间;

422?88???3??(3) 利用导数的几何意义和有界性完成证明. f,(x)?2cos(2x?3?),?k?f,?x??2cos??2x???2,?k???2,2?,而

4?4?5x?2y?c?0的斜率

切

5?k,所以直线5x?2y?c?0与函数y?f(x)的图像不相切.函数y?f(x)的图像不相224

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