2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷（含解析）

2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4.00分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（ ）

A．{0，2} B．{﹣2，2}

C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}

2．（4.00分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（4.00分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

+D．

4．（4.00分）设复数ω=﹣A．﹣ω B．ω2 C．

i，则1+ω=（ ）

5．（4.00分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆右焦点，则椭圆的方程为（ ） A．

B．

C．

D．

的上顶点与

6．（4.00分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（ ） A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．

+

＜

D．

+

＞

7．（4.00分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若A．

B．

，则（ ）

C．

D．

第1页（共18页）

8．（4.00分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（ ） A．ab2=9

B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a

+

﹣

=0，则BC+AB=（ ）

9．（4.00分）在△ABC中，AC=5，A．6

B．7

C．8

D．9

10．（4.00分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）?a+f（m1）?f（m2）=0，则（ ） A．b≥0

二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）

11．（6.00分）lg2+lg5= ；12．（6.00分）已知双曲线为 ．

13．（6.00分）已知随机变量ξ的分布列为： ξ P 若

﹣1 x 0 B．b＜0 C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0

= ．

，则其渐近线方程为 ，离心率

1 2 y ，则x+y= ，D（ξ）= ．

14．（6.00分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是 ；函数f（x）=xlnx的最小值为 ． 15．（4.00分）在（x﹣当x=

）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，

时，S等于 ．

，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区

16．（4.00分）若实数x，y满足域的面积为 ．

第2页（共18页）

17．（4.00分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（14.00分）设

（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；

（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，若f（A）=1，求A，b．

19．（15.00分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P满足

．

，

．

（1）若k=2，求点P的轨迹方程； （2）当k=0时，若

第3页（共18页）

，求实数λ的值．

20．（15.00分）设函数（1）证明：（2）证明：

21．（15.00分）已知P，Q为椭圆F2分别为左右焦点． （1）求（2）若

的最小值；

．

；

．

上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，

，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．

第4页（共18页）

22．（15.00分）设数列{an}满足（1）证明：（2）证明：

．

； ．

第5页（共18页）

2016-2017学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4.00分）若集合A={x||x﹣1|≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A∩B=（ ）

A．{0，2} B．{﹣2，2}

C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}

【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1≤x﹣1≤1， 解得：0≤x≤2，即A=[0，2]， ∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1，2}， 故选：C．

2．（4.00分）命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：命题的等价形式：

若x=0且y=0，则|x|+|y|=0，则为真命题， 反之若|x|+|y|=0，则若x=0且y=0，

即若x=0且y=0是|x|+|y|=0，成立的充要条件， 则命题“|x|+|y|≠0”是命题“x≠0或y≠0”的充要条件， 故选：C．

3．（4.00分）有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，

∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果， 而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，

第6页（共18页）

∴由古典概型公式得到P=故选：B．

4．（4.00分）设复数ω=﹣A．﹣ω B．ω2 C．

=，

+D．+

i，则1+ω=（ ）

【解答】解：∵复数ω=﹣∴1+ω=1+（﹣=

，

）

i，

根据ω的特点得到结果， 故选：C．

5．（4.00分）已知直线2x+y﹣2=0经过椭圆右焦点，则椭圆的方程为（ ） A．

B．

C．

D．

的上顶点与

【解答】解：直线2x+y﹣2=0经过椭圆点，

可得c=1，b=2，可得a=则椭圆的方程为：故选：A．

， ．

的上顶点与右焦

6．（4.00分）已知x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数），则（ ） A．x1+x2＞1 B．x1+x2＜1 C．

+

＜

D．

+

＞

第7页（共18页）

【解答】解：∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2（e为自然对数的底数）， ∴

=

=＜e，

而（x1+x2）（）=1++1≥2+2=4．

即（x1+x2）（）≥4，

又＜e，

∴＞1．

故选：A．

7．（4.00分）设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（A．

B．

C． D．

【解答】解：设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b， 则a×+b×+c×=0， ∴a×

+b×（

+

）+c×（

+

）=0，

∴（a+b+c）=b+c， ∴=

+

，

∵，

∴λ1=，λ2=，

∴

=

故选：A．

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）

8．（4.00分）若不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，则（ ） A．ab2=9

B．a2b=9，a＜0 C．b=9a2，a＜0 D．b2=9a

【解答】解：∵（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立， ∴当x=0时，不等式等价为﹣3b≤0，即b≥0， 当x→+∞时，x2﹣b＞0，此时ax+3＜0，则a＜0， 设f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b， 若b=0，则g（x）=x2＞0， 函数f（x）=ax+3的零点为x=﹣此时不满足条件；

若a=0，则f（x）=3＞0，而此时x→+∞时，g（x）＞0不满足条件，故b＞0； ∵函数f（x）在（0，﹣

）上f（x）＞0，则（﹣

，+∞））上f（x）＜0，

）上g（x）＜0，

，则函数f（x）在（0，﹣

）上f（x）＞0，

而g（x）在（0，+∞）上的零点为x=则（

，+∞）上g（x）＞0，

，且g（x）在（0，

∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0对任意x∈[0，+∞）恒成立， 则函数f（x）与g（x）的零点相同，即﹣∴a2b=9， 故选：B．

=

，

第9页（共18页）

9．（4.00分）在△ABC中，AC=5，A．6

B．7

C．8

D．9

+﹣=0，则BC+AB=（ ）

【解答】解：作△ABC的内切圆，设O为圆心，r为半径，圆O与三边AB、BC、AC的切点依次为D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF． 则tan=∵

+

，tan=﹣

，tan==0，

．

∴，

∴AF+CF=5BD，即AC=5BD， 又∵AC=5， ∴BD=1， ∴BE=BD=1，

∴BC+AB=（BE+CE）+（BD+AD）=（CE+AD）+（BE+BD）=AC+2BD=7． 故选：B．

10．（4.00分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象经过点A（m1，f（m1））和点B（m2，f（m2）），f（1）=0，若a2+（f（m1）+f（m2）?a+f（m1）?f（m2）=0，则（ ） A．b≥0

B．b＜0

C．3a+c≤0 D．3a﹣c＜0

【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0， ∴a+b+c=0．

若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，

则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．

若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾， ∴c＜0成立．

∵a2+[f（m1）+f（m2）]?a+f（m1）?f（m2）=0

∴[a+f（m1）]?[a+f（m2）]=0，∴m1，m2是方程f（x）=﹣a的两根 ∴△=b2﹣4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a﹣c）≥0

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而a＞0，c＜0∴3a﹣c＞0， ∴b≥0． 故选：A．

二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分）

11．（6.00分）lg2+lg5= 1 ；

【解答】解：lg2+lg5=lg（2×5）=lg10=1，

=3﹣

故答案为：1，1

12．（6.00分）已知双曲线为

．

，∴a=2，b=1，

，则其渐近线方程为

，离心率

=3﹣2=1，

= 1 ．

【解答】解：双曲线的标准方程得：∴c2=a2+b2=5，∴c=∴则其渐近线方程为 离心率：故答案为：

13．（6.00分）已知随机变量ξ的分布列为： ξ P 若

﹣1 x 0

，

，

；

．

1 2 y ．

+2y=，

，则x+y= ，D（ξ）=

【解答】解：由题意可得：x+y+解得x=

=1，﹣1×x+0+1×

，y=．

第11页（共18页）

∴D（ξ）=故答案为：，

×+×+×+=．

14．（6.00分）设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是 x﹣y﹣1=0 ；函数f（x）=xlnx的最小值为 ﹣

．

【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+1 x=1时，y′=1，y=0

∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x﹣1 即x﹣y﹣1=0．

令lnx+1=0，可得x=，x∈（0，），函数是减函数，x＞所以x=

时，函数取得最小值：﹣

．

．

时函数是增函数；

故答案为：x﹣y﹣1=0；﹣

15．（4.00分）在（x﹣当x=

）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，

时，S等于 ﹣23008 ．

）2006=a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006 ）2006+a1（）2006﹣a1（）2005+…+a2005（

）2005+…+a2005（）2005+…﹣a2005（）=﹣23009?

）+a2006=0（1） ）+a2006=23009（2）

【解答】解：设（x﹣则当x=当x=﹣

时，有a0（时，有a0（

（1）﹣（2）有a1（即2S=﹣23009 则S=﹣23008

故答案为：﹣23008．

16．（4.00分）若实数x，y满足域的面积为 1 ．

，则由点P（2x﹣y，x+y）形成的区

第12页（共18页）

【解答】解：设，；

代入x，y的关系式得：易得阴影面积S=故答案为：1

×2×1=1；

17．（4.00分）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是 （1，+∞） ． 【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a， 当x=当x≠

时，左边=0，右边≠0，不成立， 时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=

，

，

设k=2x﹣1，则x=

则===（﹣k﹣2）， ）∪（

，t），（t＞

），

∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜∵?a，b∈R， ∴=

（

），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）

﹣k﹣2），在（*）上有解，

第13页（共18页）

∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，

（，

﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，

设g（k）=∴

解得t＞1，

故答案为：（1，+∞）

三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（14.00分）设

（1）求函数f（x）的最小正周期与值域；

（2）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，若f（A）=1，求A，b． 【解答】（本题满分14分）

解：（1）化简得：f （x）=sin（2x﹣

）（x∈R），

，

．

所以最小正周期为π，值域为[﹣1，1]．…（7分） （2）因为f （A）=sin（2A﹣因为A为锐角， 所以2A﹣所以2A﹣所以A=

∈（﹣=．

，

，

）， ）=1．

由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA， 得b2﹣4b+4=0．解得b=2．…（14分）

19．（15.00分）在平面直角坐标系内，点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），点P满足

．

（1）若k=2，求点P的轨迹方程；

第14页（共18页）

（2）当k=0时，若【解答】（本题满分15分） 解：（I）设P（x，y），则因为k=2，所以

，求实数λ的值．

=（x，y﹣1），

，

=（x，y+1），=（x﹣1，y）．

所以 （x，y﹣1）?（x，y+1）=2[（x﹣1）2+y2]， 化简整理，得 （x﹣2）2+y2=1，

故点P的轨迹方程为 （x﹣2）2+y2=1．…（7分） （II）因为k=0，所以所以 x2+y2=1． 所以|λ

+

|2=λ2

2

，

+

2

=λ2[x2+（y﹣1）2]+x2+（y+1）2

=（2﹣2λ2） y+2λ2+2（y∈[﹣1，1]）． 当2﹣2λ2＞0时，即﹣1＜λ＜1， （|λ

+

|max）2=2﹣2λ2+2λ2+2=4≠16，不合题意，舍去；

当2﹣2λ2≤0时，即λ≥1或λ≤﹣1时， （|λ

20．（15.00分）设函数（1）证明：（2）证明：

．

；

．

+

|max）2=2λ2﹣2+2λ2+2=16，解得λ=±2．…（8分）

【解答】（本题满分15分） 证明：（1）令g（x）=f （x）﹣x2+所以

所以g（x）在

上递减，在

x﹣，

上递增， ，即g（x）=

+x﹣

，

第15页（共18页）

所以g（x）≥（2）因为

=0，所以f （x）≥x2﹣

x+． …（7分）

，x∈[0，1]，

设h（x）=2x3+4x2+2x﹣1，h′（x）=6x2+8x+2， 因为h（0）=﹣1，h（1）=7，

所以存在x0∈（0，1），使得f′（x）=0，且f （x）在（0，x0）上递减，在（x0，1）上递增，

所以 f （x）max={ f （0），f （1）}=f （1）=． 由（1）知，f （x）≥x2﹣又所以

21．（15.00分）已知P，Q为椭圆F2分别为左右焦点． （1）求（2）若

【解答】（本题满分15分） 解：（1）因为显然所以

，

的最小值为2． …（5分）

（O为坐标原点），

的最小值；

，设直线PQ的斜率为k，求k2的值．

上的两点，满足PF2⊥QF2，其中F1，

=

，

x+=

，

． …（8分）

≥

，

＜f （x）≤

（2）由题意，可知OP⊥OQ．

又F2P⊥F2Q，所以PQ是两个直角三角形POQ和PF2Q的公共斜边，即得线段PQ的中点到O，F2两点的距离相等，即线段PQ中点的横坐标为设直线PQ的方程为y=kx+b，联立椭圆方程，得 （1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0．

第16页（共18页）

．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣又因为 x1+x2=1， 所以 1+2k2=﹣4kb，① 另一方面，x1x2=

，y1y2=

．

．

由x1x2+y1y2=0，得

即 4k2b2+2k3b﹣2k2+3b2+kb﹣2=0，② 由①②，得﹣20k4﹣20k2+3=0，解之得

22．（15.00分）设数列{an}满足（1）证明：（2）证明：

【解答】（本题满分15分）

证明：（I）易知an＞0，所以an+1＞an+

＞an， ； ．

，

．…（15分）

．

所以 ak+1=ak+所以所

以

＜ak+

． ，

，

当n≥2时，

=

所以an＜1． 又

，

，所以an＜1（n∈N*），

所以 an＜an+1＜1（n∈N*）．…（8分）

第17页（共18页）

（II）当n=1时，显然成立． 由an＜1，知

，所以

，

所以，

所以，

所

以

，当

n

≥

2

时

=，即．

所以（n∈N*）． …（7分）

第18页（共18页）

，

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